0 0 类别 : 教案

§4.12.2 小结与复习(二)、(三) ●教学目标 (一)知识目标 1.任意角的概念、弧度制、任意角的三角函数的概念、同角三角函数间的关系、诱导公式； 2.两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数； 3.三角函数的图象和性质、已知三角函数值求角. (二)能力目标 1.理解任意角的概念、弧度的意义；能正确地进行弧度与角度的换算； 2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，并会利用与单位圆有关的三角函数线表示正 弦、余弦和正切；了解任意角的余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式； 掌握正弦、余弦的诱导公式； 3.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式； 4.能正确运用三角公式，进行三角函数式的化简、求值及恒等式证明； 5.会用与单位圆有关的三角函数线画出正弦函数、正切函数的图象，并在此基础上由诱 导公式画出余弦函数的图象；理解周期函数与最小正周期的意义；并通过它们的图象理解 正弦函数、余弦函数、正切函数的性质；会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y＝ Asin(ωx＋ )的简图，理解A、ω、 的物理意义； 6.会用已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx、arccosx、arctanx表示. (三)德育目标 1.渗透“化归”思想； 2.培养逻辑推理能力； 3.提高解题能力. ●教学重点 三角函数公式、三角函数(尤其是正弦函数、余弦函数、正切函数)的图象和性质的应用. ●教学难点 灵活应用三角公式，正弦、余弦、正切函数的图象和性质解决问题. ●教学方法 讲练结合法 通过讲解强化训练题目，加深对三角函数知识的理解，提高对三角函数知识的应用能 力. ●教学过程 A组 1.解：(1)  kkS ,24{   Z}， 49,4,47  (2)  kkS ,23 2{  Z}， 310,34,32  (3)  kkS ,25 12{  Z}， 512,52,58  (4)  kkS ,2{ Z｝，－2π，0，2π 评述：这一题目要求我们首先要准确写出集合 S，并判断k可取何值时，能使集合S中 角又属于所要求的范围. 2.解：由l＝｜α｜r得  2 91510 315180 54  l 44302 92  rlC cm 101.14 135152 9 2 1 2 1  lrS cm2 答：周长约44 cm，面积约1．1×10 cm2 评述：这一题需先将54°换算为弧度数，然后分别用公式进行计算. 3.(1)sin4＜0；(2)cos5＞0；(3)tan8＜0；(4)tan(－3)＞0． 评述：先判断角所属象限，然后确定其三角函数的符号. .,04 1cos 4 15sin 1cossin 4 1cos:.4 22 为第一或第四象限角知由 得 由解            当 为第一象限角时，sin ＝ 4 15 ，tan ＝ 15 ； 当 为第四象限角时，sin ＝－ 4 15 ，tan ＝－ 15 . 评述：先由已知条件确定角所属象限，然后结合同角三角函数基本关系式，求出另外 的三角函数值. 5.解：由sinx＝2cosx，得tanx＝2 ∴x为第一象限或第三象限角 当x为第一象限角时 tanx＝2，cotx＝ 2 1 ，cosx＝ 5 5 ，secx＝ 5，sinx＝ 5 52 ，cscx＝ 2 5 当x为第三象限角时 tanx＝2，cotx＝ 2 1 ，cosx＝－ 5 5 ，secx＝－ 5，sinx＝－ 5 52 ，cscx＝－ 2 5 110sin10cos 10sin10cos 10sin10cos 10cos10sin 170sin10cos )10cos10(sin 170cos110cos 10cos10sin21:.6 2 2       解 评述：注意灵活使用同角三角函数的基本关系式的变形式，即“1”的妙用，这也是三 角函数式化简过程中常用的技巧之一，另外，注意及时使用诱导公式和三角函数图象和性 质：当α∈［0, 4  )时，sinα＜cosα. 7.