子集、交集、并集、补集的综合练习教案
教学目的
(1)深化对子、交、并、补集等一系列概念的理解；
(2)灵活应用元素与集合关系的两个基本特征——确定性和互
异性，解决集合的确定、集合之间关系的确定等问题，提高学生的
判断能力和论证能力；
(3)利用韦恩图及坐标系的直观性，认识并解决有关集合的问
题，提高数形结合的能力．
教学过程
一、确定集合，确定集合的相互关系
[例1](板书)判定下列集合之间的包含关系或相等关系．
(1)M={2m－1，m∈Z}，N={4n±1，n∈Z}；
(2)M={2m，m∈Z}，N={4n±2，n∈Z}；
师：请大家逐个回答例1中的各题，并说明理由．
生：(1)M=N．这是因为M、N 都是奇数集．
师：M={奇数}，这是众所周知的，但是由4n是偶数，4n±1
必是奇数这一事
应当说明任何一个奇数必定都可以写成4n＋1或 4n－1的形
式，能做到这一点吗？
[使学生深知，正确的判断必须有充分的理由，并借此深化对
集合相等的概念的认识，培养学生思维的严密性．]
生：奇数都可以写成2m－1(m∈Z)的形式，当m是偶数时，
设m=2n，则2m－1=4n－1；当m是奇数时，设m=2n＋1，则2m－
1=4n＋1，由此可知，不论
师：很好．如果强调一下整数m只有奇数和偶数这两种可能
性，论述就更完整了．下面请回答第(2)题．
这一结论．然后要求学生说明理由．)
(这一回答将所有属于M 而不属于N 的元素完全列举出来了，
是有说服力的，但不是最好的方法．)
于N 的所有元素无一遗漏地全部列出，而只需举出一个反例
即可，例如0∈M，但
[为确认一个命题是假命题，只需举出一个反例就可以了，这
是一种重要的论证方法．会举反倒是重要的推理能力，教学中应
注意对学生的培养．]
师：请回答第(3)题．
师：这一结论能说明什么呢？
生：E是一个无理方程的解集，F是将此无理方程两端平方后
所得的方程的解
师：对！方程两端同时平方不一定是解方程的同解变形，可
能产生增根，因此要验根．下面再请回答第(4)题．
师：这一结论又能说明什么呢？
生：P是一个分式不等式的解集，Q是将此不等式去分母后所
得的整式不等式
师：对！对于分式不等式采用去分母的方法也不一定是同解
变形．应当避免这种将解分式方程的方法盲目套用到解分式不等
式中去．
[学生套用解方程的方法解不等式是一种常见的负迁移，稍不
小心就会出错，要常提醒．]
求a．
(此题用作深化对元素与集合关系的两个基本特征——确定性
与互异性在解题中作用的认识，增强对字母进行讨论的能力．由
于题意明确，思路清楚，可由学生自己解决．)
解∵A∩B={9}，∴9∈A．
若 2a－1=9，则a=5，此时 A={－4，9，25}，B={9，0，－
4}，这样A∩B={9，－4}，与已知矛盾，应舍去．
当a=3时，A={－4，5，9}，B={－2，－2，9}，B中两个元素
都是－2，与互异性相矛盾，应舍去；
当a=－3时，A={－4，－7，9}，B={9，－8，4}，符合题意．
答：a=－3．
师：此题说明：当集合的元素用字母或含有字母的式子表示
时，对所求得的结果一定要检验，凡与已知条件或元素与集合关
系的两个基本特征——确定性、互异性相矛盾的结果都应舍去．
[在教学中，应当培养学生对字母进行讨论的习惯．]
{4，6，8}，求 A、B．
师：此题的条件与结论，正好和求两个已知集合的交集与并
集相反．
[这就是逆向思维．进行这样的思维训练，有助于提高学生思
维的灵活性．]
不难得知，I中共有1，2，3，4，5，6，7，8，9九个元素，
其中2，1，9，4，6，8六个元素的归属已经确定，因此只需确定
余下的三个元素3，5，7的归属，就可得出结论．凭你们的直觉，
结论应当怎样？
师：怎样说明呢？结论直接说明不容易，能不能运用反证法
呢？
师：最后的结论是什么？
生：A={2，3，5，7}，B={2，4，6，8}．
[先凭直觉作出猜测，然后推证猜测成立，这是一种常见的思
维模式．]
师：元素与集合关系的另一个基本特征——互异性在解此例
题的过程中用到了吗？
生：……．(不容易回答．)
师：我们在分析此例的过程中，先根据已知条件确定了
1，2，4，6，8，9的归属，然后集中讨论3，5，7的归属，最后
确定 A与 B．这一推理正是依据了“互异性”才得出的．
二、韦恩图及数轴的应用
[例4](板书)某班学生共50人，喜欢打羽毛球的有30人，喜
欢打乒乓球的有25人，两样都喜欢的有15人，求两样都不喜欢
的人数．
师：我们尚未学过计算各个集合元素个数的方法，但是借助
于韦恩图可显示出各相关集合的元素个数的相互关系．
解 设 I={某班学生}，
A={喜欢打羽毛球的人}，
B={喜欢打乒乓球的人}，
则 A∩B={两样都喜欢的人}，
A∪B={两样中至少喜欢一样的人}，
(上述过程可在教师的启发下由学生自己来完成．)
数；能否借助于韦恩图(图1)，找出它们之间的相互关系？
生：n(A∪B)=n(A)＋n(B)－n(A∩B)，
