两角和与差的正切教案 2
教学目的
通过“两角和与差的正切”的教学，使学生掌握两角和、差的正切
公式，能运用公式正确而灵活地进行三角函数式的恒等变形．在导出和
运用公式的过程中，注意培养学生的观察能力和思维能力．
教学过程
师：前面我们学习了两角和与差的正、余弦公式，请大家回忆有关
公式．
(学生回答，教师板书公式．)
sin(α±β)与 cos(α±β)是讨论复角α±β与单角α、β的正、余
弦函数间的关系，且此关系对任意角α、β均成立．
今天我们要讨论 tan(α±β)与 tanα、tanβ间的关系．大家想想，
能用 tanα、tanβ来表示 tan(α±β)吗？
[以旧引新，注意创设问题的情境．通过设疑，引导学生开展积极
的思维活动．]
生：(学生积极思考，完成下列推导．)
(这里要提示学生如何用 tanα、tanβ表示)
(Tα+β)
或
(Tα-β)
[启发学生将α－β看成α＋(－β)，从而可由公式 Tα+β得到公式
Tα-β．]
师：可以看出，以上推导是把两角和(或差)的正切转化为两角和(或
差)的正、余弦；把两角差的正切转化为两角和的正切，即都采用了“转
化”的思想方法．这种思想方法是研究数学问题的基本思想方法．
在上面推导过程中，是否还有其他值得注意的地方？
(稍加停顿，启发学生回答．)
分子、分母同除以 cosαcosβ，有没有条件限制？
生：cosα≠0，cosβ≠0．
师：还有什么限制？
生：cos(α±β)≠0．
师：因此，在公式 Tα±β中，必须注意α、β的取值范围，应该是
使 tanα、
应该用诱导公式．
[明确定理、公式成立的条件并从公式推导中提炼思想方法，使学生
的认识完整化．]
师：用什么方法能记住公式 Tα±β呢？
(让学生议论．)
生甲：这两个公式不必硬记，记住其推导过程，公式就自然记住了．
生乙：这两个公式的形式相同，区别仅在于符号上．我觉得只要记
住两点：一是右边分子里中间的符号与左边α±β中间的符号相同；
二是分母中间的符号与分子中间的符号相反．
[理解记忆和对比记忆都是记忆的有效方法．]
师：我们通过以下的例题来看看如何运用公式．
[例 1] 不查表，求值：
(1)tan75°；
(让学生互相讨论解决；教师巡视指导，并作小结．)
师：通过上例，有以下几个方面值得我们注意：
(1)将一般角转化为特殊角的和或差，可以不查表求值．
(2)运用公式时，不能仅局限在从左到右的正用，还要善于会从右到
左的逆用．
(3)单角和复角是相对的，60°＋α与 30°＋α也均可看成单角，
那么 30°角就是它们的差角(复角)，因此例 1(3)直接逆用公式 Tα-β即可．
没有必要将 tan(60°＋α)、tan(30°＋α)用公式 Tα+β展开后计算．
(4)掌握变形技巧，灵活进行“1”的代换．如例 1(4)：
[通过例 1(1)的解法暗示 1可用 tan45°来代换．]
[恰当地使用暗示，能达到启发学生思维的良好效果．]
师：下面，我们讨论例 2．
[例 2] 不查表，求值：
(1)tan15°＋tan30°＋tan15°·tan30°；
(2)tan17°tan43°＋tan17°tan30°＋tan43°tan30°．
(让学生思考和讨论，教师进行必要的启发诱导．)
生：第(1)题可以仿照求 tan75°的方法求出 tan15°，再求出整个式
子的值．
师：实际上大家都已注意到，15°与 30°两角的和是特殊角
45°，能否直接运用公式 Tα+β？如果能用，怎么用法？tan15°＋
tan30°相当于公式中的 tanα＋tanβ，那么这一部分怎样表示呢？
(教师可配之以手的形象动作，启发学生进行公式变形．)
生：可将公式 Tα+β变形为
tanα＋tanβ=tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)．(*)
师：例 2 (1)能用(*)式来解吗？请你继续说下去．
生：tan15°＋tan30°＋tan15°tan30°
=tan(15°＋30°)·(1－tan15°tan30°)＋tan15°tan30°=1．
[通过具体例子显示出灵活运用公式的优越性，必将给学生留下深
刻的印象，有利于学生解题技巧的形成．]
师：公式 Tα+β可以变形为(*)式，也就是可以用 tan(α＋β)与
tanαtanβ来表示 tanα＋tanβ．还可以这样变形，用 tanα＋tanβ与
tan(α＋β)来表示 tanαtanβ，即
(**)
能否运用(**)来解例 2 (1)呢？
