数列极限的概念教案 2
教学目的
1．使学生进一步理解数列极限的概念；
教学重点和难点
通过实例让学生进一步理解数列极限的“ε－N”定义，并能初步利用定义判断简
单的数列有无极限．
教学过程
一、复习提问
1．复习数列极限的“ε－N”定义．可由同学先回答数列极限的“ε－N”定义，
然后由教师加以补充和纠正．
(1)计算|an－1|；
(3)第几项后面所有的项与 1的差都小于任意指定的正数ε？
(4)1是不是这个数列的极限？
(本题可由一个同学板演，其他同学作课堂练习，教师可直接了解同学对数列极限
定义的理解情况．)
二、新课
1．关于数列极限定义的进一步说明：
(1)取N，使得当 n＞N时，不等式|an－A|＜0.1成立；
∴取N=4，当 n＞N时|an－A|＜0.1．
此例说明两点：
(1)从另一个侧面说明ε的绝对任意性的含义，
(2)根据复习提问的例题和此例还说明如果数列有极限，极限是唯一的．
例 2判断下面各无穷数列有无极限？为什么？
(1)1，2，3，…，n，…
(2)1，－1，1，－1，…，(－1)n+1，…
解：(1)设M为任一常数．
当M≥0时，取N=[M]＋2，其中[M]表示不大于M的最大整数，则当 n＞N时，
有：|an－M|=|n－M|＞|[M]＋2－M|＞1
根据数列极限的定义，M不能是数列{n}的极限．
当M＜0时，－M＞0，|an－M|=n－M＞－M，根据数列极限的定义，M不能是数
列{n}的极限．
∴数列{n}无极限．
(2)设A为任一常数．
当A＞1时，|an－A|=|(－1)n+1－A|≥|A|－|(－1)n+1|=A－1，根据数列极限的定义，A
不能是数列{(－1)n+1}的极限．
当A＜1时，|an－A|=|(－1)n+1－A|≥|(－1)n+1|－|A|≥1－A根据数列极限的定义，A
不能是数列{(－1)n+1}的极限．
当A=1时，令 n=2k，k∈N，|an－A|=|(－1)2k+1－1|=2，显然 1不能是数列{(－1)n+1}
的极限．
∴数列{(－1)n+1}无极限．
此例说明，我们不仅能根据数列极限的定义判断常数A是不是数列{an}的极限，
有时还能根据数列极限的定义判断数列{an}有无极限．
2．几个最基本的数列极限：
(1)计算|an－0|；
(2)第几项后面所有的项与 0的差的绝对值小于正数ε？
(3)0是不是这个数列的极限．
例 4 求常数列－7，－7，－7，…的极限．
小结：同学必须牢固掌握下面几个重要数列的极限：
三、巩固练习
1．判断下面各数列有无极限？若有极限，求出极限．
2．举两个极限为 2的数列的例子，其中一个数列的通项大于 2，另一个数列的通
项小于 2(不要求证明，只写出数列的通项公式)．
3．举两个极限不存在的数列的例子(不要求证明，只写出数列的通项公式)．
四、布置作业
2．举一个极限是 5的无穷数列的例子．
3．无穷数列－2，0，－2，0，…，(－1)nn－1，…有极限吗？
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