概率的加法公式教案
教学目的
使学生了解概率加法公式的应用范围和具体运算法则．
教学重点和难点
互斥(或称互不相容)事件的概念．
(教学方法：讲练结合)
教学过程
一、复习
1．在“集合论”中集合之间的交或并分别有哪些运算？
2．在“集合论”中集合间的交、并、余的对偶律是什么？
(以上结论请看附录 1)
二、新课引入
对于一些较复杂的事件的概率，直接根据概率的定义来进行计算是很不方便的．
为了将一些较复杂的概率的计算化成较简单的概率的计算，首先要学会将所考虑的事
件作出相应的正确运算．这一节先讲事件的和的意义．然后再讲对于怎样的事件可应
用哪一种概率加法公式计算事件的概率．
三、进行新课
1．事件的和的意义(见附录 2)
对于事件A和事件 B是可以进行加法运算的．A＋B表示这样一个事件：在同一
试验下，A或 B中至少有一个发生就表示它发生．例如抛掷一个六面分别标有数字
1、2、3、4、5、6的正方体玩具，如果掷出奇数点，记作事件A；如果掷出的点数不大于
3，记作事件 B，那么事件A＋B就是表示掷出的点数为 1、2、3、5当中的一个．
事件“A1＋A2＋……＋An”表示这样一个事件，在同一试验中，A1，A2，
……，An中至少有一个发生即表示它发生．
2．互斥事件的意义
不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件．如从 52张扑克牌中抽出一张牌．
设事件A为抽到一张红心，事件 B表示抽到一张红方块．则事件A与 B是互斥的．
3．互斥事件的概率加法公式
证：基本事件的总数 n充分大时，A发生了μ1次，B发生了μ2次
∴A＋B发生了μ1＋μ2次
∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)
上述公式 1可以推广：
若事件A1，A2，……，An中任何两个都是互斥事件，则称事件A1，A2，……An彼
此互斥．
则 P(A1＋A2＋……＋An)＝P(A1)＋(A2)＋……＋P(An)
4．任意事件条件下的概率加法公式
将最后两个式子代入(*)中即得公式 2．
当A、B为互斥两事件时，即A、B不可能同时发生，也即 P(AB)＝P(V)＝0，所以
公式 2就转化为公式 1．这就是说公式 P(A＋B)＝P(A)＋P(B)是公式 P(A＋B)＝P(A)＋
P(B)－P(AB)的特殊情况．
5．对立事件的意义
对于事件 A和 B，如果它们互斥，且其中必有一个要发生，则称 A和 B为
对立事件．
按照这个定义，A＋B为必然事件U．
∴ P(A＋B)＝P(U)＝1．
对于有些事件A直接计算其概率很困难时，可以利用这公式，先求事件A的对
如果事件A1，A2，……An之中至少有一事件发生，即这些事件的和A1＋A2＋……
＋An是必然事件，且这 n个事件两两互斥，那么有：
P(A1＋A2＋……＋An)＝1
即 P(A1)＋P(A2)＋……＋P(An)＝1．
6．举例
从一副 52张的扑克牌中任取 4张，求其中至少有两张牌的花色相同的概率．
解：设A＝取出四张牌中至少有两张牌的花色相同；
B1＝取出四张牌是同一花色的；
B2＝取出的四张牌中有 3张牌是同一种花色的，另一张牌是其它花色的；
B3＝取出的四张牌中每两张牌是同一种花色的；
B4＝取出的四张牌中只有两张牌是同一种花色的，另两张牌分别是不同花色的．
又解：在上面的解法中
四、巩固新课
1．用下列两个题目巩固一下事件的运算法则，包括事件的和与事件的积．
(1)设A，B，C表示三个随机事件，试将下列事件用A，B，C表示出来：
(ii)A，B，C都发生[ABC]；
(2)袋中有十个球，分别编有 1至 10共十个号码，从袋中任取一个球，设事件：
A＝取得的球的号码是奇数；
B＝取得的球的号码是偶数；
C＝取得的球的号码小于 5．
则下列运算分别表示什么事件？
(i)A＋B[必然事件]；
(ii)A·B[不可能事件]；
(iv)A＋C[取得的球的号码是 1、2、3、4、5、7、9]；
(v)AC[取得的球的号码是 1或 3]；
(vii)B＋C[取得的球的号码的 1、2、3、4、6、8、10]；
(ix)BC[取得的球的号码是 2或 4]；
2．用下面几个例子巩固一下概率的加法公式，包括互斥事件和任意事件两种情况
下概率加法公式的应用．特别注意，如何选择恰当的事件(必要时对于事件A，选
(1)袋中有 5个白球和 3个黑球，从其中任取两个球，求取得的两个球颜色相同的
概率．
解：A＝两球颜色相同；
B＝两白球；
C＝两黑球．
A＝B＋C 其中 B、C互斥
又解：在上面的解法中
(2)在所有的两位数(10～99)中，任取一个数，求这个数能被 2或 3整除的概率．
解：A＝取出的两位数能被 2整除，
B＝取出的两位数能被 3整除，
因为在所有的 90个两位数中，能被 2整除的有 45个，能被 3整除的有 30个，而
能被 6整除的有 15个，
(3)袋中有红、黄、白色球各一个，每次任取一个，有放回地抽三次，求下列事件的
概率：
(i)A＝三个都是红的＝“全红”，A'＝“全黄”；
(ii)B＝颜色全同；
(iii)C＝全不同
(iv)D＝不全同
(v)E＝“无红”，E'＝“无黄”；
(vi)F＝“无红”且“无黄”；
(vii)G＝“无红”或“无黄”；
(viii)H＝“全红”或“全黄”．
五、小结
两个事件A和 B是互斥的可应用概率加法公法：
P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，
这个公式也可以推广到 n个彼此互斥事件的情形：
P(A1＋A2＋……＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋……＋P(An)．
这公式是很有用的，利用它常可使一些概率的计算得到简化．
如果两个事件A与 B不互斥，那么存在着概率加法公式
P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)．
六、布置作业
1．判别下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判别它们是不是对立事件．
从一堆产品(其中正品与次品都多于 2个)中任取 2件，其中：
(1)恰有 1件次品和恰有 2件次品；
(2)至少有 1件次品和全是次品；
(3)至少有 1件正品和至少有 1件次品；
(4)至少有 1件次品和全是正品．
2．一个均匀材料做的正方体玩具，各个面上分别标以数 1、2、3、4、5、6．设事件A
表示出现奇数点(指向上一面的点数是奇数)，事件 B表示出现点数不超过 3．
(1)试判断A与 B是互斥事件还是对立事件？
(2)试计算下列各式的值：
P(A)，P(B)，P(A＋B)．
(3)试比较 P(A)＋P(B)与 P(A＋B)两式的大小．
(4)由(3)题的结论你能得出在什么样事件的情况下公式 P(A＋B)＝P(A)＋P(B)成立？
/1