(不少学生跃跃欲试．)
生：根据(**)式，
∴tan15°＋tan30°＋tan15°tan30°
=tan15°＋tan30°＋1－tan15°－tan30°=1．
师：这里说明，对于公式我们不仅要会正用，还要会逆用，有时还
需要适当变形后再用．大家能否用这样的思想自己完成例 2(2)．
(让一学生板演．)
[例 3] 已知 tanα与 tanβ是一元二次方程 3x2＋5x－2=0的两个根，
且 0°＜α＜90°，90°＜β＜180°．
(1)求α＋β的值；
(2)求 cot(α－β)．
师：求α＋β的值，一般是通过求它的某个三角函数值而得到．
求哪一个三角函数值较方便？求值的条件具备了吗？
生：可直接求出方程的两根
∵0°＜α＜90°， 90°＜β＜180°，
运用公式 Tα+β，问题即可解决．(以下略．)
师：能不求方程的根吗？实际上，在公式 Tα+β里，出现的是 tanα
＋tanβ与 tanαtanβ，你能联想到什么知识？
[不失时机地联系旧知识．在以新带旧的过程中，数学知识可以不
断得到深化，学生的思维能力可以得到提高．]
生：由一元二次方程根与系数的关系有
∴α＋β=135°．
师：上面的解法，有没有问题？
(略停顿，引导学生观察、思考．)
由 tan(α＋β)=－1能肯定α＋β=135°吗？其依据是什么？
生：∵0°＜α＜90°，90°＜β＜180°，
∴90°＜α＋β＜270°．
在 90°与 270°之间，只有 135°的正切值为－1，
∴α＋β=135°．
[要特别提醒学生，这种忽略讨论角度范围的错误，在学习中是常
见的，要引起足够的重视，以培养学生思维的严密性．]
师：不求方程的根，tanα－tanβ如何求呢？
(引导观察 tanα－tanβ，tanα＋tanβ，tanαtanβ三者之间的关系，
进而启发学生得到下面的方法．)
∵(tanα－tanβ)2
=(tanα＋tanβ)2－4tanαtanβ
又 tanα－tanβ＞0，
[根据代数知识，创造运用公式的条件，以使学生灵活地综合运用
学过的知识，培养分析与解决问题的能力．]
师：请小结一下本课所讲的内容．
生：主要内容有推导公式(Tα±β)，讨论公式中α、β、α±β的取
值范围，如何运用公式？做到三会：正用、逆用、变形用．
师：课外做如下作业．
阅读课本有关内容(略)．
课本习题(略)．
研究题：
1．若 tanα与 tanβ是方程 x2－4x＋1=0的两个根，且α、β均为
锐角，求α＋β的值．
2．不查表，求
(1＋tan1°)(1＋tan2°)…(1＋tan43°)(1＋tan44°)的值．
3．求证：
tan(A－B)＋tan(B－C)＋tan(C－A)=tan(A－B)tan(B－C)tan(C－A)．
自我评述
这是一节比较典型的传授新知识课，其教学过程可概述如下：
(1)复习旧知识，引入新课题；
(2)推导公式，弄清条件，认识新知识；
(3)运用公式，熟悉变形，巩固新知识；
(4)小结，布置作业．
对全课作了如此设计，主要基于以下几点：
(1)“两角和与差的三角函数”这一章的突出特点是公式多，处理不
当无疑将成为学生学习的一种负担．所以在教学中要针对这一特点，充
分揭示公式之间的内在联系，掌握与理解公式的来龙去脉，掌握公式的
导出方法，理解公式的成立条件．也就是让学生对本课要学习的新知识
有一个清晰的完整的认识．只有在此基础上才可能谈得上灵活地运用公
式．忽视公式的推导和条件，直接记忆公式的结论是降低教学要求，违
背教学规律的做法．
(2)要使学生能正确、熟练、灵活地运用公式进行三角变换，掌握变换
的技能、技巧，必须对每个公式力求在运用上做到“三会”，即会正用、
会逆用、会变形后用．学生对公式的逆用，特别是变形后的运用常感到
困惑，因此是教学中的难点．教学中应加强这方面的训练，以利于学生
观察能力的培养，利于良好思维品质的形成．
(3)本课采用启发引导，讲练结合的教学方法，既发挥了教师的主导
作用，又体现了学生的主体地位．学生获取知识必须通过学生自己的一
系列思维活动来完成，课堂上教师的作用主要在于给学生设计好符合他
们学习心理过程的学习程序．通过设疑、暗示、课堂讨论等多种教学形式
和方法，学习兴趣，使他们自始至终处于一种积极进取的兴奋状态．使
他们通过在教师引导下的独立活动，自然而有效地获取知识、技能和技
巧．同时在数学教学的实践活动中形成、发展学生的数学能力．
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