解：sin4α－sin2α＋cos2α＝sin2α(sin2α－1)＋cos2α＝(1－cos2α)(－cos2α) ＋cos2α ＝－cos2α＋cos4α＋cos2α＝cos4α 评述：注意使用sin2α＋cos2α＝1及变形式. 8.证明：(1)左边＝2(1－sinα)(1＋cosα)＝2(1－sinα＋cosα－sinαcosα) ＝2－2sinα＋2cosα－sin2α 右边＝(1－sinα＋cosα)2＝［1－(sinα－cosα)］2 ＝1－2(sinα－cosα)＋(sinα－cosα)2 ＝1－2sinα＋2cosα＋sin2α＋cos2α－2sinαcosα ＝2－2sinα＋2cosα－sin2α ∴左边＝右边 即原式得证. (2)左边＝sin2α＋sin2β－sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β ＝sin2α(1－sin2β)＋cos2α·cos2β＋sin2β ＝sin2α·cos2β＋cos2α·cos2β＋sin2β ＝cos2β(sin2α＋cos2α)＋sin2β＝1＝右边 ∴原式得证 评述：三角恒等式的证明一般遵循由繁到简的原则. 9.解：(1)         tan35 2tan4 cos sin35 2cos sin4 sin3cos5 cos2sin4 将tanα＝3代入得，原式＝ .7 5 (2)sinαcosα＝tanα·cos2α＝tanα· 10 3 31 13tan1 1 22   (3)(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝1＋2× 5 8 10 3  评述：注意挖掘已知条件与所求结论中的三角函数的关系. 10.解：(1)sin 6 25 π＋cos 3 25 π＋tan(－ 4 25 π)＝sin 6  ＋cos 3  －tan 4  = 012 1 2 1  (2)sin2＋cos3＋tan4≈1．0777 评述：注意灵活应用诱导公式化简后再求值. 11.解：(1)∵sin(π＋α)＝－ 2 1 ＝－sinα ∴sinα＝ 2 1 ∴cos(2π－α)＝cosα＝± 2 3sin1 2  当α为第一象限时，cosα＝ 2 3 当α为第二象限时，cosα＝－ 2 3 (2)tan(α－7π)＝－tan(7π－α)＝tanα 当α为第一象限时，tanα＝ 3 3 当α为第二象限时，tanα＝－ 3 3 评述：要注意讨论角的范围. 12.解：(1)sin378°21′＝sin18°21′＝0．3148 (2)sin(－879°)＝－sin(159°)＝－sin21°＝－0．3584 (3)sin3＝0．1409 评述：要用诱导公式将其转化为锐角三角函数值问题. 13.解：设 0＜x＜2π x 6 7 4 3 4 5 3 4 4 7 6 11 sin x － 2 1 2 2 － 2 2 － 2 3 － 2 2 － 2 1 cos x － 2 3 － 2 2 － 2 2 － 2 1 2 2 2 3 tan x 3 3 －1 1 3 －1 － 3 3 14.解：∵cosα＝－ 41 9 且π＜α＜ 2 3 ∴sinα＝－ 41 40 ，∴tanα＝ 9 40 ∴tan( 4  －α)＝ 4931 9 401 9 401 tan1 tan1      评述：仔细分析题目，要做到有的放矢. 15.解：∵sinα＝ 5 5 ，α为锐角 ∴cosα＝ 5 52 又∵sinβ＝ 10 10 ，β为锐角 ∴cosβ＝ 10 103 ∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝ 2 2 又∵0＜α＋β＜π，∴α＋β＝ 4  说明：若先求出sin(α＋β)＝ 2 2 ，则需否定α＋β＝ 4 3 . 