0 0 类别 : 教案

棱柱教案 ●教学目标 （一）教学知识点 1.直棱柱的侧面积. 2.斜棱柱的侧面积. 3.棱柱的全面积. 4.棱柱的体积. （二）能力训练要求 1.使学生在理解的基础上掌握直棱柱的侧面积公式. 2.使学生通过分析得出求斜棱柱的侧面积的方法. 3.使学生熟练应用棱柱的体积公式. （三）德育渗透目标 1.让学生体会特殊与一般的互相转化. 2.培养学生“共性体现着个性，个性反映着共性”的辩证唯物主义观念. ●教学重点 棱柱的侧面积与体积计算. ●教学难点 斜棱柱的侧面积计算. ●教学方法 指导学生自学法 通过自学，让学生真正理解直棱柱的侧面积可以将其侧面展开后推导得出的过程，而 不是机械地死记公式，再通过寻找斜棱柱与直棱柱的本质区别而探究出斜棱柱的侧面积也 可用直截面周长与侧棱长的乘积表示这一重要公式的过程，使学生体会到特殊与一般的关 系，掌握获取知识的方法，提高获取知识的能力. ●教具准备 多媒体课件一个： 先作一个斜五棱柱 ABCDE—A′B′C′D′E′,再作此斜五棱柱的一个直截面 A1B1C1D1E1，将其分割上、下两部分几何体，把上边部分称几何体Ⅰ，把下面部分称几何体 Ⅱ，最后将下边的几何体Ⅱ对应的拿到几何体Ⅰ的上部，使 A与 A′重合，B与 B′、C与 C′、D与D′、E与 E′重合，这样组成一个新的几何体Ⅲ，通过以上演示，给学生一个直 观具体的印象，不难根据直棱柱的定义很容易证明几何体Ⅲ为一个直棱柱，从而得出斜棱 柱的侧面积公式. 投影片三张 第一张：本课时教案例 1（记作§9.7.3 A） 第二张：本课时教案例 2（记作§9.7.3 B） 第三张：本课时教案例 3（记作§9.7.3 C） ●教学过程 Ⅰ.课题导入 ［师］棱柱是常见的简单几何体，由于实际生活的需要，我们常常要对棱柱的侧面积、 全面积或体积等一些数据进行考察，这节课一起探讨一下如何去求一个棱柱的侧面积、全面 积、体积等问题. Ⅱ.讲授新课 ［师］请大家回忆直棱柱的性质有哪些？ ［生］侧棱垂直于底面，侧面是矩形. ［师］如何通过以上性质去寻找直棱柱的侧面积公式？ ［生］由于侧棱垂直于底面，将其侧面展开，得到一矩形，所以该直棱柱的侧面积等 于底面周长 C与高 h的乘积.（教师板书） ［师］以上推导虽简单容易，但其中体现了一种变“空间”为“平面”的重要转化思 想，它常常是立体几何中问题解决的关键点，希望大家在今后学习中注意应用. 下面，分析一例（打出§9.7.3 A,读题） 直三棱柱底面各边的比为 17∶10∶9，侧棱长为 16 cm,全面积为 1440 cm2,求底面各边 之长. 分析：这是一道跟直棱柱侧面积有关的问题，从结论出发，欲求底面各边之长，而各 边之比已知，可分别设为 17a、10a、9a,故只须求出参数 a即可，那么如何利用已知条件去求 a呢？ ［生］设底面三边长分别是 17a、10a、9a, S 侧=（17a+10a+9a）·16=576a 设 17a所对三角形内角 α， 则 cosα= 5 3 9102 )17()9()10( 222   aa aaa , sinα= 5 4 , S 底= 2 1 ·10a·9a· 5 4 =36a2 ∴576a+72a2=1440 解得：a=2 ∴三边长分别为 34 cm,20 cm,18 cm. ［师］此题中先设出参数 a,再消去参数，很有特色，望大家仔细体会. ［师］对于斜棱柱的侧面积又如何计算呢？ ［生］将斜棱柱的每一个侧面积求出，再将它们相加即可. ［师］好，能不能寻找斜棱柱与直棱柱的联系，从而通过利用直棱柱的体积去推导斜 棱柱的体积呢？ （学生思考，教师打出多媒体课件，对前面所述的过程做一演示） 大家观察到斜棱柱 ABCDE—A′B′C′D′E′,经过割和补过程将其变为直棱柱，那 么不难根据直棱柱的侧面积公式得出斜棱柱的侧面积公式. ［生］斜棱柱侧面积等于其直截面的周长 C′与侧棱长 l的乘积.（教师板书以上两种 求法） ［师］以上这位同学归纳得很好.我们将不易求侧面积的斜棱柱分割成两个部分后，又 把它组成一个易求面积的几何体，这种方法称为“割补法”，在求与多面体有关面积，体 积的问题中常常用到. 下面看一例子（打出§9.7.3 B,读题） 斜 三 棱 柱 ABC—A1B1C1 中 ， 底 面 是 边 长 为 4 的 正 三 角 形 ， 且 ∠A1AB=∠A1AC=60°,AA1=8,求它的全面积. ［师］大家结合前面与本节的知识想一想能求出这个斜三棱柱的全面积有几种方法？ （学生思考、动手练习、教师巡视、指导） ［师］此题目中欲求斜三棱柱全面积，只须求出其侧面积与底面积，而求侧面积又是 这个问题解决的关键，如何突破呢？ ［生］可以将这个斜三棱柱的三个侧面积逐个求出，再求其 和即可，叙述如下：（见右图） ∵∠A1AB=∠A1AC=60°, ∴AA1在底面 ABC上的射影是∠BAC的平分线 AD. ∵△ABC为正三角形，∴AD⊥BC ∴BC⊥AA1（三垂线定理） ∴BC⊥BB1 ∴侧面 BCC1B1是矩形 ∵ 31660sin841111  AACCAABB SS 平行四边形平行四边形 又∵S 11BBCC矩形 =4×8=32 ∴S 侧=32 3 +32 又∵S 底=4 3 ∴S 全=32 3 +32+8 3 =32+40 3 . ［生］也可以过某一侧棱上的一点作直截面，利用公式 S 侧=c′l,求出其侧面积. ［师］作斜棱柱的直截面时必须通过论证说明截面与侧棱交点的位置，确定截面的形 状，具体如何呢？ ［生］作 BD⊥AA1于D，连结 CD. ∵∠A1AB=∠A1AC=60° △ABC是边长为 4的正三角形， ∴△ABD≌△ACD ∴∠CDA=∠BDA=90° ∵AA1⊥BD,AA1⊥CD ∴AA1⊥截面 BDC，平面 BDC为直截面 ∴BD=CD=4·sin60°=2 3 , 又∵AA1=8 ∴S 侧=（2×2 3 +4）×8=32 3 +32 ∴S 三棱柱全=S△ABC+ 111 CBAS +S 侧=2×4 3 +32 3 +32=32+40 3 ［师］课下大家已经阅读了课本 P54的阅读材料，清楚了棱柱的体积等于它的底面积 S 与高 h的乘积，下面，我们在练习中巩固这一公式.（打出§9.7.3 C,读题，教师板书以上公 式） 长方体的一个顶点处的三个面的面积分别是 2 cm2、3 cm2、6 cm2,求它的体积？ ［师］欲求其体积，须知底面积与高，如何去实现呢？ ［生甲］可分别设出长方体的长、宽、高分别为 a、b、c,结合已知条件求出 a、b、c,即可求 得长方体体积. ［师］这位同学思路清晰自然，有别的意见吗？ ［生乙］我认为无需分别求 a、b、c,只需求出 a、b、c乘积即可达到目标. ［师］生乙的做法显然体现出了数学简捷性，使我们感到灵活地应用知识所带来的方 便.请一位同学叙述此题过程. ［生］设长方体的长、宽、高分别为 a、b、c，则依题意得 ab=2,bc=3,ca=6. ∴a2b2c2=36 ∴V=abc=6 cm3 ［师］以上题目并没有单独去求 a、b、c,而是求 ab、bc、ac再求 abc,从而简化了解题过程， 提高了解题速度，这就是数学中常用的技巧之一，即“整体求法”，它的特点是在探索数 学问题时，应研究问题的整体形式，整体结构或对问题的数的特征，形的特征，结构特征 作为整体性处理，希望大家在今后的学习中尝试着去应用. Ⅲ.课堂练习 课本 P46 7、8. 7.一个长方体的三条棱长之比是 1∶2∶3，体积是 48 cm3,求它的对角线的长. 解：设长方体的长、宽、高分别是 x、y、z,由 x∶y∶z=1∶2∶3,可设 321 zyx  =k, ∴x=k,y=2k,z=3k. V=xyz=6k3=48 ∴k3=8,k=2, ∴x=2,y=4,z=6 ∴对角线长为 142642 222  cm 8.正方体的棱长是 a,点 C、D分别是两条棱的中点. （1）证明：四边形 ABCD是一个梯形. （2）求截面 ABCD的面积. （1）证明：如图 CD∥EF，EF∥AB，CD∥AB.又 CD≠AB. （CD= 2 1 EF= 2 1 AB） ∴四边形 ABCD是梯形. （2） 8 9 a2 Ⅳ.课时小结 通过本节学习，对棱柱的侧面积公式能熟练推导，并由直棱 柱与斜棱柱之间的关系进而体会并理解特殊与一般的关系，对棱柱的侧面积、全面积、体积 公式能灵活应用到计算证明中. Ⅴ.课后作业 （一）课本 P46 9、10、11 （二）1.预习内容 （1）水平放置的平面图形的直观图的画法. （2）直棱柱的直观图的画法. 2.预习提纲 （1）画水平放置的平面图形的关键是什么？ （2）画直棱柱的直观图的基本步骤是什么？关系是什么？ ●板书设计 §9.7.3 棱柱（三） 1.直棱柱侧面积公式. 2.斜棱柱侧面积公式. 3.棱柱的体积公式. 练习（学生板演）