0 0 类别 : 教案

不等式的性质教案 ●教学目标 (一)教学知识点 1.不等式的性质定理1，定理2，定理3及其推论. 2.不等式性质定理1，定理2，定理3及其推论的证明方法. (二)能力训练要求 1.掌握不等式性质定理1、2、3及推论的证明，初步理解证明不等式的逻辑推理方法. 2.理解定理3是移项法则的依据. 3.能运用不等式性质定理及推论解决一些简单的问题. (三)德育渗透目标 通过对不等式性质定理的掌握，培养学生灵活应变的解题能力和思考问题严谨周密的 习惯. ●教学重点 掌握不等式性质定理1、2、3及推论，注意每个定理的条件.理解不等式的性质，是不等 式变形的理论依据. ●教学难点 1.理解定理1、定理2的证明，即“a＞b b＜a和 a＞b，b＞c a＞c”的证明.这两 个定理证明的依据是实数大小的比较与实数运算的符号法则. 2.定理 3的推论，即“a＞b，c＞d a＋c＞b＋d”是同向不等式相加法则的依据.但 两个同向不等式的两边分别相减时，就不能得出一般结论. ●教学方法 引导启发结合法——即在教师引导下，由学生利用已学过的有关知识，顺利完成定理 的证明过程及定理的简单应用. ●教具准备 投影片两张. 第一张：记作§６.1.2 A 1. 比较两实数大小的依据： 2.比较两实数大小 的方法： 作差→变形→判断差值的符号→得出结论. 3.已知x，y均为正数，设M＝ yx 11  ，N= yx  4 ，试比较M和N的大小. 第二张：记作§６.1.2 B 不等式的三条基本性质(初中) (1)若 a＞b，则a＋c＞b＋c，a－c＞b－c； （2）若a＞b，c＞0，则ac＞bc， c b c a  ； a>b a- b>0 a=b a- b=0 a<b a- b<0 (3)若 a＞b，c＜0，则ac＜bc， c b c a  . ●教学过程 Ⅰ.课题导入 (一)打出投影片§6.1.2 A，使学生解决下面问题： ［师］请同学们回顾一下，我们比较两实数大小的理论依据是什么? ［生］我们比较两实数大小的理论依据是三个“等价”关系，即 ［师］我 们用“作差法”比较两实数的大小，其一般步骤是什么? ［生］用 “作差法”比较两实数的大小，一般分三步.即： 第一步：作差并化简，其化简目标应是n个因式之积或完全平方或常数的形式. 第二步：判断差值与零的大小关系，必要时进行讨论. 第三步：得出结论. ［师］已知x，y均为正数，设m＝ yx 11  ，n＝ yx  4 ，试比较M和N的大小. 分析：在此题中，变形过程较灵活，既要通分，又要进行因式分解，使同 学们正确运用完全平方公式. ［生］M－N＝（ yx 11  ）－ yx  4 ＝ yxxy yx   4 ＝ )( 4)( 2 yxxy xyyx   ＝ )( )( 2 yxxy yx   ∵x，y均为正数 ∴x＞0，y＞0，xy＞0，x＋y＞0，（x－y）2≥0 ∴M－N≥0 即M≥N. (二)打出投影片§6.1.2 B，使学生熟练口述初中已学过的不等式的三条基本性质. ［师］请同学们回顾初中我们学过的不等式的基本性质是什么? ［生］(口述)不等式的基本性质是： 基本性质1 不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变. 基本性质2 不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变. 基本性质3 不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变. ［师］我们不仅从文字上理解不等式基本性质，更重要的是我们要理解掌握其数学含 义，即 (1)若 a＞b，则a＋c＞b＋c，a－c＞b－c； a>b a- b>0 a=b a- b=0 a<b a- b<0 (2)若 a＞b，c＞0，则ac＞bc， c a ＞ c b ； (3)若 a＞b，c＜0，则ac＜bc， c a ＜ c b . ［师］自然界中的等量关系是相对的，而不等关系是绝对的，不等量关系比等量关系 的存在更具有普遍性，所以不等关系的研究具有重要的意义，是中学数学的重要内容.我们 将在前面学过的一元一次不等式、一元二次不等式和含绝对值的不等式的解法的基础上，进 一步学习不等式的重要性质. Ⅱ.