●课 题
§4.11.2 已知三角函数值求角(二)
●教学目标
(一)知识目标
1.由已知三角函数值求角；
2.反三角函数表示角.
(二)能力目标
1.会由三角函数值求角；
2.会用反三角函数表示角.
(三)德育目标
1.培养学生的应用意识；
2.锻炼学生的思维能力；
3.提高解题能力；
4.提高数学素质.
●教学重点
已知三角函数值求角
●教学难点
根据角的三角函数值，确定出所属范围内的角
●教学方法
强化训练题目，深刻理解其过程.(讲练结合法)
●教具准备
计算器
●教学过程
Ⅰ.课题导入
师：今天，我们继续探讨已知三角函数值求角问题.
Ⅱ.讲授新课
首先，来看这样一个例子：
［例1］(1)已知tanx＝ 3
1 ，x∈(－ 2
， 2
)，求x.
(2)已知tanx＝ 3
1 ，且x∈［0，2π］，求x的取值集合.
解：(1)由正切曲线可知
y＝tanx在(－ 2
， 2
)上是增函数；
可知符合条件的角有且只有一个，利用计算器可求得x＝18°26′
(2)由正切函数的周期性，可知
当x＝10
＋π时，tanx＝ 3
1
且10
＋π＝ 10
11 ∈［0，2π］
∴所求x的集合是｛10
， 10
11 ｝
师：从这一题目可看出某一三角函数值在这一函数的单调区间上所对应的角是惟一的，对于正切函
数，它在每个区间(kπ－ 2
，kπ＋ 2
)(k∈Z)上均具有单调性，为了使符合条件 tanx＝a(a为任意实
—109—
数)的角 x有且只有一个，我们选择开区间(－ 2
，π)作为基本范围，在这个开区间内，符合条件 tanx
＝a(a为任意实数)的角x,叫做实数a的反正切，记作arctana.
即：若tanx＝a，其中x∈(－ 2
， 2
)
则 x＝arctana
例如：上例答案可写为(1)x＝arctan 3
1
(2)｛arctan 3
1 ，π＋arctan 3
1 ｝
［例2］(1)已知sinx＝－0．3322，且x∈［－ 2
， 2
］，求x.
(2)已知sinx＝－0．3322，且x∈［0，2π］，求x的取值集合.
解：(1)∵sin(－x)＝－sinx＝0．3322
由正弦曲线可知：
y＝sinx在［－ 2
， 2
］上为增函数.
符合条件的角有且只有一个.
利用计算器可求得x＝－19°24′(或－ 900
97 )
(2)由 sin(180°＋19°24′)＝－sin19°24′＝sin(－19°24′)
sin(360°－19°24′)＝－sin19°24′＝sin(－19°24′)
可知：180°＋19°24′，360°－19°24′角的正弦值也是－0．3322.
∴所求的x的集合是
｛199°24′，340°36′｝或｛ 900
1703,900
97 ｝
根据正弦函数的图象的性质，为了使符合条件 sinx＝a(－1≤a≤1)的角有且只有一个，我们选择闭
区间［－ 2
， 2
］作为基本的范围，在这个闭区间上，符合条件 sinx＝a(－1≤a≤1)的角 x，叫做实
数a的反正弦，记作arcsina.
即：当sinx＝a(－1≤a≤1)且 x∈［－ 2
， 2
］，则x＝arcsina
这样的话，上例答案可写为：
(1)｛arcsin(－0．3322)｝
(2)｛2π＋arcsin(－0．3322)，π－arcsin(－0．3322)｝
依此类推，根据余弦函数的图象的性质，要使符合条件 cosx＝a(－1≤a≤1)的角 x有且只有一个，
我们选择闭区间［0，π］作为基本范围.在这个闭区间上，符合条件 cosx＝a(－1≤a≤1)的角 x，叫做
实数a的反余弦，记作arccosa.
即：若cosx＝a(－1≤a≤1)，x∈［0，π］
则x＝arccosa
例如： 4
＝arccos 2
2 ， 4
3 ＝π－arccos 2
2
3
＝arccos 2
1 ， 3
5 ＝2π－arccos 2
1
……
注意：已知三角函数值求角过程中，若为特殊角，则可直接求出；若为非特殊角，可通过计算器求
出，也可用反三角函数形式表示，不过，用反三角函数形式表示角时，千万要注意角所属范围.
Ⅲ.课堂练习
—110—
生：(板演练习)课本P76 3.
师：借助练习再次强调反三角函数的正确表示.
解：(1)cosx＝－ 2
3 ，x∈［0，2π］
x＝arccos(－ 2
3 )＝ 6
5
或x＝2π－arccos(－ 2
3 )＝ 6
7
∴x∈｛ 6
5 ， 6
7 ｝
(2)tanx＝ 3，x∈［0，2π］，x＝arctan 3或π＋arctan 3
即x＝ 3
或 3
4 ，∴x∈｛ 3
， 3
4 ｝
(3)sinx＝0．7662，x∈［0，2π］
x＝arcsin(0．7662)或π＋arcsin(0．7662)
∴x∈｛arcsin(0．7662)，π＋arcsin(0．7662)｝
(4)tanx＝－29．12，x∈［0，2π］
x＝arctan(－29．12)＋π或arctan(－29．12)＋2π
∴x∈｛arctan(－29．12)＋π，arctan(－29．12)＋2π｝
Ⅳ.课时小结
师：通过本节学习，要学会用反三角函数表示角；熟练掌握已知三角函数值求角的基本方法；一般
情况，应先找出基本范围内符合条件的角，再结合诱导公式找出所有符合条件的角.
