不等式的应用 2——最值问题教案
教学目标
1．深刻理解不等式中，两个或三个正数的算术平均数不小于它们
的几何平均数这一定理，即平均值定理．
2．熟练应用平均值定理，求某些问题的最值．
3．培养学生严谨的思维品质，以及对数学思想方法的理解和运用，
提高学生灵活运用所学知识解决问题的能力．
教学重点与难点
平均值定理适用的条件，及其变形使用．
教学过程设计
(一)不等式平均值定理的功能
师：不等式平均值定理的内容是：若干个正数的算术平均数不小于
它们的几何平均数．即：
在高中阶段，我们只要求同学掌握两个或三个正数的算术平均数不
小于它们的几何平均数．请同学用数学表达式表示上述定理．
(教师板书)
师：由两个不等式的结构来看，它们的功能是：从左往右可以把和
的形式缩小为积的形式；从右往左可以把积的形式扩大为和的形式．为
了使用方便，通常把不等式变形为
由于平均值定理在特殊形式下，可以进行放缩变换，因而它在数学
中，可以作为用综合法证明不等式的依据，还可以作为求最值问题的工
具．
今天，我们主要研究应用平均值定理求最值的问题．
(二)应用平均值定理求函数的最值
例 1 当 0＜x＜2时，求函数 y=x(2－x)的最大值．
师：函数 y=x(2－x)是积的形式，求最大值实质是要做什么样的转
化？
生：可以使用平均值定理把积的形式转化成和的形式．
师：平均值定理是对正数而言的，由于 x，2－x都是正数，所以
在什么条件下“≤”取“=”号？
生：当且仅当 x=2－x，即 x=1时，取等号．此时，y的最大值为
1．
师：把积的形式化为和的形式，这个和应该为定值才行．
(教师板书)
解：由 x＞1，知 x－1＞0．则
所以当 x=2时，y的最小值为 6．
师：运用平均值定理求函数的最值时，必须要有和的定值或积的定
值出现．即
不等式①②可以在求函数的最大值时使用．
时，取“=”号．
当 a=b=c时，取“=”号．
不等式③，④可以在求函数的最小值时使用．
例 2中对函数式的运算结构稍做变化，就可以使用定理了．
例 3 填空题：
师：请同学来分析(1)．
生甲：由于 x＞0，则
生乙：我的做法与甲同学不一样．
由于 x＞0，则
师：甲、乙两位同学对函数式的变形采取了不同的方法，但都得到
了定积，谁是谁非呢？
师：分析的很好！在拆、凑函数式的时候，除了要考虑能否得到
“定积”或“定和”以外，还要顾及使用平均值定理后，能否取“=”
号．这一条件如果思维不严密，就会出现错误．
由学生自己解(2)．
(板书如下)
如果学生的板书有漏洞或错误，教师可以边纠正，边总结应用平均
值定理求函数最值的步骤．
如果学生板书没有问题，教师可以请学生总结步骤．并进行适当的
引导或补充．
应用平均值定理求函数的最值，要注意的问题有：
(1)函数式中诸元素是否为正数；
(2)诸元素的和或积是否为定值；
(3)判断“=”是否成立．
(三)灵活运用平均值定理求最值
师：此题为三角函数求最值的问题，应从何处入手？
师：函数式中涉及到正、余弦两种三角函数，可以利用同角的平方
关系进行转化．
师：对函数式的变形是灵活多样的，但宗旨都是使和或积为定值．
例 5 若正数 x，y满足 6x＋5y=36，求 xy的最大值．
教师可以先让学生进行讨论，然后再请一位同学发言．
(板书如下)
解：由于 x，y为正数，则 6x，5y也是正数，所以
当且仅当 6x=5y时，取“=”号．
师：函数式中含有根式，不容易看出定积是否存在，用什么方法解
决这个问题？
生：可以先用换元法把根式去掉，再把函数式进行转化．
师：换元法是常用的数学思想方法，能帮助我们把复杂问题简单化．
(四)不等式在应用问题中的应用
例 7 已知：长方体的全面积为定值 S，试问这个长方体的长、宽、高
各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值．
师：经过审题可以看出，长方体的全面积 S是定值．因此最大值一
定要用 S来表示．首要问题是列出函数关系式．
生：设长方体体积为 y，其长、宽、高分别为 a，b，c，则 y=abc．由
于 a＋b＋c不是定值，所以肯定要对函数式进行变形．
生：我受例 4的启发，发现可以利用平均值定理先求出 y2的最大值，
这样 y的最大值也就可以求出来了．
解法如下：
解：设长方体的体积为 y，长、宽、高分别是为 a，b，c，则
y=abc，2ab＋2bc＋2ac=S．
而
y2＝(abc)2＝(ab)(bc)(ac)
师：对应用问题的处理，关键是把实际问题转化成数学问题，列好
函数关系式是求最值的本保证．
(五)布置作业：
1．选择题：
(1)设 a，b为实数，且 a＋b=3，那么 2a＋2b的最小值是
[ ]
(2)设 a＞0，b＞0，且 2a＋5b=200，那么 lg a＋lg b满足
[ ]
A．当 a=50，b=20时，取最大值 5
B．当 a=50，b=20时，取最大值 3
C．当 a=50，b=20时，取最小值 5
D．当 a=50，b=20时，取最小值 3
(3)x，y是满足 2x＋y－1=0的正实数，那么 x2y
[ ]
2．填空题：
大值是________．
5．用一块正方形的白铁片，在它的四个角各剪去一个相等的小正
方形，制成一个无盖的盒子，问当小正方形的边长为多大时，制成的盒
子才有最大的体积？并求出这个体积．
3元，用作侧面的材料每平方米 2元，问怎样设计容器的尺寸，才
能使制作的成本最低(不计拼接时用料和其它损耗)．
作业答案或提示：
1．选择题：(1)B；(2)B；(3)B．
课堂教学设计说明
本课以平均值定理的应用为主线，例 1，例 2从抓典型思路入手，
引导学生积极参与，使学生掌握求最值的一般方法，例 3，例 4则是通
过对典型错误的辨析和纠正，加深了学生对定理条件的理解，进一步激
发了学生的学习兴趣，提高了思维的严谨性，在此基础上，例 5，例 6
则突出了化归转化和换元法在解题中的作用，使学生认识到数学思想方
法就是运用数学知识分析问题和解决问题的观点，方法、解题中的很多
错误，都是因为对思想方法的认识肤浅造成的，只有领悟思想方法的实
质，才能不断提高解题能力和纠错、防错能力．
例 7是为了提高学生解决实际问题的意识而设计的．但如果时间不
够，可以专门设计一节课，利用平均值定理解应用问题．
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