讲授新课 ［师］课本中定理 1～定理 3的证明，都是以实数的运算性质与大小顺序之间的关系 为依据，并直接运用实数运算的符号法则(如：正数的相反数是负数；负数的相反数是正数， 两个正数的和仍是正数，同号相乘得正，异号相乘得负)来确定差的符号. 定理1 如果 a＞b，那么b＜a；如果 b＜a，那么a＞b. ［师］此定理分前、后两部分，让两个学生在理解实数运算的符号法则基础上板演证明 过程. ［生甲］（证明定理1的前半部分） ∵a＞b ∴a－b＞0 由正数的相反数是负数，得 －（a－b）＜0 ∴b－a＜0 即b＜a. ［生乙］(证明定理1的后半部分) ∵b＜a ∴b－a＜0 由负数的相反数是正数，得 －（b－a）＞0 ∴a－b＞0 即a＞b. ［师生共析］定理 1说明，把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向； 定理1的作用是把用“＞”（或“＜”)连结的不等式等价地转化为用“＜”(或“＞”)连 结的不等式，即a＞b b＜a. 注释：同向不等式——在两个不等式中，如果每一个的左边都大于(或小于)右边，这 两个不等式就是异同向不等式.例如 a2＋2＞a＋1，3a2＋５＞2a是同向不等式. 异向不等式——如果一个不等式的左边大于(或小于)右边，而另一个不等式的左边小 于(或大于)右边，这两个不等式就是异向不等式.例如 a2＋3＞2a，a2＜a＋５是异向不等式. 定理2 如果 a＞b，且 b＞c，那么a＞c. ［师］同学们对定理 2是容易理解的，但对它进行证明，却是比较困难的.为克服同学 们出现下面两种问题：一是同学们可能认为没有必要进行证明；二是同学们不知道如何证 明.我们可以先回答下面问题：“如果 a＞b，则 a 1 与 b 1 谁大?”大家可能有如下答案(学 生思考并回答)：学生甲：“若a＞b，则 a 1 ＞ b 1 ”；学生乙：“若a＞b，则 a 1 ＜ b 1 ”， 很显然，学生甲、乙的答案是错误的，他们考虑问题都不全面.引导学生做出正确答案： “当 a、b同号，即a＞b＞0或0＞a＞b时有 a 1 ＜ b 1 ；当 a、b异号，即a＞0＞b时有 a 1 ＞ b 1 ”.这就告诉我们，任何一个命题要判断其真假，我们不能只看其表，必固其根本.因此， 我们掌握定理2的证明是非常必要的. ［生］(在教师指导下让学生完成证明过程) ∵a＞b，b＞c ∴a－b＞0，b－c＞0. 根据两个正数的和仍是正数，得 （a－b）＋（b－c）＞0 ∴a－c＞0 即a＞c. ［师生共析］运用定理 1、可将定理 2改写为：如果 a＜b，b＜c，那么 a＜c，即 a＜ b，b＜c a＜c；定理2是不等式的传递性(a＞b且 b＞c a＞c），它是“放缩”不等式 的依据. 定理3 如果 a＞b，那么a＋c＞b＋c. ［师］在引导学生证明定理1，定理2的基础上，使学生明确定理3的实质是：“在a ＞b的条件下，比较a＋c与 b＋c的大小.”这样学生就可运用实数的运算性质与大小顺序 之间的关系顺利完成定理3的证明过程. ［生甲］∵a＞b ∴a－b＞0 ∴（a＋c）－（b＋c）＝a－b＞0 即a＋c＞b＋c ［生乙］∵a＞b ∴a－b＞0∴a－b＋c－c＞0(利用互为相反的两个数和是零) ∴（a＋c）－（b＋c）＞0 即a＋c＞b＋c. ［师生共析］定理 3说明，不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式 同向.利用定理3，可以得出：“如果 a＋b＞c，那么a＞c－b”.［这是因为：a＋b＞c a＋b＋（－b）＞c＋（－b） a＞c－b］.也就是说：“不等式中任何一项改变符号后， 可以把它从一边移到另一边.”显然，定理3的逆命题也成立. 想一想：如果 a＜b，是否有a＋c＜b＋c？ ［生］答案是肯定的.这是由于： a＜b a－b＜0 ∴（a＋c）－（b＋c）＝a－b＜0 即a＋c＜b＋c. 定理3推论 如果 a＞b，且 c＞d，那么a＋c＞b＋d. ［师］定理 3的推论是同向不等式相加，要多次运用定理3然后由定理 2证出，灵活 变形，选出恰当方法. ［生甲］∵a＞b，c＞d ∴a－b＞0，c－d＞0 ∴（a＋c）－（b＋d）＝（a－b）＋（c－d）＞0(两个正数的和仍为正数) ∴a＋c＞b＋d. ［生乙］∵a＞b ∴a＋c＞b＋c 又∵c＞d ∴b＋c＞b＋d ∴由不等式的性质定理2，得 a＋c＞b＋d. ［师生共析］对于定理 3的推论，很明显，它可以推广到任意有限个同向不等式两边 分别相加.