0 0 类别 : 教案

一元二次不等式解法教案 ●教学目标 (一)教学知识点 1.会把部分一元二次不等式转化成一次不等式组来求解. 2.简单分式不等式求解. (二)能力训练要求 1.通过问题求解渗透等价转化的思想，提高运算能力． 2.通过问题求解渗透分类讨论思想，提高逻辑思维能力． (三)德育渗透目标 通过问题求解过程，渗透． ●教学重点 一元二次不等式的求解 ●教学难点 将已知不等式等价转化成合理变形式子 ●教学方法 创造教学法 为使问题得到解决，关键在于合理地将已知不等式变形，变形的过程也是一个创造的 过程，只有这一过程完成好，本节课的难点也就突破． ●教具准备 投影片三张 第一张：(记作§1．5．2 A) 一元二次不等式(x＋4)(x－1)＜0的解法 解：将(x＋4)(x－1)＜0转化为         01 04 01 04 x x x x 或                   01 04| },14|{01 04| x xx xxx xx由 得原不等式的解集是｛x｜－4＜x＜1}∪＝｛x｜－4＜x＜1} 第二张：(记作§1．5．2 B) 通过因式分解，转化为一元一次不等式组的解法，求解下列不等式： 1．x2－3x－4＞0 2．－x2－2x＋3＞0 3．x(x－2)＞8 4．(x＋1)2＋3(x＋1)－4＞0 第三张：(记作§1．5．2 C) 13.4 33 2 3 4.3 13 2.2 023.1    xx x x xx ●教学过程 Ⅰ．复习回顾 1.一元二次方程、二次函数、一元二次不等式的关系. 2.一元二次不等式的解法. 3.数形结合思想运用. Ⅱ．讲授新课 1.一元二次不等式(x＋a)(x＋b)＜0的解法 ［师］首先我们共同来看(x＋4)(x－1)＜0这个不等式的特点，以不等式两边分别来看． ［生］这个不等式左边是两个 x一次因式的积，右边是 0. ［师］那么，依据该特点，不等式能否实现转化而又能转化成什么形式的不等式，同 学们可以讨论或者将不等式变形，看结果如何. ［生］经观察、分析、研究不等式可以实现转化，可转化成一次不等式组：         01 04 01 04 x x x x 与 ，并且说明(x－4)(x－1)＜0的解集是上面不等式组解集的并集. ［师］那么解法如下： 投影片：(§1．5．2 A) 一元二次不等式(x＋4)(x－1)＜0的解法 解：将(x＋4)(x－1)＜0转化为         01 04 01 04 x x x x 或                  01 04|},14|{01 04| x xxxxx xx由 得原不等式的解集是｛x｜－4＜x＜1}∪＝｛x｜－4＜x＜1} 师指出：从上可看出一般形式(x＋a)(x＋b)＜0解的步骤： 将所解不等式转化为一次不等式组，求其解集的并集，即为所求不等式的解． 给出下面问题： 投影片：(§1．5．2 B) 通过因式分解，转化为一元一次不等式组的方法，求解下列不等式： 1．x2－3x－4＞0 2．－x2－2x＋3＞0 3．x(x－2)＞8 4．(x＋1)2＋3(x＋1)－4＞0 问题由四名学生板演，然后教师给予点评． 解析如下： 1．x2－3x－4＞0 解：将 x2－3x－4＞0分解为(x－4)(x＋1)＞0 转化为         01 04 01 04 x x x x 或 }1|{01 04| }4|{01 04|                   xxx xx xxx xx 原不等式的解为｛x｜x＞4｝∪｛x｜x＜－1｝＝｛x｜4＜x或 x＜－1｝ 问题解决的关键在于通过正确因式分解，将不等号左端化成两个一次因式积的形式． 2.－x2－2x＋3＞0 解：将－x2－2x＋3＞0分解为(x＋3)(x－1)＜0                   01 03| }13|{01 03| x xx xxx xx 原不等式的解为 ｛x｜－3＜x＜1｝ 3．x(x－2)＞8 解：将 x(x－2)＞8变形为 x2－2x－8＞0 化成积的形式有(x－4)(x＋2)＞0                   }2|{02 04| }4|{02 04| xxx xx xxx xx 原不等式的解集为｛x｜x＜－2或 x＞4} 4.(x＋1)2＋3(x＋1)－4＞0 解析：解决该问题的关键是正确利用整体思想． 解：将原不等式变形为 (x＋1＋4)(x＋1－1)＞0，即 x(x＋5)＞0 }5|{05 0| }0|{05 0|                   xxx xx xxx xx 即有｛x｜x＞0｝∪｛x｜x＜－5｝＝｛x｜x＜－5或 x＞0｝ 2.分式不等式 bx ax   ＞0的解法 ［师］试比较 7 3   x x ＜0与(x－3)(x＋7)＜0的解集，并写出和它们解集相同的一次不等 式组，为回答上述问题，我们先完成例 5． ［例 5］解不等式 7 3   x x ＜0 解析：这个不等式若要正确无误地求出解集，则必须实现转化，而这个转化依据就是 b a ＞0 ab＞0及 b a ＜0 ab＜0 其解的过程如下： 解：这个不等式解集是不等式组         03 07 03 07 x x x x 或 的解集的并集． 由                 03 07|},37|{03 07| x xxxxx xx ，得原不等式的解集是｛x｜－7＜x ＜3｝∪＝｛x｜－7＜x＜3｝ 从而开始提出的问题就可叙述为： ［生］ 7 3   x x ＜0与(x－3)(x＋7)＜0的解集相同．其一次不等式组为         03 07 03 07 x x x x 或 ［师］由此得到 bx ax   ＞0不等式的解法同(x＋a)(x＋b)＞0的解法相同． ［师］看下面不等式如何转化： 投影片：(§1．