实数与向量的积教案
●教学目标
(一)知识目标
1.实数与向量的积的定义；
2.实数与向量的积的运算律；
3.两向量共线的充要条件.
(二)能力目标
1.掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义；
2.掌握实数与向量的积的运算律；
3.理解两个向量共线的充要条件，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行.
●教学重点
1.实数与向量积的定义；
2.实数与向量积的运算律；
3.两个向量共线的充要条件.
●教学难点
对向量共线的充要条件的理解.
●教学方法
启发引导式
实数与向量的积的定义可以看作是数与数的积的概念的推广.启发学生在掌握向量加法
的基础上，学习实数与向量的积的概念及运算律，引导学生从特殊归纳到一般.
在学习实数与向量的积的运算律时，应启发学生寻求其与代数运算中实数乘法的运算
律的相似性，但应注意它们之间的区别，从而掌握实数与向量的积及其应用.
●教具准备
投影仪、幻灯片
●教学过程
Ⅰ.复习回顾
师：前面两节课，我们一起学习了向量加减法运算.这一节，我们将在加法运算基础上
研究相同向量和的简便计算及其推广.
Ⅱ.讲授新课
师：在代数运算中，ａ＋ａ＋a＝３ａ,故实数乘法可以看成是相同实数加法的简便计
算方法，所以相同向量的求和运算也有类似的简便计算.
已知非零向量ａ，我们作出ａ＋ａ＋ａ和(－ａ)＋（－ａ）＋（－ａ）.
由图可知，OC ＝OA＋ AB＋ BC＝ａ＋ａ＋ａ，我们
把ａ＋ａ＋ａ记作 3ａ，即OC ＝３ａ，显然 3ａ的方向与ａ的
方向相同，3ａ的长度是ａ的长度的3倍，即
｜3ａ｜＝３｜ａ｜.
同样，由图可知， PN ＝ PQ＋QM ＋MN ＝（－ａ）＋
（－ａ）＋（－ａ），我们把(－ａ)＋
（－ａ）＋（－ａ）记作－３ａ，即 PN ＝－３ａ，显然－３ａ的方向与ａ的方向相反，
－３ａ的长度是ａ的长度的3倍，即｜－３ａ｜＝３｜ａ｜.
上述过程推广后即为实数与向量的积.
1.实数与向量的积
实数λ与向量ａ的积是一个向量，记作λａ，其长度和方向规定如下：
(1)｜λａ｜＝｜λ｜｜ａ｜
(2)当λ＞０时，λａ与ａ同向；
当λ＜０时，λａ与ａ反向；
当λ＝０时，λａ＝0.
师：根据实数与向量的积的定义，我们可以验证下面的运算律.
2.实数与向量的积的运算律
(1)λ（μａ）＝（λμ）ａ
(2)（λ＋μ）ａ＝λａ＋μａ
(3)λ（ａ＋ｂ）＝λａ＋λｂ
说明：对于运算律的验证要求学生通过作图来进行.
3.向量ｂ与非零向量ａ共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使ｂ＝λａ.
说明：(1)推证过程引导学生自学；
(2)可让学生思考把“非零向量”的“非零”去掉后，原充要条件是否正确，目的是通
过0 与任意向量的平行来加强学生对于充要条件的认识.
师：下面我们通过例题分析来进一步熟悉向量与实数积的定义、运算律及两向量共线的
充要条件的应用.
［例1］若3ｍ＋２ｎ＝ａ，ｍ－３ｎ＝ｂ，其中ａ，ｂ是已知向量，求ｍ，ｎ.
分析：此题可把已知条件看作向量ｍ、ｎ的方程，通过方程组的求解获得ｍ、ｎ.
解：记3ｍ＋2ｎ＝ａ①
ｍ－３ｎ＝ｂ②
3×②得３ｍ－９ｎ＝３ｂ③
①－③得11ｎ＝ａ－３ｂ.
∴ｎ＝11
1 ａ－11
3 ｂ④
将④代入②有：ｍ＝ｂ＋３ｎ＝11
3 ａ＋11
2 ｂ
评述：在此题求解过程中，利用了实数与向量的积以及它所满足的交换律、结合律，从
而解向量的二元一次方程组的方法与解实数的二元一次方程组的方法一致.