Ⅴ.课后作业
(一)课本P77 习题4.11 4．
(二)1.复习回顾本章基本内容.
2.对本章各部分内容进行总结.
●板书设计
课题
1、 反三角函数定
义
2、 1.反正弦
3、 2.反余弦
4、 3.反正切
二、例题讲解
例1
例2
课时小结
●备课资料
1.设α＝arcsin(－ 3
1 )，β＝arctan(－ 2 )，＝arccos(－ 3
2 )，则α、β、的大小关系是(
)
A.α＜β＜ B.α＜＜β
C.β＜α＜ D.β＜＜α
解析：
—111—
–＜ α＜
sinα=– –＜ α＜ 0
∴
答案：C
2.下列函数中，存在反函数的是( )
A.y＝sinx(x∈［－π，0］) B.y＝sinx(x∈［ 4
， 4
3 ］)
C.y＝sinx(x∈［ 3
， 2
3 ］) D.y＝sinx(x∈［ 3
2 ， 2
3 ］)
解析：一个函数是否存在反函数，是由这个函数的性质决定的，若一个函数在指定的区间内是单调
的，则此函数在指定区间内有反函数，只要画出以上各函数的图象，就可以断定本题应选 D.
答案：D
3.函数y＝arccos x
1 的值域是 ( )
A.［0， 2
］ B.(0， 2
] C.［0，π ) D.(0，π ]
解析：0＜ x
1 ＜1 0＜y＜ 2
答案：A
评述：解此题时需理解反余弦意义且结合定义域中的隐含条件考虑值域.
4.已知sinθ＝－ 3
1 且θ∈(－π，－ 2
)，则θ可以表示成( )
A.－arcsin(－ 3
1 ) B.－ 2
－arcsin(－ 3
1 )
C.－π＋arcsin(－ 3
1 ) D.－π－arcsin(－ 3
1 )
解析：由－1＜－ 3
1 ＜0，∴arcsin(－ 3
1 )∈(－ 2
，0)
由此可知：－arcsin(－ 3
1 )∈(0， 2
)－ 2
－arcsin(－ 3
1 )∈(－ 2
，0)
－π＋arcsin(－ 3
1 )∈(－ 2
3 ，－π)它们都不能表示θ，所以应选 D.
答案：D
评述：本题考查反正弦符号的理解，反三角符号是反三角概念的数学表示，要全面认识.
附 1：arcsina的含义是什么?
当｜a｜≤1时，其含义是：
① arcsina表示一个角；
②这个角不小于－ 2
，不大于 2
，且当0≤a≤1时，0≤arcsina≤ 2
；
—112—
–＜ β＜
sinβ=– –＜ β＜－
0＜
cos=–
–＜＜
当－1≤a≤0时，－ 2
≤arcsina＜0；
③这个角的正弦值等于a，即sin(arcsina)＝a．
当｜a｜＞1时，arcsina没有意义，这是因为没有一个角的正弦的绝对值能大于1.
［例1］sin(arcsin ab
ba
2
22 )＝ ab
ba
2
22 能成立吗?其中a＞0，b＞0，且a≠b.
解：∵(a－b)2＞0，∴a2＋b2＞2ab
即 ab
ba
2
22 ＞1
∴arcsin ab
ba
2
22 没有意义.
因此，命题中的等式不能成立.
附 2：arcsin(sinx)等于x吗?
arcsin(sin 6
)＝arcsin 2
1 ＝ 6
；
arcsin(sin 4
)＝arcsin 2
2 ＝ 4
；
它们均满足 arcsin(sinx)＝x.
然而，我们绝不能依此归纳出 arcsin(sinx)＝x恒成立，如 arcsin(sin 6
5 )＝arcsin(sin 6
)＝
arcsin 2
1 ＝ 6
.
事实上，arcsinx只能直接表示区间［－ 2
， 2
］内的角，因此，等式 arcsin(sinx)＝x成立的条
件是x∈［－ 2
， 2
］.
同样可知：
等式arccos(cosx)＝x成立的条件是x∈［0，π］；
等式arctan(tanx)＝x成立的条件是x∈［－ 2
， 2
］.
你只要弄清楚上述几个等式分别成立的条件，那么对于各类试题中经常出现的这类问题就可正确迅
速地求解.
［例2］设α＝ 3
4 π，则arccos(cosx)的值是( )
A. 2
4 B.－ 3
2 C. 3
2 D. 3
解析：∵α＝ 3
4 ，∴cosα＝cos 3
4 π＝cos(2π－ 3
4 )＝cos 3
2 π
又 3
2 ∈［0，π］
∴arccos(cosα)＝arccos(cos 3
2 )＝ 3
2 π
答案：C
●教学后记
—113—
/5