这就是说，两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同 向. 评述：定理 3是不等式移项法则的基础；定理 3的推论是同向不等式相加法则的依据， 但两个同向不等式的两边分别相减时，就不能作出一般的结论.例如： “５＞3且4＞2有５－4＝3－2”； “８＞3且4＞2有８－4＞3－2”； “6＞4且 3＞－５有6－3＜4－（－５）”. 课本［例 3］已知a＞b，c＜d，求证a－c＞b－d. ［师］不等式的性质运用时较为灵活，熟练掌握其性质是解决不等式问题的关键. 分析：思路一：证明“a－c＞b－d”，实际是根据已知条件比较 a－c与 b－d的大小， 所以以实数的运算性质与大小顺序之间的关系为依据，直接运用实数运算的符号法则来确 定差的符号，最后达到证题目的. ［生］∵a＞b，c＜d ∵a－b＞0，d－c＞0 ∴（a－c）－（b－d） ＝（a－b）＋（d－c）＞0(两个正数的和仍为正数) 故 a－c＞b－d. 思路二：我们已熟悉不等式的性质中的定理 1～定理 3及推论，所以运用不等式的性 质，加以变形，最后达到证明目的. ［生］∵c＜d ∴－c＞－d 又∵a＞b ∴a＋（－c）＞b＋（－d） ∴a－c＞b－d Ⅲ.课堂练习 1.判断下列命题的真假，并说明理由： (1)如果 a＞b，那么a－c＞b－c； (2)如果 a＞b，那么 c a ＞ c b . 分析：从不等式性质定理找依据，与性质定理相违的为假，与定理相符的为真. 答案：(1)真.因为推理符号定理3. (2)假.由不等式的基本性质 2，3(初中)可知，当 c＜0时， c a ＜ c b .即不等式两边同 乘以一个数，必须明确这个数的正负. 2.回答下列问题： （1)如果 a＞b，c＞d，能否断定a＋c与b＋d谁大谁小?举例说明； (2)如果 a＞b，c＞d，能否断定a－2c与 b－2d谁大谁小?举例说明. 答案：(1)不能断定.例如：2＞1，1＜3 2＋1＜1＋3；而 2＞1，－1＜－0.８ 2－ 1＞1－0.８.异向不等式作加法没定论. (2)不能断定.例如 a＞b，c＝1＞d＝－1 a－2c＝a－2，b＋2＝b－2d，其大小不定. a＝８＞1＝b时a－2c＝６＞b＋2＝3.而 a＝2＞1＝b时 a－2c＝0＜b＋2＝3. 3.求证：(1)如果 a＞b，c＞d，那么a－d＞b－c； (2)如果 a＞b，那么c－2a＜c－2b. 证明：(1) .cbda dbcb dcdc dbdaba        (2)a＞b －2a＜－2b c－2a＜c－2b. 4.已和a＞b＞c＞d＞0，且 d c b a  ，求证：a＋d＞b＋c. 证明：∵ d c b a  ∴ d dc b ba  ∴（a－b）d＝（c－d）b. 又∵a＞b＞c＞d＞0 ∴a－b＞0，c－d＞0，b＞d＞0且 d b ＞1 ∴ d b dc ba   ＞1 ∴a－b＞c－d 即 a＋d＞b＋c. 评述：此题中，不等式性质和比例定理联合使用，使式子形与形之间的转换更迅速.这 道题不仅有不等式性质应用的信息，更有比例的信息，因此这道题既要重视性质的运用技 巧，也要重视比例定理的应用技巧. Ⅳ.课时小结 本节课我们学习了不等式的性质定理 1～定理 3及其推论，理解不等式性质的反对称 性(a＞b b＜a＝、传递性(a＞b，b＞c a＞c)、可加性(a＞b a＋c＞b＋c)、加法法则 （a＞b，c＞d a＋c＞b＋d），并记住这些性质的条件，尤其是字母的符号及不等式的 方向，要搞清楚这些性质的主要用途及其证明的基本方法. Ⅴ.课后作业 (一)课本 P ８习题6.1 4.（1）、（2） (二)1.预习内容：课本 P ６～７不等式性质定理 4及其推论，定理 5及其证明方法. 2.预习提纲： (1)预习定理 4及其推论，理解不等式性质的可积性、乘法法则、乘方法则. (2)预习定理 5，掌握用反证法证明不等式的开方法则. ●板书设计 §6.1.2 不等式的性质(二) 一、不等式的性质 二、不等式性质的证明 课时小结 定理1 例题 定理2 课后作业 定理3 课堂练习 推论