评述：一般地，若所求角在(0，π)上，则一般取此角的余弦较为简便；若所求角在 (－ 2  ， 2  )上，则一般取此角的正弦较为简便. 16.(1)证明：∵ 4  BA ∴tan(A＋B)＝tan 4  ＝1＝ BA BA tantan1 tantan   即：tanA＋tanB＝1－tanAtanB ∴tanA＋tanB＋tanAtanB＝1 ∵(1＋tanA)(1＋tanB)＝1＋tanA＋tanB＋tanAtanB ∴(1＋tanA)(1＋tanB)＝2 (2)证明：由(1＋tanA)(1＋tanB)＝2得 tanA＋tanB＝1－tanAtanB 又∵0＜A＜ 2  ，0＜B＜ 2  ∴tanA＋tanB＞0 1tantan1 tantan   BA BA 即 tan(A＋B)＝1 又∵0＜A＋B＜π ∴A＋B＝ 4  (3)解：由上述解答过程可知： 两锐角之和为直角之半的充要条件是(1＋tanA)(1＋tanB)＝2不可以说“两个角A、B 之和为 4  的充要条件是(1＋tanA)(1＋tanB)＝2”因为在(2)小题中要求A、B都是锐角. 17.证明：设正方形的边长为1 则 tanα＝ 2 1 ，tanβ＝ 3 1 ∴tan(α＋β)＝ 1tantan1 tantan     又∵0＜α，β＜π，∴α＋β＝ 4  评述：要紧扣三角函数定义. 18.证明：∵0＜α，β，γ＜ 2  且 tanα＝ 2 1 ＜1，tanβ＝ 5 1 ＜1，tanγ＝ 8 1 ＜1 ∴0＜α，β，γ＜ 4  又∵tan(α＋β＋γ)＝1 0＜α＋β＋γ＜ 4 3 ∴α＋β＋γ＝45° 19.解：(1)由 cos2α＝ 5 3 得 5 32cos)cos)(sincos(sincossin 222244   (2) 625 5271 )24 7(1 21tan1 21cos22cos 22 2    xxx (3)由 sinθ＋cosθ＝ 3 2 得(sinθ＋cosθ)2＝sin2θ＋2sinθcosθ＋cos2θ＝1＋sin2θ＝ 9 4 ∴sin2θ＝－ 9 5 (4)∵(sin ＋cos )2＝1＋2sin ·cos ＝ 169 289 (sin －cos )2＝1－2sin ·cos ＝169 49 又∵ 4  ＜ ＜ 2  ∴sin ＋cos ＝ 13 17 sin －cos ＝13 7 ∴sin ＝ 13 12 ，cos ＝13 5 20.解：设△ABC的底为a，则腰长为2ａ ∴sin 2 A ＝ 4 1 2 2 a a cos 2 A ＝ 4 15 2 2 15 a a ∴sinA＝2sin 2 A cos 2 A ＝ 8 15 cosA＝2cos2 2 A －1＝ 8 15 －1＝ 8 7 tanA＝ 7 15 ． 21.证明：P＝ｉｖ＝ｉｍsinωｔ·ｖｍsin(ωｔ＋ 2  )＝ｉｍｖｍsinωｔ cosωｔ＝ 2 1 ｉｍｖｍsin2ωｔ 22.证明：由题意可知： sin 2  ＝ rR rR   cos 2  ＝   rR Rr rR rRrR   2)( 22 ∴sinθ＝2sin 2  cos 2  ＝2· rR rR   · rR Rr  2 ＝ 2)( )(4 rR RrrR   23.解：由教科书图4—12，可知： 当α为某一象限角时，有： ｜sinα｜＝｜MP｜，｜cosα｜＝｜OM｜ ∵｜MP｜＋｜OM｜＞｜OP｜＝1， ∴｜sinα｜＋｜cosα｜＞1 当α的终边落在坐标轴上时，有｜sinα｜＋｜cosα｜＝1． 因此，角α的正弦绝对值与余弦绝对值之和不小于1. 评述：要注意数形结合这种重要的数学思想的利用. 24.解：(1)由 1－tanx≠0，得tanx≠1 ∴x≠kπ＋ 4  且 x≠kπ＋ 2  ，k∈Z ∴函数y＝ xtan1 1  的定义域为： ｛x｜x≠kπ＋ 4  且 x≠kπ＋ 2  ，k∈Z｝ (2)由 2 x ≠kπ＋ 2  得x≠2kπ＋π，k∈Z ∴y＝tan 2 x 的定义域为｛x｜x≠2kπ＋π，k∈Z｝ 25.