0 0 类别 : 教案

函数综合应用 　 教学目标 1．在全面复习函数有关知识的基础上，进一步深刻理解函数的有关概念， 全面把握各类函数的特征，提高运用基础知识解决问题的能力． 2．掌握初等数学研究函数的方法，提高研究函数的能力，重视数形结合数 学思想方法的运用和推理论证能力的培养． 3．初步沟通函数与方程、不等式及解析几何有关知识的横向联系，提高综 合运用知识解决问题的能力． 4．树立函数思想，使学生善于用运动变化的观点分析问题． 重点难点 本部分内容的重点是：通过对问题的讲解与分析，使学生能较好的调动函 数的基础知识解决问题，并在解决问题中深化对基础知识的理解，深化对函数 思想、数形结合思想的理解与运用． 难点是，函数思想的理解与运用，推理论证能力、综合运用知识解决问题能 力的培养与提高． 教学过程 函数的综合运用主要是指运用函数的知识、思想和方法综合解决问题．函数 描述了自然界中量的依存关系，是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一 种刻画，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系． 因此，运动变化、相互联系、相互制约是函数思想的精髓，掌握有关函数知识是 运用函数思想的前提，提高用初等数学思想方法研究函数的能力，树立运用函 数思想解决有关数学问题的意识是运用函数思想的关键． 一、准确理解、熟练运用，不断深化有关函数的基础知识 在中学阶段函数只限于定义在实数集合上的一元单值函数，其内容可分为 两部分．第一部分是函数的概念和性质，这部分的重点是能从变量的观点和集 合映射的观点理解函数及其有关概念，掌握描述函数性质的单调性、奇偶性、周 期性等概念；第二部分是七类常见函数(一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、 对数函数、三角函数和反三角函数)的图象和性质．第一部分是理论基础，第二 部分是第一部分的运用与发展． 例 1 　已知函数f(x)，x∈F，那么集合{(x，y)| y=f(x)，x∈F}∩{(x，y)|x=1}中所含元素的个数是． [　　　 ] A．0 B．1 C．0或 1 D．1或 2 分析 　这里首先要识别集合语言，并能正确把集合语言转化成熟悉的语 言．从函数观点看，问题是求函数y=f(x)，x∈F的图象与直线x=1的交点个数 (这是一次数到形的转化)，不少学生常误认为交点是1个，并说这是根据函数 定义中“惟一确定”的规定得到的，这是不正确的，因为函数是由定义域、值域 对应法则三要素组成的．这里给出了函数y=f(x)的定义域是F，但未明确给出1 与F的关系，当1∈F时有1个交点，当1 F时没有交点，所以选 C． 例 2 　设函数f(x)=lg(ax2+2x+1)． (1)若 f(x)的定义域是 R，求实数 a的取值范围； (2)若 f(x)的值域是 R，求实数 a的取值范围． 分析 　这是有关函数定义域、值域的问题，题目是逆向给出的，解好本题 要运用复合函数，把f(x)分解为 u=ax2+2x+1和 y=lgu 并结合其图象性质求解． 切实数x恒成立． a=0或 a＜0不合题意， 解得 a＞1． 当 a＜0时不合题意； a=0时，u=2x+1，u能取遍一切正实数； a＞0时，其判别式Δ=22-4×a×1≥0，解得0＜a≤1． 所以当0≤a≤1时 f(x)的值域是 R． 例 3 　设 f(x)是(-∞，+∞)上的奇函数，f(x+2)=-f(x)，当0≤x≤1时， f(x)=x，则f(7.5)等于．　 [　　　 ] A．0.5　　　　　　　　　 B．-0.5 C．1.5　　　　　　　　　 D．-1.5 分析一 　由f(x)是(-∞，+∞)上的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)=x，得- 1≤x≤0时 f(x)=x． 由f(x+2)=-f(x)，运用递推的方法， f(7.5)=f(-0.5+4×2)=(-1)4f(-0.5)=-0.5． 分析二 　由已知f(x+2)=f(-x)变形为f(x+1+1)=f(-x-1+1)，令 x+1=t得 f(t+1)=f(1-t)，由此得函数的一条对称轴为x=1，又 f(x)是(-∞，+∞)上的奇 函数，当0≤x≤1时 f(x)=x，画出函数f(x)的图象(图1)，可得f(7.5)=- 0.5． 