5．2 C) 13.4 33 2 3 4.3 13 2.2 023.1    xx x x xx 上述式子变形是关键，如何实现转化，移项化简是主要工作． ［生］(1)3＋ x 2 ＜1可变形为 x x 23  ＜0． 转化为(3x＋2)x＜0                 0 023|0 023| x xxx xx  ＝｛x｜－ 3 2 ＜x＜0＝∪＝｛x｜－ 3 2 ＜x＜0｝ (2) x3 2 ＜1可变形为 x x   3 1＜0， 转化为(x－1)(3－x)＜0 }1|{}3|{03 01|03 01|                  xxxxx xxx xx  ＝｛x｜x＜1或 x＞3} (3) 3 4 x ＞ x x   3 2 －3可变形为 3 32   x x ＞0，转化为(2x－3)(x－3)＞0         03 032 03 032 x x x x 或 即｛x｜x＞3｝或｛x＜ 2 3 } 原不等式解集为｛x｜x＜ 2 3 或 x＞3} (4) x 3 ＞1可变形为 x 3 －1＞0即 x x3 ＞0，转化为(3－x)x＞0 }30|{}30|{0 03|0 03|                  xxxxx xxx xx  Ⅲ．课堂练习 课本 P21练习 1～4 1.解下列不等式 (1)(x＋2)(x－3)＞0 解：(x＋2)(x－3)＞0可变形为         03 02 03 02 x x x x 或 }32|{}2|{}3|{ 03 02|03 02|                   xxxxxxx x xxx xx 或 即   = (2)x(x－2)＜0 解：x(x－2)＜0可变形为         02 0 02 0 x x x x 或 }20|{}20|{02 0|02 0|                  xxxxx xxx xx 即 2.解关于 x的不等式(x－a)(x－b)＞0(a＜b ) 解：(x－a)(x－b)＞0可变形为         0 0 0 0 bx ax bx ax 或                  }|{}|{}|{0 0|0 0| bxaxbxxaxxbx axxbx axx  3.(1){x|—5＜x＜8} (2) }2 14|{  xxx 或 4.(1)正确．(2)正确. Ⅳ.课时小结 1.(x＋a)(x＋b)＜0(a＞b)型不等式转化方式是         0 0 0 0 bx ax bx ax 或 ． 2. bx ax   ＞0型不等式转化结果：(x＋a)(x＋b)＞0． 3.上述两类不等式解法相同之处及关键、注意点. Ⅴ．课后作业 (一)课本 P22习题 1．5 2，4，7，8 2.解下列不等式 (1)(5－x)(x＋4)＜0 解：｛x｜x＜－4或 x＞5｝ (2)(x＋7)(2－x)＞0 解：｛x｜－7＜x＜2｝ (3)(3x＋2)(2x－1)＜0 解：｛x｜－ 3 2 ＜x＜ 2 1 } (4)( 2 1 x－1)(5x＋3)≥0 解：｛x｜x≤－ 5 3或 x≥2｝ 4.求不等式组     )9(321 )1)(1()1( 22 xx xxxxx 的整数解. 解：将     )9(321 )1)(1()1( 22 xx xxxxx 变形为     285 133 x xxx ，即      5 28 1 x x 原不等式的解集为｛x｜x≥1｝∩｛x｜x＜ 5 28 }＝｛x｜1≤x＜ 5 28 }，因此所求的整 数解集为｛1，2，3，4，5｝ 7.已知 U＝R，且 A＝｛x｜x2－16＜0}，B＝｛x｜x2－4x＋3≥0｝，求：(1)A∩B； (2)A∪B；(3) U(A∩B)；(4)( UA)∪( UB)． 解：(1)A∩B＝            034 016| 2 2 xx xx }4314|{0)1)(3( 0)4)(4(|          xxxxx xxx 或 (2)A∪B＝｛x｜x2－16＜0｝∪｛x2－4x＋3≥0｝＝｛x｜－4＜x＜4｝∪｛x｜x≤1或 x≥3｝＝R (3) U(A∩B)为从R内去掉 A∩B后的剩余部分，因此 U(A∩B)＝｛x｜x≤－4或 1＜x ＜3或 x≥4} (4)由 UA＝｛x｜x2－16≥0｝＝｛x｜x≤－4或 x≥4｝， UB＝｛x｜x2－4x＋3＜0} ＝｛x｜1＜x＜3＝得( UA)∪( UB)＝｛x｜x≤－4或 1＜x＜3或 x≥4｝ 评述：问题解决的过程应充分利用数形结合，求范围． 8.解下列不等式： (1) 52 43   x x ＞0； 解：原不等式的解集是不等式组         052 043 052 043 x x x x 与 的解集的并集，即 }3 4 2 5|{}2 5|{}3 4|{052 043|052 043|                  xxxxxxxx xxx xx 或 (2) 25 152   x x ≤0． 解：原不等式的解集是不等式组         025 0152 025 0152 x x x x 与 的解集的并集，即 }2 15 5 2|{}2 15 5 2|{  xxxx (二)1.预习内容：课本 P25－26，P23－24阅读材料 2.预习提纲： (1)集合元素的个数如何计算？其实际意义如何？ (2)逻辑联结词有哪几个？如何解释? ●板书设计 §1．5．2 一元二次不等式解法 1.(x＋a)(x＋b)＞0型不等式解法 练习 2. 0  bx ax ＞0型不等式解法 小结 举例 作业