解：(1)由 cos2x＝1．5，得cosx＝± 5.1 又∵ 5.1 ［－1，1］ ∴cos2x＝1．5不能成立. (2)由 sinx－cosx＝ 2 sin(x－ 4  )∈［－ 2 ， 2 ］ ∴sinx－cosx＝2．5不能成立 (3)当 x＝ 4  时，tanx＝1 ∴tanx＋ xtan 1 ＝2有可能成立 (4)由 sin3x＝－ 4  得sinx＝－ 3 4  ∈［－1，1］ ∴sin3x＝－ 4  成立. 评述：要注意三角函数的有界性. 26.解：(1)当 sinx＝1时，即x＝2kπ＋ 2  ，k∈Z 时, y＝ 2 ＋  xsin 取得最大值. ∴y＝ 2 ＋  xsin 的最大值为 2 ＋ 1 . 使y取得最大值的x的集合为｛x｜x＝ 2  ＋2kπ，k∈Z｝. 当sinx＝－1时，即x＝－ 2  ＋2kπ时. y＝ 2 ＋  xsin 取得最小值. ∴y＝ 2 ＋  xsin 的最小值为 2 － 1 . 使 y取得最小值的x的集合为｛x｜x＝－ 2  ＋2kπ，k∈Z｝. (2)当 cosx＝－1即x＝(2k＋1)π时, y＝3－2cosx取得最大值, ∴y＝3－2cosx的最大值为5. 使 y取得最大值的x的集合为｛x｜x＝2kπ＋π，k∈Z｝. 当cosx＝1，即x＝2kπ时 y＝3－2cosx取得最小值 ∴y＝3－2cosx的最小值为1 使y取得最小值的x的集合为｛x｜x＝2kπ，k∈Z｝ 27.解：(1)y＝sinx－ 3 cosx(x∈R)＝2sin(x－ 6  )， ∴ymax＝2，ymin＝－2 (2)y＝sinx＋cosx＝ 2 sin(x＋ 4  )，(x∈R) ∴ymax＝ 2 ，ymin=－ 2 28.解：当0≤x≤2π时，由图象可知： (1)当 x∈［ 2 3 ，2π］时，角x的正弦函数、余弦函数都是增函数. (2)当 x∈［ 2  ，π］时，角x的正弦函数、余弦函数都是减函数. (3)当 x∈［0， 2  ］时，角x的正弦函数是增函数，而余弦函数是减函数. (4)当 x∈［π， 2 3 ］时，角x的正弦函数是减函数，而余弦函数是增函数. 29.解：(1)由 f(－x)＝(－x)2＋cos(－x)＝x2＋cosx＝f(x) 得 y＝x2＋cosx，x∈R是偶函数 (2)由 y＝｜2sinx｜＝｜2sin(－x)｜ 得y＝｜2sinx｜，x∈R是偶函数 (3)由 y＝tanx2＝tan(－x)2 得y＝tanx2，x≠±  k2 (k∈Z)是偶函数 (4)由 y＝x2sinx＝－(－x)2sin(－x) 得 y＝x2sinx，x∈R是奇函数 30.(1)y＝ 2 1 sin(3x－ 3  )，x∈R (2)y＝－2sin(x＋ 4  )，x∈R (3)y＝1－sin(2x－ 5  )，x∈R (4)y＝3sin( 6  － 3  )，x∈R 31.(1)略 (2)解：由 sin(π－x)＝sinx，可知函数y＝sinx，x∈［0，π］的图象关于直线x＝ 2  对称，据此可得出函数 y＝sinx，x∈［ 2  ，π］的图象；又由 sin(2π－x)＝－ sinx，可知函数y＝sinx，x∈［0，2π］的图象关于点(π，0)对 称，据此可得出函数y＝sinx，x∈［π，2π］的图象. (3)解：把 y轴向右(当 ＞0时)或向左(当 ＜0时＝平行移动｜ ｜个单位长度， 再把 x轴向下(当 k＞0时)或向上(当 k＜0时＝平移｜k｜个单位长度，就可得出函数 y＝ sin(x＋ )＋k的图象. 32.解：(1)y＝sin(5x＋ 6  )，x∈R 振幅是1，周期是 5 2 ，初相是 6  把正弦曲线向左平行移动 6  个单位长度，可以得出函数 y＝sin(x＋ 6  )，x∈R的图 象；再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 5 1 倍(纵坐标不变)，就可得出函数y＝ sin(5x＋ 6  )，x∈R的图象. (2)y＝2sin 6 1 x，x∈R 振幅是2，周期是12π，初相是0 把正弦曲线上所有点的横坐标伸长到原来的 6倍(纵坐标不变)，可以得出函数 y＝sin 6 1 x，x∈R 的图象；再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2倍(横坐标不变)，就 可得出函数y＝2sin 6 1 x，x∈R的图象. 33.