双曲线的几何性质教案
●教学目标
（一）能力训练要求
1.深化双曲线的性质.
2.提高解题的综合能力.
（二）德育渗透目标
通过综合题的解题训练，使学生清楚综合问题是简单问题的复合，学会抓主要矛盾、分
解矛盾、解决矛盾的方法.
●教学重点
学生解题综合能力的培养和提高.
●教学难点
学生解题综合能力的培养和提高.
●教学方法
师生共同讨论法
通过对具体问题的分析与讨论，使学生对综合问题有一个清楚的认识，并学会将问题
分解、各个击破、通过综合问题的解答，提高学生的运算能力、探索能力、分析问题、解决问题
的能力.
●教具准备
投影片三张
第一张：本课时教案的例4（记作§8.4.3 A）
第二张：本课时教案的例5（记作§8.4.3 B）
第三张：本课时教案后面的预习内容及预习提纲.（记作§8.4.3 C）
●教学过程
Ⅰ.课题导入
［师］上节课我们学习了双曲线标准方程的求法，具有实际意义的问题的求解方法，
请同学们回忆一下，解具有实际意义的问题的关键是什么？
［生］解具有实际意义的问题，关键是把它抽象成数学问题，将已知条件转化成数学
语言.
［师］中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线有几条准线？它们有什么特征呢？
［生］有两条准线，都垂直于实轴且关于虚轴对称.
［师］对于双曲线、椭圆，无论其中心在哪里，双曲线都有六线四点四个不变量，椭圆
都有四线六点四个不变量，那么对于焦点在同一条坐标轴上，标准方程表示的双曲线与椭
圆，线点不变量从形式上看哪些是相同的，哪些是不同的？
［生］除了曲线独有的，其余都是相同的，即从形式上看，有四线四点四个不变量是
相同的.双曲线的两条渐近线是独有的，椭圆的短轴的两个端点是独有的.
［师］好！同学们对椭圆、双曲线的基本特性已经掌握，下面，我们来看几个综合性的
题目.（打出投影片§8.4.3 A）
Ⅱ.讲授新课
［例 4］过点（0，3）的直线 l与双曲线 134
22
yx ,只有一个公共点，求直线 l的
方程.
分析：直线 l满足两个条件：一是过点（0，3），二是与双曲线只有一个公共点，可
以利用点斜式设出 l的方程，再利用与双曲线只有一个公共点，确定直线的斜率.从而求出
直线l的方程，但是直线l与双曲线只有一个公共点，怎样反映呢？
［生］直线与双曲线只有一个公共点，说明直线方程与双曲线方程组成的方程组只有
一组解.
［师］怎样判定方程组只有一组解呢？
［生］联立直线方程与双曲线方程，消元，整理成只含有某一个变量的一元二次方程，
看Δ的情况即可，当Δ=0时，方程有两组相同的实数解，实质上方程组解的个数只有一
个，说明直线与双曲线只有一个公共点.
［师］这时直线与双曲线的位置关系怎样？
［生］相切.
［师］好！直线与曲线相切时只有一个公共点，但只有一个公共点的直线与曲线一定
相切吗？
（学生思考，有相当数量的学生说一定相切，这时教师再予以启发）
［师］考虑一下与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有几个交点？
［生］一个公共点，只有一个公共点.
［师］那么能不能说直线与双曲线只有一个公共点，这条直线就一定与双曲线相切吗？
［生］不能.
［师］那么直线平行于双曲线的渐近线时，把直线方程与双曲线方程联立，消元，整
理成的一元方程有什么特点呢？
（学生动手探索）
［生］消元整理成的方程是一元一次方程.
［师］好！一般地，直线和二次曲线的位置关系，可通过讨论直线方程与二次曲线方
程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量 y（或x）.
若得到关于变量 x(或 y)的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式Δ，则有：
Δ＞0 直线与曲线相交（有两个公共点）
Δ=0 直线与曲线相切（有一个公共点）
Δ＜0 直线与曲线相离（没有公共点）
若得到关于变量 x（或y）的一元一次方程，则直线与曲线相交（只有一个公共点），
这时直线平行于双曲线的渐近线或后面我们将要学到的抛物线的对称轴或平行于对称轴的
直线.
（为后面的学习在这里打下伏笔）
下面请同学们将这个题的求解过程写出来.
（一位同学到黑板上做）
［生］解：设直线l的方程为
y=kx+3
将其代入双曲线 134
22
yx 中，得
13
)3(
4
22
kxx
化简整理，得
（3-4k2）x2-24kx-48=0
当 3-4k2≠0时，
Δ=(-24k)2-4(3-4k2)(-48)
=576k2-768k2+576
=-192k2+576=0
∴k2=3
即 k=± 3时，直线与双曲线只有一个公共点
当 3-4k2=0时，即 k=± 2
3 时，直线与双曲线的渐近线平行，此时直线与双曲线也只
有一个公共点.
∴所求直线l的方程为：
y=± 3 x+3或y=± 2
3 x+3
［师］对联立方程，消元后得到的一元方程，由于二次项系数含有变量 k，绝对不敢
忽略讨论，否则将导致解的不完整.