分析三　 由已知f(x+2)=-f(x)，所以 f(x+2+2)=f(x)即 f(x+4)=f(x)，由 此表达式得f(x)是以 4为周期的周期函数．所以 f(7.5)=f(7.5+4×(-2))=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5． 故选 B． 评述 　解好本题的关键是对条件 f(x+2)=-f(x)的认识．解法一是运用奇 函数的概念和递推的方法；解法二是利用换元的方法，得出函数f(x)的一条对 称轴是x=1，画出图象求解；解法三是由条件推出f(x+4)=f(x)，函数f(x)是以 4为最小正周期的函数，无论哪种解法都需把有关知识(函数的奇偶性、周期性 等)和数学方法(换元法、递推方法、数形结合等)有机的结合，因此从联系中把握 知识，从综合运用中深化对知识的认识是十分重要的． 例 4 　函数f(x)定义在 R上，则函数y=f(x-1)与 y=f(1-x)的图象关于___ ___对称． [　　　 ] A．直线x=0 B．直线y=0 C．直线x=1 D．直线y=1 分析 　由函数图象的平移变换和对称变换 y=f(x-1)是由y=f(x)向右平移 1个单位得到，而 y=f(1-x)=f[-(x-1)]是由y=f(x-1)沿直线x-1=0翻折 180°，所以 y=f(x-1)与 y=(1-x)的图象关于直线x=1对称． 将问题发展为研究函数f(x-6)与函数f(8-x)的对称性，其对称轴方程是__ ___．(答：x=7) 二、掌握初等数学研究函数的方法，提高研究函数问题的能力 高中数学对函数的研究理论性加强了，对一些典型问题的研究十分重视， 如求函数的定义域，确定函数的解析式，判断函数的奇偶性，判断或证明函数 在指定区间的单调性等，并形成了研究这些问题的初等方法，这些方法对分析 问题能力，推理论证能力和综合运用数学知识能力的培养和发展是十分重要的． 例 5 　已知f(x)定义在(0，+∞)上且在定义域内是增函数，又 f(x)＞0， 解　 设 0＜x1＜x2＜+∞， 因为x∈(0，+∞)， f(x)＞0且为增函数，所以 f(x1)f(x2)＞0，　　　　　　　　　　　　　　　　　 ① f(x2)＞f(x1)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ② (1)当 0＜x1＜x2≤2时，因为f(x)在(0，+∞)为增函数，且 f(2)=1，所以 0＜f(x1)＜f(x2)≤f(2)=1， 故　　　　　　　　　　　　　 0＜f(x1)·f(x2)＜1．　　　　　　　　 ③ 由①，②，③得F(x2)-F(x1)＜0，即 F(x2)＜F(x1)． 所以 F(x)在[0，2]上单调递减． (2)当 2＜x1＜x2＜+∞时， 因为f(x)在(0，+∞)为增函数．且 f(2)=1，所以 f(x2)＞f(x1)＞f(2)=1， f(x1)·f(x2)＞1；　　　　　　　　　　　　　　　　 ④ 由①，②，④得F(x2)-F(x1)＞0，即 F(x2)＞F(x1)． 所以 F(x)在[2，+∞)上单调递增． 评述 　对函数单调性的研究，要根据单调性定义以不等式为工具进行推 理论证． 单调递减，x∈[1，+∞)单调递增． 时y有没有最小值，如果有，求出这个最小值，如果没有，说明理由． 应首先确定x的取值范围，由x=log2(sinθ+cosθ)，令u=sinθ+cosθ， =f(x)+g(x)． (1)求函数F(x)的解析式及定义域； (2)试问在函数F(x)的图象上是否存在两个不同的点A，B，使直线AB恰好 与y轴垂直．若存在，求出A，B的坐标．若不存在，说明理由． 设点 P(x，y)在函数 g(x)的图象上，它关于直线y=x-1 的对称点 由 P与 P＇关于直线y=x-1对称 由此解得x＇=y+1，y＇=x-1代入①式得 (2)证明一 　设-1＜x1＜x2＜1，证明f(x1)-f(x2)＜0即 f(x1)＞ f(x2)．f(x)在(-1，1)单调递减．(上述证明请同学完成) 所以(x)的图象上不存在A，B两点使直线AB恰与y轴垂直． 证明二 　反证法． 设 x1∈(-1，1)，x2∈(-1，1)且 x1≠x2不妨设 x1＜x2，若存在 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线AB与 y轴垂直则有y1=y2，于是 由-1＜x1＜x2＜1，x1-x2＜0，右式＜0．