解：(1)由ｈ＝2sin(ｔ＋ 4  )，ｔ∈［0，＋∞） 得ｔ＝0时，ｈ＝ 2 cm 即：小球开始振动时的位置在离平衡位置 2 cm处. (2)当 sin(ｔ＋ 4  )＝1时，ｈ max＝2sin(ｔ＋ 4  )＝－1时，ｈ max＝－2 即：小球最高、最低点与平衡位置的距离都是2 ｃｍ. (3)由 T＝  2 得 T＝2πs 即：经过2πs，小球往复振动一次. (4)f＝ 2 11 T 即：小球每 1 s往复振动 2 1 次. 34.解：(1)由 sinx＝0，x∈［0，2π］ 得 x＝0，π，2π (2)由 cosx＝－0．6124，x∈［0，2π］ 得x＝0．71π，1．29π或arccos(－0．6124)，2π－arccos(－0．6124) (3)由 cosx＝0，x∈［0，2π］ 得x＝ 2  ， 2 3 (4)由 sinx＝0．1011，x∈［0，2π］ 得x＝0．03π，1．97π或arcsin0．1011，π－arcsin0．1011． (5)由 tanx＝－4，x∈［0，2π］ 得x＝0．58π，1．58π或π＋arctan(－4)，2π＋arctan(－4) (6)由 cosx＝1，x∈［0，2π］ 得x＝0，2π B组 1.解：由已知α是第四象限角 得2kπ＋ 2 3 ＜α＜2kπ＋2π，(k∈Z) (1)∴kπ＋ 4 3 ＜ 2  ＜kπ＋π ∴ 2  的终边在第二或第四象限 (2) 3 2 k ＋ 2  ＜ 3  ＜ 3 2 k ＋ 3 2 即：90°＋k·120°＜ 3  ＜30°＋90°＋k·120° ∴ 3  的终边在第二、第三或第四象限 (3)4kπ＋3π＜2α＜4kπ＋4π 即：2α的终边在第三或第四象限，也可在y轴的负半轴上. 2.解：由题意知      52 1 5 lrS rl  解之得｜α｜＝ 2 5 弧度 答：扇形中心角度数约为143° 3. 解 ： cosα   sin1 sin1   ＋ sinα   cos1 cos1   ＝ cosα·    2 2 2 2 sin )cos1(sincos )sin1(  ＝ cosα·    sin cos1sincos sin1  ＝ cosα( －    cossinsin cos1sin)cos sin1  (α为第二象限角) 4.解：由tanα＝－ 3 1 (1) 16 5 )3 1(5 23 1 tan5 2tan sincos5 cos2sin           3 10 1tan2 tan1 )1tan2(tan1 1 1 )1tan2(cos 1 costancos2 1 coscossin2 1)2( 2 2 2222          5.证明：左边＝   cossin1 cossin2sin1   ＝   cossin1 cossincoscossin2sin 22   ＝   cossin1 )cos(sin)cos(sin 2   ＝   cossin1 )cossin1()cos(sin   ＝sinα＋cosα＝右边 6.证明：∵xcosθ＝a，ycotθ＝b，(a≠0，ｂ≠0) 1cos sin1 cos sin cos 1 cotcos 2 2 2 2 222 2 22 2 2 2 2 2       y y x x b y a x 7.证明：(1)左边＝ AA A A A A A A A 2 2 2 2 2 2 2 2 2 tancos sin sin cos1 cos sin1 cot1 tan1       右边＝ AA A A A A A A A 2222 tan)cos sin() sin cos1 cos sin1 ()cot1 tan1(      ∴ 22 2 )cot1 tan1(cot1 tan1 A A A A    (2) 左 边 ＝ 右边       A BBABA BA BA BA BA BA A A B B B B A A AB BA cot tantantancoscos sinsin sinsin )sin( coscos )sin( sin cos sin cos cos sin cos sin cotcot tantan 8.