平面向量数量积的运算律教案
教学目标
1．理解掌握数量积的运算律，了解数量积的运算中乘法的结合律
是不成立的．
2．熟悉掌握数量积的重要性质和数量积的运算律去解决有关数量
积的运算．
教学重点和难点
重点：对数量积运算律的正确理解和灵活应用．
难点：数量积重要性质和运算律的灵活应用．
数学过程设计
(一)师生复习研究．
1．怎样确定两个向量的夹角？在等边△ABC中，求
① 与 的夹角；② 与 的夹角；
③ 与 的夹角；④ 与 的夹角．
①： 与 的夹角：120°．
②： 与 的夹角：60°．
③： 与 的夹角：60°．
④： 与 的夹角：120°．
2．什么是两个向量的数量积？数量积是一个向量还是一个数？举
出现实生活中的物理量来理解数量积的实际意义．
设物体在力 作用下产生位移 ，则这个力所做的功W＝ · ．
W＝ · ＝ cosθ．这里θ为 与 的夹角．
两个向量的数量积是一个数量，这里功W是数量，数量积的大小与
两个向量的长度和它们的夹角有关．
3．说出下列式子的含义，其中的向量均为非零向量．
①
两个非零向量垂直的充要条件是这两个向量的点积(数量积)为0．
② ．
向量的平方等于其模的平方．
(二)导出新课．
为了进行向量的数量积的运算，我们来研究向量数量积的运算律．
我们在实数或代数式运算中常用到的运算律，如交换律、结合律、分配律，
在向量的数量积中还能否继续应用呢？
(1)交换律． 成立吗？
(学生推证) ，
向量 与 的夹角与向量 与 的
夹角相同．
∴ ．交换律成立．
(2)数与向量相乘的结合律．
设λ为实数，(λ )· ＝λ( )＝ ·(λ )．
若λ＞0，|λ|＝λ，且 与 同向，
若λ＜0，|λ|＝－λ．且λ 与 反向，
若λ＝0，等式显然成立，类似可证出λ( · )＝ ·(λ
)．由此可知数与向量相乘时，是可以应用结合律的．
但这里同学们特别注意，三个向量的数量积也符合结合律吗？即(
· )· ＝ ·( · )成立吗？
经过大家思考，不难发现：对于实数a、b、c我们有乘法的结合律，
即(ab)·c＝a(bc)．
但对于向量，这个式子就未必成立了．
即 ( · )· ≠ ·( · )．这是因为( · )· ，表
示一个与 共线的向量，而 ·( · )表示一个与 共线的向量，
而 与 一般并不共线，所以( · )· ≠ ·( · )．这就告
诉我们，三个向量相乘作数量积时，乘法结合律是不成立的．
(3)分配律．( ＋ )· ＝ · ＋ · ．
如图：任取一点O，作 ＝ ， ＝ ， ＝ ，则 ＝
＋ ， ＋ 在 方向上的投影等于 、 在 方向上的投影的和，
即
| ＋ |cosθ=| | cosθ1＋| |cosθ2．
∴| |·| ＋ | cosθ＝| |·| | cosθ1＋| |·| |
cosθ2．
即 ·( ＋ )＝ · ＋ · ，( ＋ )· ＝ · ＋
· ，乘法分配律对数量积成立．
我们得到向量的数量积满足
下面我们应用这些运算律进行运算证明．
(学生练习，教师指导)
例1：求证：
(1)( ＋ )( － )＝ － ．(2)( ＋ )2＝ ＋2
＋ ．
证明：(1)( ＋ )( － )＝ · － · ＋ · －
· = － ．
(2)( ＋ )2＝( ＋ )·( ＋ )＝ · ＋ · ＋ ·
＋ ·
＝ ＋2 · ＋ ．
例2：已知| |＝6，| |＝4， 与 的夹角为60°，求( ＋2
)·( －3 )．
解：( ＋2 )·( －3 )＝ · － · －6 ·
＝ － · －6 ＝| |2－ · －6| |2＝62－
6×4cos60°－6×4＝－72．
例3：已知| |＝3，| |＝4，当且仅当K为何值时，向量 ＋K
与 －K 互相垂直？
解： ＋K 与 －K 互相垂直，
( ＋K )( －K )＝0 2－K2 2＝0．
例4：求证：直径上的圆周角为直角．
已知：AC为圆O的一条直径，∠ABC是圆周角．
求证：∠ABC＝90°
证明：设 ＝ ， ＝ ，则 ＝ ＋ ， ＝ ，
＝ － ，且| |＝| |．
∵ · ＝( ＋ )·( － )＝| |2－| |2＝0．
∴ ⊥ ，∠ABC＝90°．
(三)教师小结平面向量数量积的运算律．
(四)作业，习题5．6 1，2，4，5，7，8．
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