复数的几何、三角形式在解题中的应用教案
教学目的
通过复习复数三角形式的乘、除法运算法则及其几何意义，为学生提供多渠道的、
灵活的解题方法．由数形结合入手，着重训练学生掌握问题“转化”的思想方法，培
养学生分析问题与解决问题的能力．
教学过程
(教师讲评上次学生的作业，略．)
师：前面我们刚学过复数三角形式的运算，不仅掌握了它们的运算法则，也知道
了这些运算的几何意义．现在请看例 1．
(出示小黑板．)
[例 1] 已知复数 z0所对应的向量如图所示，通过作图，画出下列复数 z所对应的向
量：
(1)z=z0(sin30°＋icos30°)；
(教师在教室里巡视，稍过几分钟后，请三位学生板演，其中解第(1)题的学生，
把向量 按逆时针方向旋转 30°．
师：这三位同学画得对不对？还有别的方法吗？
生甲：第(1)题画错了，应当把向量 按逆时针方向旋转 60°，可现在只转了
30°．
师：为什么？
生甲：乘数 sin30°＋icos30°不是复数三角形式的标准式，应化为 cos60°＋
isin60°，这样才能应用复数乘法的几何意义来解题．
(教师再问那位画错图的同学是否明白，并请他叙述复数三角形式的判别方法．)
生乙：第(2)题还有另一种画法，先把向量 的模变为原来的一半，再按顺时
针方向旋转 90°．
师：完全正确．那么第(3)题是怎样画的呢？请做这道题的同学解释一下．
点O按逆时针方向旋转 120°，然后取其反方向的向量，模不变，得到向量 ．
生丙：也可以先取 的反方向的向量，然后按逆时针方向旋转 120°，得到向
量 ．
师：对的．例 1中的三个小题是用什么方法解决的？
生：是应用复数乘法和除法的几何意义来解决的．
师：对的．请讲得确切一些．
生：两个复数
z1=r1(cosθ1+isinθ1)，z2=r2(cosθ+isinθ2)相乘时，可以先画出分别与 z1、
师：例 1的解题过程给我们重要的启示：复数的乘法和除法运算可以转化为向量
的旋转与伸缩变换．也可以说是把代数问题转化为几何问题来解决．这种“转化”的
思想在分析与解决问题时经常要运用的．请看下面的例题．
(请学生分别叙述命题的充分条件与必要条件．)
师：请大家分析与解决这个问题．(让学生独立思考几分钟，然后组织讨论．)
师：很好．请讲出证明的步骤．(学生口述，教师板书．)
生：设 z=x＋yi，z'=x'＋y'i(x、y、x'、y'∈R)．
充分性：由
|ZZ'|2=(x－x')2＋(y－y')2=x2＋y2＋x'2＋y'2－2(xx'＋yy')
=x2＋y2＋x'2＋y'2=|OZ|2＋|OZ'|2，
师：对这种解法还有什么补充意见吗？
生：以上推导每一步都是可逆的，因此必要性也成立．
师：还有别的解法吗？
生：可以利用复数的三角形式，设法证明这两个复数的辐角主值相差 90°．
师：请具体地说下去．
(由学生口述，教师板书．)
生：设 z=r(cosθ＋i sinθ)，z'=r'(cosθ'＋i sinθ')．
=rr'[cos(－θ)＋i sin(－θ)]·(cosθ'＋i sinθ')
=rr'[cos(θ'－θ)＋i sin(θ'－θ)]．
师：下面介绍第三种解法．
师：请看下面的例题．
[例 3] 已知复平面内一个正方形的两个相邻顶点对应的复数分别为 1＋2i、3－5i．
求与另外两个顶点对应的复数．
设正方形ABCD，其中点 A的坐标为(1，2)、点B的坐标为(3，－5)．从图上看本
题有两组解，但求出 C、D两点后，C'、D'两点可通过中点坐标公式求得．只要把复平面
上的点的坐标求出来，该点所对应的复数也就确定了．C、D两点的坐标怎么求？
生甲：这是一道解析几何题．线段AB的长度是可求的，而|AD|=|AB|，|BD|=
个方程组可得到两组解．
师：点 C怎么求呢？
生甲：先求出 BD的中点，这个中点也是 AC的中点，再通过中点坐标公式求得
点 C的坐标．
师：分析很清楚，方法也正确．那么，这道解析几何题能不能应用复数来解呢？
(沉默片刻，课堂气氛开始活跃．)
师：怎么求？请再说下去．
(学生口述，教师板书．)
∴点D的坐标为(7，2)．
(学生中产生议论．)
生丙：点D的坐标肯定不会是(7，2)，从图上就可以看出来．
师：从图上可看出直线AD不平行于 x轴．问题在哪儿呢？
应的复数．
师：很好．这就告诉我们，只有当向量的起点在原点处，向量所对应的复数才是
向量终点所对应的复数，终点的坐标才是复数的实部与虚部．那么，怎样来理解向
∴点D对应于复数 8＋4i．
∴点 C对应于复数 10－3i．
如图，由中点坐标公式，可得点D'对应于复数－6，点 C'对应于复数－4－7i．
通过这个例题，我们可以体会到代数问题和几何问题互相转化的思想在分析问题
与解决问题中的重要作用．为了加深这方面的印象，请看：(板书．)
(1)若原题改为“正三角形ABC(字母按逆时针顺序写，见图)，求点 C对应的复
数．”