又 (1-x1)(1+x2)-(1+x1)(1-x2) =(1-x1+x2-x1x2)-(1+x1-x2-x1x2) =2(x2-x1)＞0， 所以　　　　　 (1-x1)(1+x2)＞(1+x1)(1-x2)，1+x1＞0，1-x2＞0， 左式≠右式，假设不成立．因此在函数f(x) 的图象上不存在A，B两点， 使直线AB恰好与y轴垂直． 三、抓好函数、方程、不等式相互之间的联系 函数、方程、不等式是相互联系的．对于函数f(x)与 g(x)，令 f(x)=g(x)，f(x)＞g(x)或 f(x)＜g(x)则分别构成方程和不等式，因此对于某 些方程、不等式的问题用函数观点认识是十分有益的；方程、不等式从另一个侧 面为研究函数提供了工具． 例 8 　方程 lgx+x=3的解所在区间为． [　　　 ] A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，+∞) 分析　 在同一平面直角坐标系中，画出函数y=lgx与 y=-x+3的图象(如图 2)．它们的交点横坐标x0，显然在区间(1，3)内，由此可排除 A，D．至于选 B 还是选 C，由于画图精确性的限制，单凭直观就比较困难了．实际上这是要比 较x0与 2的大小．当x=2时，lgx=lg2，3-x=1．由于 lg2＜1，因此x0＞2，从 而判定x0∈(2，3)，故本题应选 C． 评述　 本题是通过构造函数用数形结合法求方程 lgx+x=3解所在的区间． 数形结合，要在结合方面下功夫．不仅要通过图象直观估计，而且还要计算 x0 的邻近两个函数值，通过比较其大小进行判断． 例 9 　(1)一次函数f(x)=kx+h(k≠0)，若m＜n有f(m)＞0，f(n)＞0，则 对于任意x∈(m，n)都有f(x)＞0，试证明之； (2)试用上面结论证明下面的命题： 若a，b，c∈R 且|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1，则 ab+bc+ca＞-1． 分析　 问题(1)实质上是要证明，一次函数f(x)=kx+h(k≠0)， x∈(m， n)．若区间两个端点的函数值均为正，则对于任意x∈(m，n)都有f(x)＞0．之 所以具有上述性质是由于一次函数是单调的．因此本问题的证明要从函数单调 性入手． (1)证明 当 k＞0时，函数f(x)=kx+h在x∈R上是增函数，m＜x＜n，f(x)＞f(m)＞ 0； 当 k＜0时，函数f(x)=kx+h在x∈R上是减函数，m＜x＜n，f(x)＞f(n)＞ 0． 所以对于任意x∈(m，n)都有f(x)＞0成立． (2)将ab+bc+ca+1写成(b+c)a+bc+1，构造函数f(x)=(b+c)x+bc+1．则 f(a)=(b+c)a+bc+1． 当 b+c=0时，即b=-c， f(a)=bc+1=-c2+1． 因为|c|＜1，所以 f(a)=-c2+1＞0． 当 b+c≠0时，f(x)=(b+c)x+bc+1为 x的一次函数． 因为|b|＜1，|c|＜1， f(1)=b+c+bc+1=(1+b)(1+c)＞0， f(-1)=-b-c+bc+1=(1-b)(1-c)＞0． 由问题(1)对于|a|＜1的一切值f(a)＞0，即 (b+c)a+bc+1=ab+ac+bc+1＞0． 评述 　问题(2)的关键在于“转化”“构造”．把证明 ab+bc+ca＞-1转 化为证明 ab+bc+ca+1＞0， 由于式子ab+bc+ca+1中， a，b，c是对称的，构 造函数f(x)=(b+c)x+bc+1，则f(a)=(b+c)a+bc+1，问题转化为在|a|＜1，|b| ＜1，|c|＜1的条件下证明f(a)＞0．(也可构造 f(x)=(a+c)x+ac+1，证明f(b) ＞0) 例 10 　定义在 R上的单调函数f(x)满足 f(3)=log23且对任意x，y∈R 都 有f(x+y)=f(x)+f(y)． (1)求证f(x)为奇函数； (2)若 f(k·3x)+f(3x-9x-2)＜0对任意x∈R 恒成立，求实数 k的取值范围． 分析 　欲证f(x)为奇函数即要证对任意x都有f(-x)=-f(x)成立．在式子 f(x+y)=f(x)+f(y)中，令 y=-x可得f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的问题，求 f(0)的值．