0 0 类别 : 教案

三角函数·已知三角函数值求角 教学目标 1．使学生掌握已知三角函数值求角（给值求角）的方法和步骤． 2．通过启发学生总结给值求角的步骤，培养学生归纳、类比、总结的能力． 3．培养学生严谨的科学态度，促进良好个性品质发展． 教学重点与难点 重点是给值求角的基本方法．难点在于归纳给值求角的基本步骤． 教学过程设计 一、复习引入 师：我们学习了5组诱导公式，如何概括这5组公式？ 生：k·360°+α（k∈Z），-α，180°±α，360°-α的三角函数值等 于α的同一三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号． 师：那么k·360°+α，……这些角从“形”这一角度看，与α又有什么 关系呢？ （这应在诱导公式那一节有所渗透，或曾经留给同学思考过．） 生：角k·360°+α（k∈Z）的终边与α角的终边相同，180°-α的终边 与α的终边关于y轴成轴对称图形，180°+α的终边与α的终边关于原点成 中心对称图形，360°-α和-α终边相同，与α的终边关于x轴成轴对称图形． 师：α是什么样角？ 生：使三角函数有意义的任意角． 师：如果把α看作是锐角，那么 k·360°+α（k∈Z），180°±α，360°-α各是第几象限角？它们的三角函 数值与α的同一三角函数值有什么联系？ 生：k·360°+α（k∈Z）是第一象限角，180°-α是第二象限角， 180°+α是第三象限角，360°-α是第四象限角．这些角的三角函数与α的 同一三角函数值相等或互为相反数． （如图1，帮助学生形象思维与记忆．） 师：利用这幅图，记忆诱导公式的符号是不是变得直观了？！那么诱导公 式又有什么功能呢？ 生：把任意角的三角函数转化为0°～90°间角的三角函数，然后就可以 查表求值了． 师：这些任意角的终边和某个锐角α0的终边有刚才所说的对称关系，那么 同一三角函数值之间有没有关系？ 生：有关系，那些角的三角函数值要么等于α0的同一三角函数值，要么等 于这个值的相反数，相等还是相反由这些角所在象限决定． 师：可以这样说，这些角的三角函数值的绝对值等于α0的同一三角函数值． 每个角α都可通过一个锐角α0求得这个角的三角函数值（当值存在时），这 个值由α唯一确定．那么反过来，知道某个角α的某个三角函数值，要反求 α，这个α怎么求？是否唯一？这与我们本节课要研究的知识有关． 二、讲授新课 （板书）已知三角函数值求角． 师：我们先来研究给正弦值求角． （板书） 例 1 求满足下列条件的角α的取值集合． 师：满足这个条件的角α有几个？ 生：因为α是三角形的内角，所以α∈（0，π），而在这个范围 师：那么这两个角有什么关系？ 生：这两个角的和是π． 的，满足已知条件的角还有别的吗？ 两个． 师：在每个单调递增（或递减）区间内，角的正弦值随角α的增大而增大 （或减小），所以在每个象限由一个三角函数值求得的角将是唯一的（角存 在）．以下情况类似，我们不再一一说明．刚才第（2）小 师：由（1）、（2）可以看到，正弦值相同的角，由于限制条件不同，求得 的角的集合一般也不相同，我们再改变α的范围，看看情况又有什么变化． （板书） 值范围是［0，2π），所以α的范围缩小为［0，π），这与（2） （板书） 师：这时满足条件的角α有多少个？ 生：满足条件的角有无数个． 师：这无数个角之间有什么关系？（问题提得含糊）． 生：这些角终边相同． 师：这是从“形”的角度去看的，那么翻译成“数”的关系是什么呢？ 生：这些角的弧度数相差 2π整数倍． 师：怎么表示这些角？ 生：先找一个特殊角，然后加上2kπ（k∈Z）就行了． 师：你准备找哪一个特殊角？为什么？ 在第一象限． 师：能写出α的取值集合吗？ 师：如果把“α”是第一象限角”改为“α是第二象限角”，α的取值集 合如何求？ 