单元复习之一
教材：单元复习之一——函数概念、性质、指数运算及指数函数
目的：通过复习与练习要求学生对函数概念、性质、指数、指数函数有更深的理解
过程：
一、复习：映射、一一映射、函数定义、性质、反函数、指数、指数函数
二、《教学与测试》 P49 第 34课 “基础训练题” 1 略
例一、（《教学与测试》 49 例 1）
已知函数 12)( 2 axxxf 在区间[1，2]上的最大值是4，求 a的值。
解：抛物线对称轴为 ax , 区间[1，2]中点为 2
1
1、当 2≥a , 即 a≤2时，由题设：f (1) = 4, 即 1 2a +1 = 4, a = 1
（不合）
2、当 22
1 a , 即 12 a 时，由题设：f (1) = 4, 即 a = 1
3、当 2
11 a , 即 12
1 a 时，由题设：f (2) = 4, 即 4 + 4a +1 = 4,
4
1a
4、当 a<1, 即 a>1时，由题设：f (2) = 4, 即 4 + 4a +1 = 4, 4
1a
（不合）
注：若是已知最小值，此种分类同样适用，也可分 a 在 ,1,
,2,2,1 三个区间。但本题亦可将1、2和3、4分别合并成两个区间讨论。
例二、已知函数 f (x), 当 x , yR时，恒有f (x + y) = f (x) + f (y) ,
1、求证： f (x) 是奇函数。
2、若 f (3) = a，试用 a 表示 f (24)
3、如果 x > 0 时，f (x) > 0 且 f (1) < 0，试求 f (x) 在区间[2，6]上的
最大值与最小值。
解：1 令 x = y = 0 得 f (0) = 0，再令 y = x 得 f (0) = f (x) + f ( x),
∴f (x) = f ( x) ∴f (x)为奇函数
2 由 f (3) = a 得 f (3) = f(3) = a，
f (24) = f ( 3 + 3 + …… + 3) = 8 f (3) = f (3)
3 设 x 1 < x2 ，则 f (x2) = f (x 1 + x2 x 1) = f (x 1) + f (x2 x 1) < f (x 1)，
( ∵ x2 x 1 > 0 , f ( x2 x 1) < 0 )
∴f (x) 在区间[2，6]上是减函数。
∴f (x) max = f (2) = f (2) = 2f (1) = 1
f (x) min = f (6) = 6 f (1) = 3
例三、（《教学与测试》第28课 例一）
求函数 x
x
y 4
21 的值域和单调区间。
解： 4
1
4
1]2
1)2
1[(2
1)2
1(4
21 22 xxxx
x
y
∴函数的值域为
,4
1
∵设 xu )2
1( , 它在 , 上单调递减，
8个
3
而二次函数 4
1)2
1( 2 uy 在 2
1u 时是减函数，在 2
1u 时是增函数令 2
1)2
1( x ，则 x ≥ 1 令 2
1)2
1( x ，则 x ≤ 1
∴函数 x
x
y 4
21 在 ,1 上是增函数，在 ]1, 上是减函数。
例四、（《教学与测试》第28课 例二）
1． 已知 mxf x 13
2)( 是奇函数，求常数 m 的值。
2． 画出函数 |13| xy 的图象，并利用图象回答：k 为何值时，方程 kx |13| 无解？有一解？有两解？
解：1．定义域：x 0
若 f (x)为奇函数，则 0)13
2()13
2( mm xx
∴ 113
3
13
1
13
1
13
1 x
x
xxxm
3． 图象如图所示：
当 k < 0时，直线 y = k与函数 |13| xy 图象无交点 ∴方程无解。
当 k = 0或 k ≥ 1时，直线 y = k与函数 |13| xy 图象有一个交点 ∴方程有一解。
当 0 < k < 1时，直线 y = k与函数 |13| xy 图象有两个交点
∴方程有两解。
例五、（《教学与测试》第28课 例三）——机动，可以不讲
设 3221
2, xx ayay ，其中 a > 0，a 1，
问：x为何值时有1 y1 = y2 2 y1 < y2
解：1．由于指数函数是单调函数，∴ 3132 221 xxxxyy 或 2．当 0 < a < 1，由 y1 < y2 ，得 2x > x2 3 ，解得 1 < x < 3
当 a > 1，由 y1 < y2 ，得 2x < x2 3 ，解得 x < 1 或 x > 3
y
1
o x
三、作业： P50 3—7
《教学与测试》 P58 6、7
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