三角函数·正弦函数、余弦函数的性质·教案
教学目标
1．掌握正弦函数、余弦函数的性质．
2．通过学习正弦函数、余弦函数的性质，培养学生类比的学习方法和数形
结合的思想．
教学重点与难点
难点是函数的周期性．
重点是正弦函数的性质．
教学过程设计
一、复习函数的性质
以前我们对函数性质的研究主要有以下几个方面：函数的定义域、值域、最
值、奇偶性、增减性、对称性等．这里我们重点复习奇偶性、增减性及上节课讲的
周期性．
（教师可打出投影片复习奇函数、偶函数的定义，函数单调性的定义及周期
的定义．）
奇函数、偶函数的定义：若对于函数定义域内任意一个x，都有f（-x）=-
f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数；若对于函数定义域内任意一个x，都
有f（-x）=f（x），那么函数f（x）叫做偶函数．
函数的单调性：一般地，对于给定区间上的函数f（x），如果对于属于这
个区间的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那
么就说f（x）在这个区间上是增函数；如果对于属于这个区间的任意两个自变
量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说f（x）在这个
区间上是减函数．
周期性的定义：对于函数y=f（x），T为不等于0的常数，若f（x＋
T）=f（x）对于定义域内一切x都成立，则y=f（x）叫周期函数．T为此函数
的周期．下面看几个例子．
例 1 讨论y=ax2＋bx＋c（a＞0）的性质．
首先画出函数图象的示意图．由图象看出：
定义域 x∈R．
无最大值．
奇偶性 b≠0时，是非奇非偶函数．b＝0时，是偶函数．
大而减小．
例 3 讨论y＝logax（0＜a＜1）的性质．
画出函数图象示意图2，可看出：
定义域 x＞0．
值域 y∈R．
最值 既无最大值，也无最小值．
奇偶性 是非奇非偶函数．
增减性 是减函数．
对称性 不具备对称性．
以上两个例子都是我们较为熟悉的函数，下面我们用这种方法研究我们刚
刚学过的正弦函数和余弦函数的性质．
二、正弦函数的性质
由上述两个例子不难看出在讨论函数性质时要注意观察函数图象，所以在
研究正弦函数的性质前，先画出y＝sinx的图象．（画此图象时，为了观察准
确，应多画几个周期．）
从图象上可以观察出：
1．定义域：x∈R．
2．值域：y∈［-1，1］
3．周期性：正弦函数y=sinx是周期函数．2π是它的最小正周期，
2kπ（k∈Z，k＝0）都是它的周期．
4．增减性：从图象上可以看出正弦函数在整个实数域上不是增函数，也不
是减函数，但具有增减区间．引导学生从图象上先标出一个增区间，
5．最值：最大值为1，最小值为-1，但取得最值的时刻不唯一．例
取到最小值．
函数值取最值．而如前面讨论的正弦函数取得最大值时，对应的自变量x
的值却不唯一，这从正弦函数的周期性容易得到解释．
6．奇偶性：正弦函数的图象关于原点中心对称，从中可以看出正弦函数是
奇函数．这点可以用代数方法证明如下：
设f（x）=sinx．因为
sin（-x）=-sinx，
即f（-x）=-f（x），由奇函数定义知正弦函数是奇函数．
7．对称性：从前面的讨论已经知道正弦函数的图象是中心对称图形，但除
原点外正弦函数图象还有没有其它的对称中心呢？（引导学生将y轴左移或右
移7π个单位，2π个单位，3π个单位，……即平移kπ个单位）正弦函数图
象的对称中心也可以是点（0，0），点（π，0），点（2π，0），……即点
（kπ，0），k∈Z．再引导学生仔细观
的，这是由它的周期性而来的．
在较为详细地研究了正弦函数的性质后，可以引导学生用类比的方法，写
出余弦函数的性质，然后由教师给予订正．
二、余弦函数的性质
画出y＝cosx图象．
1．定义域：x∈R．
2．值域：y∈［-1，1］．
3．周期性：余弦函数y＝cosx是周期函数，最小正周期为
2π．T=2kπ（k≠0，k∈Z）都是它的周期．
4．增减性：从余弦函数图象上可以看出，余弦函数在整个实数域上不具备
单调性．但具有无数个单调区间，当x∈［2kπ，π＋2kπ］（k∈Z）时，y随
x的增大而减小；当x∈［π＋2kπ，2π＋2kπ］（k∈Z）时，y随 x的增大而
增大．
5．最值：当x=2kπ（k∈Z）时，y取最大值1；当x＝2kπ＋π（k∈Z）
时，y取最小值-1，即当x＝kπ（k∈Z）时，y取得最值．
6．奇偶性：余弦函数图象关于y轴对称，从中可以看出余弦函数为偶函数，
这可通过cos（-x）=cosx来证明．
（k∈Z）都是对称中心；又是轴对称图形，所有直线 x=kπ，k∈Z都是对
