圆的一般方程教案
教学目标
1．讨论并掌握圆的一般方程的特点，并能将圆的一般方程化为圆
的标准方程，从而求出圆心的坐标和半径．
2．通过对圆的一般方程的特点的讨论，培养学生严密的逻辑思维
和严谨的科学态度；通过例题的分析讲解，培养学生分析问题的能力．
教学重点与难点
圆的一般方程的探求过程及其特点是教学重点；根据具体条件选用
圆的方程为教学难点．
教学过程
一、复习并引入新课
师：请大家说出圆心在点(a，b)，且半径是r的圆的方程．
生：(x－a)2+(y－b)2=r2．
师：以前学习过直线，直线方程有哪几种？
生：直线方程有点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式．
师：直线方程的一般式是Ax+By+C=0吗？
生A：是的．
生B：缺少条件A2+B3≠0．
师：好！那么圆的方程有没有类似“直线方程的一般式”那样的
“一般方程”呢？
(书写课题：“圆的一般方程”的探求)
二、新课
师：圆是否有一般方程？这是个未解决的问题，我们来探求一下．
大家知道，我们认识一般的东西，总是从特殊入手．如探求直线方程的
一般形式就是通过把特殊的公式(点斜式，两点式……)展开整理而得到
的．想求圆的一般方程，怎么办？
生：可仿照直线方程试一试！把标准形式展开，整理得
x2+y2－2ax－2by+a2+b2－r2=0．令D=－2a，E=－2b，F=a2+b2－r2，
有：x2+y2+Dx+Ey+F=0．(*)
师：从(*)式的得来过程可知，只要是圆的方程就可以写成(*)的形
式．那么能否下结论：x2+y2+Dx+Ey+F=0就是圆的方程？
生A：不一定．还得考虑：x2+y2+Dx+Ey+F=0能否写成标准形式．
生B：也可以像直线方程一样，要有一定条件．
师：那么考虑考虑怎样去寻找条件？
生：配方．
师；请大家动手做，看看能否配成标准形式？
(放手让同学讨论，教师适当指导，然后由同学说，教师板书．)
1．当D2+E2－4F＞0时，比较(△)式和圆的标准方程知：(*)式表
示以
3．当D2+E2－4F＜0时，(*)式没有实数解，因而它不表示任何图
形．
教师总结：当D2+E2－4F＞0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫圆的一般
方程．
师：圆的一般方程有什么特点？
生A：是关于x、y的二元二次方程．
师：刚才生A的说法对吗？
生B：不全对．它是关于x、y的特殊的二元二次方程．
师：特殊在什么地方？
(通过争论与举反例后，由教师总结)
师：1．x2，y2系数相同，且不等于零．
2．没有xy这样的二次项．
(追问)：这两个条件是“方程Ax2+By2+Dx+Ey+F=0表示圆”的什么
条件？
生：必要条件．
师：还缺什么？
生：D2+E2－4F＞0．
练习：判断以下方程是否是圆的方程：
①x2+y2－2x+4y－4=0
②2x2+2y2－12x+4y=0
③x2+2y2－6x+4y－1=0
④ x2+y2－12x+6y+50=0
⑤ x2+y2－3xy+2y+5y=0
⑥ x2+y2－12x+6y+F=0
三、应用举例
师：先请大家比较一下圆的标准方程(x－a)2+(y－b)2=r2与一般方
程x2+y2+Dx+Ey+F=0在应用上各有什么优点？
生：标准方程的几何特征明显——能看出圆心、半径；一般方程的
优点是能从一般的二元二次方程中找出圆的方程．
师：怎样判断用“一般方程”表示的圆的圆心、半径．
生B：不用死记，配方即可．
师：两种形式的方程各有特点，我们应对具体情况作具体分析、选
择．
例 1 求过三点 O(0，0)，M1(1，1)，M2(4，2)的圆的方程，并求
圆心和半径．
分析 标准方程需定a，b，r；一般方程需定：Ｄ，E，F，显然在
没有告诉半径或圆心的情况下选一般方程，解D，E，F时较为简单．
解法：设出一般方程，用待定系数法．
例 2 一个等腰三角形底边上的高等于 5，底边两端点的坐标是(－
4，0)和(4，0)，求它的外接圆方程．
解法一 设出一般方程，用待定系数法．(由三角形性质知：顶点为
(0，5))
解法二 设出标准式x2+(y－b)2=r2．(由三角形性质知：顶点为
(0，5)，且圆心在y轴上)．
四、小结
注意一般式的特点：1°x2，y2系数相等且不为零；2°没有xy这样
的项；
3°D2+E2－4F＞0．
另外，大家考虑：D2+E2－4F有点像什么？像判别式，它正是方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0是否是圆的方程的判别式．如D、E确定了，则与F的变
化有关．
五、作业：
1．求下列各圆的一般方程：
①过点A(5，1)，圆心在点C(8，－3)；
②过三点A(－1，5)，B(5，5)，C(6，－2)．
2．求下列各圆的圆心坐标和半径：
①x2+y2－2x－5=0
②x2+y2+2x－4y－4=0
③x2+y2+2ax＝0
④ x2+y2－2by－2b2＝0
3．求证：两圆x2+y2－4x－6y+9=0和 x2+y2+12x+6y－19=0相外切．
设计思想
这是一节介绍新知识的课，而且这节课还非常有利于展现知识的形
成过程．因此，在设计这节课时，力求“过程、结论并重；知识、能力、
思想方法并重”．
在展现知识的形成过程中，尽量避免学生被动接受，而采用讨论式，
引导学生探索，重视探索过程．一方面，把直线一般方程探求过程进行
回顾，类比，学生从中领会探求方法；另一方面，“把标准方程展开→
认识一般方程”这一过程充分运用了“通过特殊认识一般”的科学思想
方法．
同时，通过类比进行条件的探求——“D2+E2－4F”与“Δ”(判别
式)类比．
在整个探求过程中充分利用了“旧知识”及“旧知识的形成过程”，
并用它探求新知识．这样的过程，既是学生获得新知识的过程，更是培
养学生能力的过程．
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