［例 2］凸四边形ABCD的边AD、BC的中点分别为 E、F，求
证EF ＝ 2
1 ( AB +DC ).
解法一：构造三角形，使 EF作为三角形中位线，借助于
三角形中位线定理解决.
过点 C在平面内作CG ＝ AB，则四边形 ABGC是平行四
边形，故 F为 AG中点.
∴EF是△ADG的中位线，∴EF ? DG2
1 ,
∴EF ＝ 2
1 DG .
而DG＝DC ＋CG ＝DC ＋ AB，
∴EF ＝ 2
1 （ AB＋DC ）.
解法二：创造相同起点，以建立向量间关系
如图，连EB，EC，则有EB＝EA＋ AB，
EC＝ED＋DC ，
又∵E是 AD之中点，
∴有EA＋ED＝0.
即有EB＋EC＝ AB＋DC ；
以EB与EC为邻边作平行四边形EBGC，则由 F是 BC之中点，可得 F也是 EG之中点.
∴EF ＝ 2
1 EG ＝ 2
1 （EB＋EC）＝ 2
1 （ AB＋DC ）
Ⅲ.课堂练习
课本Ｐ 105练习1，2，3，4.
Ⅳ.课时小结
师：通过本节学习，要求大家掌握实数与向量的积的定义，掌握实数与向量的积的运
算律，理解两个向量共线的充要条件，并能在解题中加以运用.
Ⅴ.课后作业
(一)课本Ｐ 107习题 5.3 1，2，3，4
(二)1．预习 P105～Ｐ 107
2．预习提纲：
(1)平面向量基本定理.
(2)定理的应用有哪些？
●板书设计
§5.3.1 实数与向量的积(一)
1.实数与向量的积 2.实数与向量积的运算律 ３ .两向量共线的充要条件
(1)｜λａ｜＝｜λ｜｜ａ｜ (1)λ（μａ）＝（λμ）ａ 4.学生练习
(2)λ＞０，λａ与ａ同向 (2)（λ＋μ）ａ＝λａ＋μａ
λ＜０，λａ与ａ反向 (3)λ（ａ＋ｂ）＝λａ＋λｂ
λ＝０，λａ＝0
●备课资料
1.错例分析
［例1］判断向量ａ＝－２ e与ｂ＝２ e是否共线?
对此题，有同学解答如下：
解：∵ａ＝－２ e，ｂ＝２ e，∴ｂ＝－ａ，∴ａ与ｂ共线.
分析：乍看上述解答，真是简单明快.然而，仔细研究题目已知，却发现
其解答存有问题，这是因为，原题已知中，对向量 e 并无任何限制，那么就应允许 e
＝0，而当 e＝0 时，显然ａ＝0，ｂ＝0，此时，ａ不符合定理中的条件，且使ｂ＝λａ
成立的λ值也不惟一(如λ＝－１，λ＝１，λ＝２等均可使ｂ＝λａ成立)，故不能应
用定理来判断它们是否共线.可见，对 e＝0 的情况应另法判断才妥.
综上分析，此题应解答如下：
解：(1)当 e＝0 时，则ａ＝－２ e＝0
由于“零向量与任一向量平行”且“平行向量也共线向量”，所以，此时ａ与ｂ共线.
(2)当 e≠0 时，则ａ＝－２ e≠0，ｂ＝２ e≠0
∴ｂ＝－ａ(这时满足定理中的ａ≠0，及有且只有一个实数λ（λ＝－１），使得
ｂ＝λａ成立)
∴ａ与ｂ共线.
综合(1)、(2)可知，ａ与ｂ共线.
2.用向量法解决几何问题
向量是数学中重要概念之一，是解决数学问题的得力工具，它简洁明快，许多几何里
的命题，如果用向量知识来解决就显得格外简练.
［例 2］如图，MN是△ABC的中位线，求证：MN＝ 2
1 BC，且
MN∥BC.
证明：∵M、N分别是 AB、AC 边上的中点，所以 AM = 2
1
AB， AN = 2
1 AC ， MN = AN － AM = 2
1 AC - 2
1
AB = 2
1 （ AC - AB）= 2
1 BC .
因此，ＮＭ＝ 2
1 ＢＣ且ＭＮ∥BC.
●教学后记
/4