师：(2)若原题改为“以 C为直角顶点的等腰直角三角形ABC(字母按逆时针顺序
写，见图)，求点 C对应的复数．”
师：应该根据题意，观察图形，向量旋转后是应该进一步考虑向量的模是否有所
改变．如果有变化，应该确定模是原来的多少倍．(板书．)
(3)若原题改为“以 AB为底边且底角为 30°的等腰三角形ABC(字母按逆时针顺
序写，见图)，求点 C对应的复数”．
师：很好．我们还可以继续引伸下去，但主题是一个．充分发挥复数的乘、除与
向量旋转之间互相转化的思想，帮助我们去思考问题，寻求解决问题的方法．下面请
看第四个例题．
[例 4] 证明
(学生思考片刻，请一学生回答．)
生：这是一道反三角函数的计算题．设
只要算出 tan(α＋β)=1，原题就可得证．
师：这是一种证法，还有另外的证法吗？是否可以利用复数的性质来证呢？(稍停
片刻)这个问题实质上是要证θ1＋θ2=θ3，可以设
z1=r1(cosθ1＋isinθ1)，
z2=r2(cosθ2＋isinθ2)，
z3=r3(cosθ3＋isinθ3)，
只要证 z1·z2=z3，就证明了θ1＋θ3=θ3．因此我们要造出两个复数，它们的辐
∵z1·z2=(2＋i)(3＋i)＝5＋5i=z3，
由乘法运算法则 argz1·z2=argz1＋argz2，且 0＜argz1＋argz2＜π，
师：很好，这两个复数的造法并不是唯一的，当然选择简单的为好．这题本来是
一个反三角函数的计算题，我们把它转化为复数的乘积问题来处理，既简化了解题过
程，又拓宽了解题思路．今天这节课，围绕着复数乘、除法的几何意义的应用，从数形
结合、数形互相转换的角度上，讨论并学习了一种重要的思考方法，希望在今后的实践
中进一步去体会与运用．现在布置作业．(略．)
自我评述
这是我一次课(二课时)的课堂教学实录，其中包括教案及授课情况记录．为了写成
此文，我作了些修改、调整和补充，但基本上仍保持那一次课的实际情况．
(1)我坚持每次课(我校高中数学课二课时连排)的第一个内容就是讲评作业．指出
学生作业中的错误或不妥之处，使学生引以为戒．介绍作业中好的想法与解法，让学
生互相学习，取长补短．对学生的作业态度进行批评与表扬．有话则长，无话则短．
为此，必须要在备课前全批全改学生的作业，做到胸中有数，备课有针对性．这是我
长期来形成的习惯．
(2)每一次课一般都有一个主题，应当使学生能尽早地去接触这个主题．为此，要
设计问题情境，而且要引导学生的思维尽快进入问题情境，让学生的思维在情境中自
由自在地遨游，主动地去解决问题，探索规律．选择第一个例题的目的就在于此，而
且还起到承上启下的作用，既复习了前面的知识，又为本课提出了问题．
(3)一次课的主题如同一首交响乐曲的主旋律，应多次反复出现，并引向高潮．这
不仅能引起学生对主题的注意与重视，而且重要的是使学生感受到了主题对他的精神
作用，正如同欣赏主旋律的美与力量之所在．不要让学生仅仅学了一点方法、技巧或
“招数”，而在思维能力上得不到训练与提高．
本次课就是围绕着复数的乘、除法与向量的旋转的互化(即数形结合、数形转化)这一
个主题，让学生领悟到“转化”这一个重要的数学思想方法，去品味这个唯物辩证法
的哲理．第二、三个例题就是为了这个目的而设计的．第三个例题是本次课的高潮．第
四个例题是为了巩固与测试．
(4)在课堂教学中，我常常采用变式教学方法．当问题得到基本解决后，喜欢“引
伸”．有时候是有准备地扩展引伸；有时候根据授课实际情况，临时编排问题，甚至
是“节外生枝”、“声东击西”；有时只有一、二个问题，有时就是一串问题．目的是
为了让学生加深对事物本质的理解和提高应变能力．思考问题既抓住本质，又要灵活、
敏捷．培养学生思维能力的一个重要渠道是利用课堂教学对学生进行思维品质的训练．
(5)在本次课堂教学中，我采用师生对话的方式．这种类型的课(例题分析或练习
课)，要妥善处理好学生的主体地位与教师的主导作用的辩证关系．通过对话提高学生
学习的积极性与兴趣，通过对话引导学生积极思维，探索问题，总结规律．长期来，
我在课堂教学中形成了这样一些习惯：重要的结论或一些带有规律性的东西，尽量启
发学生思考，调动他们的主动性与求知欲，尽可能通过学生的语言说出我想要说的话，
从不完整到完整，从不严密到严密，教师可以补充．对于学生错误的看法与做法，我
尽量不早下结论，更不去批评与指责，启发学生反复思考，认清出错的原因，这样师
生就能在平等的气氛中进行对话，而达到良好的教学效果．
(6)提高课堂教学的实效，加快学生的思维节奏，不拖泥带水．该说的话，要说到
点上，要说透．能少说的，就决不多说，尽量挤出时间让学生多练，训练学生的思维，
训练学生的数学语言表达能力．通常每次课我都挤出十五分钟左右的时间给学生做练
习，尽可能减少课外作业时间，提倡利用课余时间广泛阅读参考书．
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