称轴．
至此，我们对正弦函数、余弦函数的性质已有所了解．下面换个角度进行思
考．
当我们仔细对比正弦函数、余弦函数性质后，会发现它们有很多共同之处．
我们不妨把两个图象中的直角坐标系都去掉，会发现它们其实都是同样形状的
曲线，如图5．
所以它们的定义域相同，都为R．值域也相同，都是［-1，1］．最大值都
是1，最小值都是-1，只不过由于y轴放置的位置不同，使取得最大（或最小）
值的时刻不同．它们的周期相同，最小正周期都是2π．它们的图象都是轴对
称图形和中心对称图形，且都是以图象上函数值为零所对应的点为对称中心，
以过最值点且垂直于x轴的直线为对称轴．但是由于y轴的位置不同，对称中
心及对称轴与x轴交点的横坐标也不同．它们都不具备单调性，但都有单调区
间，且都是增、减区间间隔出现．也是由于y轴的位置改变，使增减区间的位置
有所不同．也使奇偶性发生了改变．
由此可见，图象的平移变换对函数的性质会产生影响．
三、课堂练习
例 1 说出y=sinx（x∈R+）的性质．
解 先画出函数图象，再根据图象进行分析．
（注意此函数的定义域对图象的影响）
由图象可知，
定义域：x∈R+．
值域：y∈［-1，1］．
奇偶性：从图象上可以看出它非奇非偶．另外，定义域的不对称性也决定
了它既非奇也非偶．
周期性：它是周期函数，T=2kπ（k∈N）是它的周期，最小正周期为
2π．
对称性：y＝sinx的图象是轴对称图形，它有无数条对称轴，对称
中心，对称中心是（kπ，0），k∈N．
通过这道例题，对正弦函数性质进行了的复习，从中可以看出定义域对函
数性质的影响．
例 2
由图象去分析函数性质．
定义域：x∈R．
值域：y∈［0，1］．
k∈Z时，y取最大值1．
奇偶性：是非奇非偶函数（图象既不关于y轴对称，又不关于原点呈中心
对称）．
周期性：最小正周期为2π．
的增大而减小．
从此题可以让学生初步看到纵伸缩，纵向平移变换不改变对称性，定义域，
增减区间等，但函数的某些性质发生了变化．
需要强调的是在分析函数的性质时，若能较为准确地画出图象，最好利用
图象去做，有些函数性质也可以从代数变换中得到，一般较为繁杂．例如此题
的函数值域可以用不等式变形来做：
再比如奇偶性的讨论：
奇非偶函数.
函数的有些性质利用函数图象来讨论既直观又简明，所以熟记基本的正弦
函数y=sinx和余弦函数y=cosx的图象，并利用它们作出有关的三角函数图象
是分析函数性质的关键．
四、小结
这节课我们研究了正弦函数、余弦函数的性质．重点是掌握正弦函数的性质
通过对两个函数从定义域、值域、最值、奇偶性、周期性、增减性、对称性等几方面
的研究，更加深了我们对这两个函数的理解．同时也巩固了上节课所学的正弦
函数，余弦函数的图象的画法．
学习了函数性质，使我们对过去所学的知识有了新的认识．例如sin（α
＋2π）＝sinα这个公式，以前我们只简单地把它看成一个诱导公式，现在我
们认识到了它表明正弦函数的周期性．还使我们能够处理一些新问题，例如：
解
在本节课的最后一个例题中出现了图象变换对函数性质的影响．有关这个
问题在下节课还要详细分析．总之，学习了函数的性质，特别是学习正弦函数、
余弦函数独特的性质周期性后，使我们对它们的其它性质有了进一步的认识，
也使我们对两个函数有了较为全面的了解．
作业：课本P177练习第 2，3，4题．
课堂教学设计说明
本节课的主要教学思路可概括为：
1．复习函数的性质．
2．研究正弦函数的性质．
3．类比正弦函数的性质，请学生写出余弦函数的性质．
4．两个函数的性质比较．
5．课堂练习．
6．课堂小结．
这节课既是对上节课函数图象的巩固复习，又为下节课讲正弦型曲线打下
了基础，是一节承上启下的课．
函数的性质，从初中就开始学习，到高中讲幂、指数、对数函数后有了较深
的认识，但由于以前所学的函数不是周期函数，所以理解较为容易．而正弦函
数、余弦函数除具有以前所学函数的共性外，又有其特殊性，共性中包含特性，
特性又离不开共性，这种普通性与特殊性的关系通过教学应让学生有所领悟．
在讲完正弦函数性质的基础上，引导学生用类比的方法写出余弦函数的性
质，可以加深他们对两个函数的区别与联系的认识．在本节课的最后一个例题
中提出函数的某些性质既可用代数方法也可用几何方法思考，是想突出这种思
考方式．较好地利用图象解决问题是数形结合思想的体现，是本节课主要强调
的数学思想．
在本节课最后小结时，可把正弦函数、余弦函数的性质以表格形式写成投影
片上打出，使学生在最后能更进一步加深印象．
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