证明：由tanθ＋sinθ＝a，tanθ－sinθ＝ｂ 得(ａ 2－ｂ 2)2＝(ａ－ｂ)2(ａ＋ｂ)2＝(2sinθ)2(2tanθ)2＝16sin2θ·tan2θ 16ab＝16(tanθ＋sinθ)(tanθ－sinθ)＝16(tan2θ－sin2θ) ＝16sin2θ( 2cos 1 －1)＝16sin2θ   2 2 cos cos1  ＝16sin2θtan2θ ∴(ａ 2－ｂ 2)2＝16ａｂ 9.证明：由3sinβ＝sin(2α＋β) 得 3sin［(α＋β)－α］＝sin［(α＋β)＋α］ ＝3sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα ＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα ∴2sin(α＋β)cosα=4cos(α＋β)sinα ∴tan(α＋β)＝2tanα 评述：等式两边主要是角的差异，应从变换条件中的角入手. 10.解：由已知cos( 4  ＋x)＝ 3 5 ， 12 17 ＜x＜ 4 7 得：cos2( 4  ＋x)＝2cos2( 4  ＋x)－1＝cos( 2  ＋2x)＝－sin2x＝－ 25 7 ∴sin2x＝ 25 7 ，sin( 4  ＋x)＝－ 5 4 75 28 5 3 5 4 25 7)4tan(2sintan1 tan12sintan1 sin22sin 2      xxx xxx xx  11．解：(1)当 2kπ≤2x－ 3  ≤2kπ＋π，(k∈Z) 即kπ＋ 6  ≤x≤kπ＋ 3 2 时 y＝3cos(2x－ 3  )是减函数 (2)当 2kπ＋ 2  ≤－3x＋ 4  ≤2kπ＋ 2 3 ，(k∈Z) 即－12  ＋ 3 2 k ≤x≤ 4  ＋ 3 2 k 时 y＝sin(－3x＋ 4  )是减函数 12.解：由      01tan 0)32cos( x x  得－12  ＋kπ＜x＜ 4  ＋kπ或 4  ＋kπ＜x＜ 12 5 ＋kπ(k∈Z) ∴函数 1tan )32cos(lg    x x y  的定义域为： (－12  ＋kπ， 4  ＋kπ)∪( 4  ＋kπ， 12 5 ＋kπ)，k∈Z 13.解：y＝sin2x＋2sinxcosx＋3cos2x(x∈R) ＝1＋sin2x＋2cos2x＝2＋sin2x＋cos2x ＝2＋ 2 sin(2x＋ 4  ) (1)周期 T＝ 2 2 ＝π (2)当 2kπ－ 2  ≤2x＋ 4  ≤2kπ＋ 2  ，k∈Z 即－ 8 3 ＋kπ≤x≤ 8  ＋kπ时，原函数为增函数 ∴函数在［－ 8 3 ＋kπ， 8  ＋kπ］上是增函数 (3)图象可以由函数y＝ 2 sin2x，x∈R的图象向左平行移动 8  个单位长度，再向上 平行移动 2个单位长度而得到 14.证明：由sinβ＝ｍ sin(2α＋β) 得 sin［(α＋β)－α］=ｍ·sin［(α＋β)＋α］ 即sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα ＝ｍ［sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα］ ＝(1－ｍ)·sin(α＋β)cosα ＝(1+ｍ)·cos(α＋β)sinα ∵ｍ≠1，α≠ 2 k ，α＋β≠ 2  ＋kπ(k∈Z) ∴tan(α＋β)＝ m m   1 1 tanα 评述：此方法是综合法，利用综合法证明恒等式时，必须有分析的基础，此证法是观 察到结论中的角构造：β＝(α＋β)－α；2α＋β＝(α＋β)＋α，证明时有的放矢，顺 利完成证明.