令 x=y=0可得f(0)=f(0)+f(0)即 f(0)=0，f(x)是奇函数得到证明． (1)证明　 f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈R)，　　　　　　　　　　　　　 ① 令 x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0． 令 y=-x，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又 f(0)=0，则有 0=f(x)+f(-x)．即 f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立． 所以 f(x)是奇函数． (2)解 　f(3)=log23＞0，即 f(3)＞f(0)，又 f(x)在 R上是单调函数，所 以 f(x)在 R上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数． f(k·3x)＜-f(3x-9x-2)=f(-3x+9x+2)， k·3x＜-3x+9x+2， 32x-(1+k)·3x+2＞0对任意x∈R成立． 令t=3x＞0，问题等价于 t2-(1+k)t+2＞0对任意 t＞0恒成立． R 恒成立． 评述 　问题(2)的上述解法是根据函数的性质．f(x)是奇函数且在x∈R 上是增函数，把问题转化成二次函数f(t)=t2-(1+k)t+2对于任意 t＞0恒成立． 对二次函数f(t)进行研究求解．本题还有更简捷的解法： 分离系数由 k·3x＜-3x+9x+2得 上述解法是将k分离出来，然后用平均值定理求解，简捷、新颖． 四、善于用运动变化的观点分析问题 在数学中引入函数后，运动变化的观点进入了数学．函数思想，就是要善 于用运动变化的观点分析和研究具体问题中的数量关系，通过函数的形式，把 这种关系表示出来并加以研究，从而使问题获得解决． 例 11 　ABCD是平行四边形，AB=a，AD=b．(a＞b＞0)．∠A= 四边形 EFGH的最大面积． 分析　 求四边形 EFGH的最大面积，首先要认识平行四边形 EFGH的变化 规律．不难看到，EFGH是随着相等线段BE，BF，DG，DH的变化而变化的．用函 数思想求解．首先要把这种变化过程中的相依性数量化． 解　 设 BE=BF=DH=DG=x，四边形 EFGH的面积为y，则 =[-2x2+(a+b)x]sinα 由题意函数的定义域为(0，b]． 例 12 　如图4，已知抛物线的对称轴是y轴，顶点A的坐标是(0，-1)， 并且在x轴上截得的弦|BC|=2，在这抛物线上两点 P(不同于B点)和 Q，若能使 BP⊥QP，试求点 Q横坐标的取值范围． 分析 　由题设可写出抛物线的方程为y=x2-1，B(-1，0)是抛物线上的定 点，P，Q是抛物线上两动点，P，Q运动应满足 BP⊥QP(即受此条件制约)，设Q 点坐标为(x1，x12-1)，P点坐标为(x2，x22-1)，建立x1、x2的函数关系式． 解　 由已知得B(-1，0)，C(1，0)，抛物线顶点A(0，-1)，则抛物线方 程为y=x2-1． 设Q(x1，x12-1)、P(x2，x22-1)，由于 P不同于B．故 x2≠-1且 x1≠x2， 由BP⊥QP，得 化简整理得 x22+(x1-1)x2+1-x1=0．　　　　　　　　　　　　　　　 ① ①式是x1、x2两个变量间的函数关系式，也是关于x2的一元二次方程，用 判别式法求x1的取值范围 Δ=(x1-1)2-4(1-x1)≥0，解之得x1≤-3或 x1≥1． 要进一步研究)． 值范围是(-∞，-3]∪[1，+∞)． 评述 　在求解本题过程中，得到①式x22+(x1-1)x2+1-x1=0，不少同学不 知应该如何处理，其原因是没有从函数观点认识①式是关于x1、x2的函数关系 式，求x1的取值范围就是求此函数的定义域或值域．因此，从变化联系的观点 运用函数思想是解好本题的关键． 一争大于1的自然数 n都成立，求实数 a的取值范围． 分析 　由于不等式的左端不能化简成一个 n的解析式，故常规解法不行． 从函数观点看，左式可看作一个 n的函数，要使原不等式成立， 呢？应该从研究此函数的单调性入手． 所以 f(n+1)＞f(n)(n≥2，n∈N)．即 f(2)＜f(3)＜f(4)＜f(5)＜… loga(a-1)＜-1． 能力训练 1．以下四个判断中，正确的是． [　　　 ] A．