师：如果去掉“α是第一象限角”这个条件呢？ 师：由这几个例题可以看到，角α的取值与［0，2π）间的角密切相关， 找到这个范围内的角，便可得到所有的角．再看（5）． （板书） 师：满足这个条件的角α有几个？各是什么？如何求出？ 所以这两个值为所求． （板书） 师：由上面六道题的解法能否概括出给正弦值求角的步骤？ 生：需求正弦值等于所给的值的绝对值的锐角α0． 生：要求属于区间［0，2π）的角α0，π-α0，π+α0，2π-α0． 师：是不是非要求这四个角？ 生：根据所给的值判断一下角所在的象限，如果值为正，找第一、二象限的 角α0，π-α0；如果值为负，找第三、四象限的角π+α0，2π-α0． 生：还得根据角的限定范围求出适合条件的所有解． 师：我们把解决步骤归纳如下（为方便先不考虑轴上角）． （板书） （1）由已知正弦值确定角α所在象限； （2）求出锐角α0，使α0的正弦值与已知值的绝对值相等； （3）根据四个象限的角的形式，写出［0，2π）间的角（α0，π- α0，π+α0，2π-α0）； （4）写出满足条件的所有的角． 师：对于 sinα=±1，sinα=0的类型，我们没有细致去分析，同学们可从 角的终边位置加以判断，以下也暂不涉及轴上角．下面我们来研究给余弦值求 角的问题．求解时注意类比和归纳． （板书） 例 2 根据下列条件求角α． 分析 给余弦值求角的问题完全可以由正弦类比而来．找到［0， 范围求α． 师：做完这几个题，能否归纳出给余弦值求角的步骤？ 生：与刚才的步骤一样，只不过当所给的余弦值大于零时，角是第一、四象 限角；当所给的余弦值小于零时，角是第二、三象限的角． 师：这个步骤可以再推广吗？ 生：可以推广到给正切值求角，给余切值求角，和给正割、余割值求角． 师：如果是给正切值求角，与正弦、余弦略有差别的地方是什么？ 生：当正切值大于零时，角是第一、三象限角，当正切值小于零时，角是第 二、四象限角． 师：很好．我们今天研究了给三角函数值求角的课题，要掌握解决问题的 步骤，如果遇到不是形如 f（x）=m（f是某个三角函数）时，要注意转化思想 的运用． （板书） 例 3 求满足下列条件的角的集合． （2）已知2sin2x=1，且a∈（0，2π），求x． 分析 （3）由 cosA≠0（若cosA=0，则sinA=0，与 sin2x+cos2x=1矛盾）， 三、小结 师：给值求角是给角求值的逆运算，而我们今天研究的重点是给值求角的 步骤，关于求解步骤可概括为：定象限，找锐角，写形式，求全角．第四步是 求出所有满足条件的角，这时要用终边相同角的关系． 四、作业 （1）阅读课本； （2）课本习题P162练习一第1题（1），（2），（3）．第2题（2）， 第3题（1），（2）；P164．习题十三第 7．8题． 课堂教学设计说明 本课题内容简单，所以在例题的选择上，花费了较多时间，我希望通过例 1每小问的解决，使学生能归结出给正弦值求角的步骤．而例2是课上发挥的实 录，因为再重复例1，只是把正弦化为余弦没有太大的意义，所以希望通过例2 让学生明白如何去找满足条件，但不在区间［0，2π）内的角．例3的设计是 想渗透转化的数学思想，对这个例题的解答大部分同学没有困难．当然如果时 间不够，将例3删去，换成一些练习题，让学生当堂练习、巩固，使学生加深对 步骤的记忆也很有成效． 本教案设计的教学时间是安排在“三角函数线”之前的，如果将“三角函 数线”知识提前，那么从给正弦值求角开始就应充分利用三角函数线这一直观 图形，从实际效果看，还是应先讲三角函数线，那么给值求角问题不过是三角 函数线的一种应用． 在现代教学中要充分发挥学生的主体作用，要设置问题，让学生参与研究， 探讨，在研究中提高能力，提高水平，相应的教学质量也会有所提高．