师：对！请由此算出结果．
生：30＋25－15=40是至少喜欢一样的人数，50－40=10是两
样都不喜欢的人数．
师：借助于韦恩图得出的结论是有一般性的(证明略)，但要
注意不能写成 A=30，B=25，A∩B=15，这种写法是与集合的符号
相悖的．
师：此题中涉及的集合较多，关系也较复杂，所以要认清题
意，设计出解题程序．
等式的解集，通过对字母系数的讨论来确定集合 C，并解决 C
与其他集合的关系．
[这一解题原则具有普遍意义．]
生：A={x|－2＜x＜3}，B={x|x＜－4或 x＞2}，
时，结果有何不同？
生：当a＞0时，C={x|a＜x＜3a}；
当a＜0时，C={x|3a＜x＜a}；
么方法能比较直观地显示这两个集合之间的关系呢？
生：可借助于数轴．
(由于学生已有将不等式的解集表示在数轴上的训练，完全有可能
做出这样的判断．)
师：我们一起来看图2．
(1)当 a＞0时，
当a＜0时，C是负半轴上的一个区间，而 A∩B是正半轴上的一个
区间，因
当a＜0时，
意和寻求解题途径的关键．
讨论数轴上区间的覆盖时，要处理好端点的取舍．
用一个开区间或闭区间覆盖一个开区间时，是允许有一个或两个端
点重合的．这
用一个闭区间覆盖一个闭区间时，也允许端点重合．
而用一个开区间覆盖一个闭区间时，则不允许开区间的任何一个端
点与闭区间的
三、小结
今天我们通过五个例题，对子集、交集、并集、补集的概念进行了综
合练习．有两个重要的结论：
集合的确定以及集合之间关系的确定，应通过元素与集合关系的两
个基本特征来加以解决．
韦恩图及坐标轴体现了数、形结合，应自觉加以应用．
四、作业
1．判定下列集合之间的关系：
(1)M={(x，y)|x＋y＞0且xy＞0}，N={(x，y)|x＞0且y＞0}；
求a的值．
5}，A∩B={1}，求 p、q、r的值．
4．设 A={x|(x＋2)(x＋1)(x－1)＞0}，B={x|x2＋ax＋b≤0}，已知
A∪B={x|x＞－2}，A∩B={x|1＜x≤3}，求a、b的值．
5．某班共50人，报名参加数学课外小组的有30人，报名参加物
理小组的有35人，报名参加化学小组的有25人，同时报名参加数学、
物理两个小组的有22人，报名参加数学、化学两个小组的有20人，报
名参加物理、化学两个小组的有18人，同时报名参加三个小组的有15
人，求没有报名参加其中任何一个小组的人数．
自我评述
现行高中数学教材中，只是介绍了集合的一些基本概念，没有系统
研究集合的运算．因此，有关子集、交集、并集、补集等问题，只能依据
它们的定义，归结为元素与集合的关系，或是借助于韦恩图、坐标系作
直观性说明，即便在这一范围内，也是大有文章可做的．
培养学生的逻辑思维能力，是数学教学的重要任务．依据定义进行
推理，是培养逻辑思维能力的重要一环．在这方面，初中阶段不大可能
进行很多的训练．进入高中以后，这种训练是应逐步加强的．在高中代
数教材的第一部分内容——集合的教学中，有必要也有可能将培养这种
能力作为一项重要的教学内容．
本节课中对例1～例3的分析与讨论，反复应用了集合的子、交、并、
补的定义及元素与集合关系的两个基本特征——确定性与互异性．各例
题中所需判断的结论，既有需要经过证明加以肯定的，又有需要经过构
造反例加以否定的．
例1～例3的解题过程中，首先要求学生作出判断，这是考察和培
养学生的直觉思维能力的过程．直觉思维得出的结论不一定都正确，应
当用分析的方法完成其推理与证明．但是，直觉思维往往具有发散性、
创造性的品质，有意识地创造一定条件让学生运用直觉思维的形式进行
思考并作出判断应当在教学中予以加强．
思维有方，表达无术，这是当前中学生一个突出的缺陷．教师的示
范和对学生进行适当的训练是纠正这一缺陷的重要措施．例3的解题过
程中，既注意利用学生思维有方的优点，又注意通过教师的示范及学生
必要的模仿克服其表达无术的不足．初中阶段的数学教学虽然也安排了
用图像法解方程组及用代数方法解平面几何的问题等内容和习题，但学
生尚未形成数形结合的思维习惯．在高中数学教学中，数形结合应当成
为一条重要的教学原则．现行高中数学教材中，数形结合的知识体系主
要集中于平面解析几何和立体几何中，处理边角关系的问题也有较多的
应用，但是代数教材中体现数形结合思想和方法的内容比较少，学生不
容易留下较深的印象，更不容易形成良好的思维习惯和方法．因此，在
代数教学中需要有意识地适当补充这一方面的教学内容，加强这一方面
的训练．
在集合的子、交、并、补等概念的教材中，已引入了韦恩图，但仅仅
是作为表示集合的一种方法，没有发挥其作为解决有关集合问题方法的
作用．本节课中例4对高一学生来说，要求是高了一些，一方面由于我
校学生基础较好，另一方面采用数形结合的方法，发挥韦恩图的作用，
大多数学生还是能接受的．事实上，例4中通过韦恩图显示出的关系式
是具有一般性的．
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