定比分点公式的推导和应用教案
教学目的
使学生掌握线段定比分点的意义和公式，并能应用此公式来解题．
教学过程
一、启发学生提出问题
(在教师帮助下，让学生通过分析事物的内在联系，自己得出研讨
的问题——“求线段的定比分点”．)
师：在平面几何中曾学过，给出一线段，就可以定出它的中点及三
分点．如图1，
以上三个定点问题，怎样改用解析几何的语言呢？
师：对！我们先分析一下，这些问题之间有没有什么联系，能不能
用一个更一般的问题来概括它们呢？
[教师引导学生将特殊问题一般化，让学生逐步了解熟悉这种认识
事物的重要的思维方法．]
要知道这些问题之间的联系，首先要分析一下，在平面几何里，是
用什么方法来定出线段的三等分点的？其方法如下：
现在请同学们想一想：在上面分别定出三个点的位置的方法中，有
哪些是相同的，
这样，我们知道，定出这些点的位置，可以用一种本质上相同的方
法．先取定
(可根据学生实际情况，调整填充的空格．)
由图 4(1)～(5)可知：
________之间，且|BC|越大，λ________，点P越近________．
[继续让学生分析图 5(1)～(5)，进行讨论．]
线段________，且|BC|越小，λ越________．P点越接近________．
线段________，且|BC|越大，λ越________，P点越接近________．
师：对上述十个图的分析归纳，可以发现：除了λ=－1以外，对
每一个定比λ
二、引导学生解决问题
让学生自己解决所提出的问题．教师针对实际情况给子启发，帮助
学生找到问题的解法．一要注意指导“解法”是如何想到的；二要注意
结合学生自己的思路来指导．
一部分学生将图画成图6，并按这一特殊情况来解．这时向他们指
出不足，并启
的解法是否适用？
于给我们的条件是“几何的”，因此想到从寻找与这些“数”对应
的“几何元素”之
当一个问题有许多可能情形时，一般可以先考虑简单的情况．(这
是一种有用的思考
同样可得出结论．
有些学生列出公式
时，要指出：这样想是合理的，但要从这个式子中求出点P的坐标
x、y是不可能的．于
得到，于是有式子：
解由①②组成的方程组，求出x、y，但运算太繁了．
最后教师归纳得出定比分点的公式：
时，点P的坐标是
三、培养学生编制问题
导出了定比分点公式以后，组织学生自己编制练习问题，使学生加
深对定比分点公式的认识，并培养他们运用数学知识解决问题的能力．
(1)先提出一些可以用公式
来解的问题．
是独立的(已知其中三个，另一个就被确定)，所以应该讲已知独立
的五个，可以利用公式求得另外两个．如果像上面的问题那样，给了四
个不独立的量，那么或者点
立量的问题，不能只看形式，要看实质．
[学生边编题、边解答，有利于知识的巩固．]
四、布置作业
针对不同情况的学生布置作业．有些学生可以做课本上的练习；有
些学生可以做
段 AB的一个定比分点？如果是的话，P在 AB上还是在它的延长线
上？”还可以让有些同学编制“练习题”作为作业．
自我评述
(1)在中学数学教学中，对发现问题和提出问题的能力的培养，还
远不如解决问题来得重视．学生只习惯于从教师或书本上得到题目，自
己却不善于提出问题，编制题目．对科学发展来说，提出问题和解决问
题是同样重要的．
这里设计了培养学生这方面能力的一个教学过程．但从培养发现问
题的能力来看，还是不充分的．这是考虑到当前使用的教材和学生的实
际情况，目前在课内的步子只能小一点．例如，如放弃现行课本上定比
分点公式的形式，就可较多地放手让学
这里λ可取任意实数，而且 0＜λ＜1时，P为内分点；当λ＞1
时，P为外分点，
在目前情况下，我认为培养学生发现问题与提出问题的能力，可以
采取延续到课外的补救措施．例如，在上一节课结束时，可布置给学生
思考：“给定两点位置后，除了两点间距离外，还有什么别的随之确定
下来的东西．”或“给定三个点，它们有哪些可能的位置关系？有哪些
东西随这三个点的位置的确定而被确定下来？能不能用它们的坐标来反
映？”这些问题不要求全体同学去做，课后教师可在有兴趣、有余力的
学生间作些了解和引导．在这一节课上课时，就可以让这些学生提出获
得的结果与存在的问题，然后在此基础上展开教学．
(2)在解决问题的教学过程中，教师主要的任务是揭示“解法”是
如何“想到”的．凡是学生自己能够得出的要让他们自己去解．同时让
学生自己编出一些应用某一数学公式可以解得的题目，更能使学生理解
所学的知识，培养他们应用知识于实际问题的能力．这是符合数学知识
的抽象性与应用的广泛性的特点的，这样做也更能提高学生的学习积极
性，发展它们思维与联想能力．
(3)不同学生应布置不同的作业．有些学生应该解一些理解公式和
记住公式的练习题；有些学生则可要求他们编一些“有质量”的问题，
并且互相交换着解这些问题．如果编的题目中出现一些矛盾，那么也可
以促使学生去研究，这样有利于因材施教，使学生学得更加主动．
数学教学中，要让学生记住一些概念、公式、法则．有时教师可以指
出一些帮助记住“某一公式”的记忆方法；有时教师要系统地考虑“某
一公式”出现的次数与间隔．但我认为，这不等于培养记忆能力．“能
力”是要通过“实践”才能得到的，在数学教学中考虑如何安排“记
忆”的实践，至少目前还不现实．所以，本课中我考虑了定比分点公式
的记忆，但没有提培养记忆能力．
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