若 x＞a＞0，则 logax＞1 B．若 x＞a＞0，则 logax＞1或 logax＜1 C．若logax＞1，则x＞a＞0 D．若logax＞1，则0＜x＜a＜1 2．若 x∈{x|log2x=2-x}则有． [　　 　] A．x2＞x＞1　　　　　　　　　　　　 B．x2＞1＞x C．1＞x2＞x　　　　　　　　　　　　 D．x＞1＞x2 3．函数f(x)=|log2|2x-1||的单调增区间是．　　　　　　　　　　　　 [　　　 ] 4．函数y=f(3+x)与 y=f(3-x)的图象． [　　　 ] A．关于直线x=6对称 B．关于直线x=3对称 D．关于y轴对称 A．(3，4) B．(4，5) C．(5，6) D．(6，7) 取值范围是． [　　　 ] A．(-∞，0) B．(-∞，1) 　　　　　　　　 [　　　 ] A．(-∞，1) B．(-∞，-2) C．(-3，-2) D．(-3，0) 12．设函数f(x)=(cos x-m)2-1当 cosx=-1时，f(x)取最大值，当 cosx=m 时，f(x)取最小值，则实数 m的取值范围是_____． 13．定义在实数集 R上的函数f(x)满足：① f(-x)=f(x)，② f(4- x)=f(x)，若当x∈[0，2]时，f(x)=-x2+1，求当x∈[-6，-4]时 f(x)的表达式． θ+2msinθ)+f(-2m-2)＞0，求 m的取值范围． 15．已知函数f(x)=x2-1(x≥1)的图象为C1，曲线C2与 C1关于直线y=x对 称． (1)求曲线C2的方程y=g(x)； (2)设函数y=g(x)定义域为 M，x1，x2∈M，且 x1≠x2．求证|g(x1)-g(x2)| ＜|x1-x2|； (3)设 A，B为曲线C2上任意不同两点，证明直线AB与直线y=x必相交． 16．渔场中鱼群的最大养殖量为 m吨．为了保证鱼群的生存空间，实际养 殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量 y(吨)和实际养殖量x(吨)与空闲率乘积成正比， 比例系数为 k(k＞0)． (1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域； (2) 求鱼群年增长量的最大值； (3)当鱼群年增长量达到最大值时，求 k的取值范围． 答案提示 1．B 2．A 3．D 4．D 5．A 6．C 7．D 8．2 10．[-1，0] 12．[0，1] 13．由已知f(x)=f(-x)=f(4+x)，f(x)是以 4为周期的偶函数．x∈[-2，0] 时，-x∈[0，2]，所以 f(x)=f(-x)=-(-x)2+1=-x2+1．当x∈[-6，- 4]，x+4∈[-2，0]．所以 f(x)=f(x+4)=-(x+4)2+1． 14．f(x)是奇函数，所以 f(cos2θ+2msinθ)＞-f(-2m-2)=f(2m+2)．又 f(x)是定义在 R上的减函数，所以cos2θ+2msinθ＜2m+2，可化为 sin2 θ得 g(t)=t2-2mt+2m+1＞0， 问题转化为0≤t≤1时 g(t)＞0成立，即 g(t)的最小值大于零．由 g(t)的对称轴为 t=m，分 m＜0，0≤m≤1， 为1．所以直线AB与直线y=x必相交． 设计说明 本课题是在系统复习函数有关知识的基础上进行函数的综合应用．设计本 课题突出以下几点： 1．在应用中深化基础知识．在复习中基础知识经历一个由分散到系统，由 单一到综合的发展过程．这个过程不是一次完成的，而是螺旋式上升的．因此 要在应用深化基础知识的同时，使基础知识向深度和广度发展． 2．以数学知识为载体突出数学思想方法．数学思想方法是观念性的东西， 是解决数学问题的灵魂，同时它又离不开具体的数学知识．函数内容最重要的 数学思想是函数思想和数形结合的思想．此外还应注意在解题中运用的分类讨 论、换元等思想方法．解较综合的数学问题要进行一系列等价转化或非等价转化 因此本课题也十分重视转化的数学思想． 3．重视综合运用知识分析问题解决问题的能力和推理论证能力的培养．函 数是数学复习的开始，还不可能在大范围内综合运用知识．但从复习开始就让 学生树立综合运用知识解决问题的意识是十分重要的．推理论证能力是学生的 薄弱环节，近几年高考命题中加强对这方面的考查，尤其是对代数推理论证能 力的考查是十分必要的．本课题在例题安排上作了这方面的考虑．