我们继续看一个题目.（打出投影片§8.4.3 B）
［例5］已知l1、l2是过点 P（- 2 ，0）的两条互相垂直的直线，且 l1、l2与双曲线
y2-x2=1各有两个交点，且分别为 A1、B1和A2、B2.
（1）求l1的斜率 k1的取值范围；
（2）若 A1恰是双曲线的一个顶点，求|A2B2|的值.
分析：本题涉及了两个基本问题：一是直线与双曲线相交于两点的判定问题，二是直
线被双曲线截得的弦长问题（连结曲线上两点的线段叫曲线的弦）.前一个问题的思想是：
直线与双曲线相交于两点 有两解双曲线方程
直线方程方程组
一元二次方程有两个不等的实根 判别式
Δ＞0;后一个问题的通常解法是不求交点坐标，当方程组经过消元化为一元二次方程后，
利用一元二次方程根与系数的关系来解答，即
|AB|= 221221 )()( yyxx
= 212212 4)(1 xxxxk
(其中 k为直线的斜率)
解：（1）据题意，l1、l2的斜率都存在
因为 l1过点 P（- 2 ，0），且与双曲线有两个交点，故方程组
1
)0)(2(
22
11
xy
kxky
①
有两个不同的解，在方程组①中，消去y，整理得
(k12-1)x2+2 2 k12x+2k12-1=0 ②
若k12-1=0，直线与双曲线的渐近线平行，与双曲线只有一个交点，与题设矛盾.故k12-
1≠0,即|k1|≠1,方程②的判别式为：
Δ1=(2 2 k12)2-4(k12-1)(2k12-1)
=4(3k12-1)
设 l2的斜率为k2，因为 l2过点 P（- 2 ，0），且与双曲线有两个交点，故方程组
消元
1
)0)(2(
22
22
xy
kxky
③
有两个不同的解，在方程组③中消去y，整理得
（k22-1）x2+2 2 k22x+2k22-1=0 ④
同理有 k22-1≠0,Δ2=4(3k22-1)
因为 l1⊥l2,所以有 k1·k2=-1,于是l1、l2与双曲线各有两个交点的充要条件是：
1
1
1
013
013
2
1
21
2
2
2
1
k
k
kk
k
k
解得
1
33
3
1
1
k
k
∴k1∈(- 3 ,-1)∪(-1,- 3
3 )∪( 3
3 ,1)∪(1, 3 )
(2)双曲线 y2-x2=1的顶点为（0，-1），（0，1），取 A1(0,1)时有：
k1(0+ 2 )=1
解得k1= 2
2
∴k2=- 21
1
k 代入方程④得
x2+4 2 x+3=0 ⑤
l2与双曲线的两个交点A2（x1,y1）、B2(x2,y2),
则x1+x2=-4 2 ,x1x2=3
∴|A2B2|= 212212 4)(1 xxxxk
152
12)24(3 2
当取 A1(0,-1)时，由双曲线 y2-x2=1关于 x轴对称知|A2B2|= 152
∴l1过双曲线的一个顶点时，|A2B2|= 152
注意：直线方程与双曲线方程消去 y后，得(k12-1)x2+2 2 k12x+2k12-1=0，绝对不能忽
视对 k2-1是否为零的讨论.仅仅从形式上认为是二次方程而去谈论Δ和根与系数的关系是
毫无意义的，所以在解题过程中用反证法证一下 k12-1≠0是非常必要的.
Ⅲ.课堂练习
已知直线l和双曲线交于A、B两点，和双曲线的渐近线交于C、D两点.
求证：|AC|=|BD|
证明：若直线 l平行于坐标轴，则根据图形的对称性，|
AC|=|BD|显然成立.
一般情况下，设 l的方程为 y=kx+m(k2≠ 2
2
a
b )，双曲线方程
为b2x2-a2y2=a2b2,渐近线方程为b2x2-a2y2=0.
由
222222 bayaxb
mkxy
得
(b2-a2k2)x2-2a2kmx-a2m2-a2b2=0
∴x1+x2= 222
22
kab
kma
∴AB中点 M的横坐标 xM= 222
22
kab
kma
由
02222 yaxb
mkxy
得
（b2-a2k2）x2-2a2kmx-a2m2=0
∴x3+x4= 222
22
kab
kma
∴CD中点 M′的横坐标 xM′= 222
2
kab
kma
∴xM=xM′
∵M和 M′在同一条直线上
∴M和 M′重合
∴|AC|=|BD|
Ⅳ.课时小结
本节课我们讨论了两个综合题，同学们要从中学会分析问题、解决问题的方法，并从中
受到解综合题的启示，通过多练习，提高自己的综合能力.
Ⅴ.课后作业
（一）《目标与检测》P844、5，P85能力训练1、2、3
（二）1.预习内容：课本 P115抛物线及其标准方程至例1结束.
2.预习提纲：
（1）抛物线的定义.
（2）抛物线的标准方程有几种形式？
（3）对于各种形式的标准方程表示的抛物线其焦点坐标、准线方程各是什么？
●板书设计
§8.4.3双曲线的简单几何性质（三）
例4
直线与曲线位置关系的判定方法
例5
例 6
弦长公式
练习
小结
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