指数函数教案
教学目标
1．通过教学，使学生掌握指数函数的定义，会画指数函数
的图象，掌握指数函数的性质．
2．通过例题，使学生学会利用函数的性质，比较两个数的
大小的方法，从而加深学生对函数性质的理解．
3．通过教学，使学生进一步了解学习一种新的函数的基本
方法．
4．通过函数的图象，让学生观察归纳函数的性质，提高学
生画图、看图、用图的能力，提高学生观察归纳的能力．
教学重点与难点
教学重点是指数函数的定义，图象及性质．难点是弄清底数
a对于函数值变化的影响，区分a＞1与0＜a＜1时，函数值变化
的不同情况．能应用函数的性质解决问题．
教学过程设计
师：首先我们回忆关于零指数、负指数、分数指数幂的意义及
其运算性质．
以上是零指数、负指数及分数指数幂的意义．那么它们的运算性质
呢？
生：am·an=am+n；am÷an=am-n；(am)n=amn；(ab)n=anbn．其中
m，n为有理数．
师：请同学们回忆，什么是幂函数？
生：函数y=xa叫做幂函数．其中x是自变量，a是常数．
师：幂函数是我们在高中所学的第一个函数．今天我们再学
习一种新的函数．请同学们先考虑以下问题：
例1 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，
……一个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞分裂的个数y与x
的函数关系是什么？
生：y与x的函数关系是y=2x．
例2 一种放射性物质随着时间而不断衰减．已知它经过一年
剩留的质量约是原来的84％，请问：若有1克这种放射性物质，
经过x年，剩留的质量y与x的函数关系是什么？
师：经过1年，剩留量y=1×84％=0.84；经过2年，
y=0.84×0.84=0.842．经过x年呢？
生：经过x年，剩留量y=0.84x．
师：以上两例中所涉及到的函数里，指数是自变量，底数分
别为2和0.84．它们与幂函数不同的是：自变量x出现在指数位
置上，而底数是一个大于零且不等于1的常数．我们称这样的函
数为指数函数、由此得到：
定义：函数y=ax叫做指数函数，其中a是一个大于零且不等
于1的常量．
对这个定义我们要说明两点：
(1)当 a＞0，x是无理数时，ax是一个确定的实数，对于无
理指数幂，过去学过的有理数指数幂的性质和运算法则都适用．
有关概念和定理证明在课本中从略．由于指数已经扩充到有理数
和无理数，所以在底数大于零的前提下，x可以是任意实数，因
此指数函数的定义域是全体实数集R．
(2)为什么要规定底数a大于零且不等于1呢？请同学们思
考一下．
生：若a=0，当x=0时，ax无意义．
师：还有吗？
生：若x＜0时，ax(a=0)无意义．
师：好．
请同学们再考虑a＜0的情形．
师：好．当a＜0，且x是分母为偶数的既约分数时，在实数
范围内函数值ax不存在．
如果a=1，则y=1x=1是一个常量．对它也没有研究的必要．
根据上述原因，我们规定指数函数y=ax中的底数a＞0且
a≠1．
同幂函数一样，下边我们根据函数的解析式描绘指数函数的
图象．我们考虑几个特殊的指数函数的图象．
师：画函数图象都有哪些方法呢？
生：描点法与图象变换法．
师：对．当我们学习一种新的基本初等函数时，都是采用描
点法画出其函数图象．在画图时，首先要列出x、y的对应值表，
然后用描点法画出图象．
在列表时，要考虑函数的定义域．因为x∈R，所以y=2x中可
取 x=…－3，
3时，y=100，1000，画起来就不方便了．但是点取得太少
也不好，因此可取 x=…，
根据上表，在同一坐标系里，作函数图象．
师：我们画出了三个具有代表性的指数函数图象．现在我们
根据这些图象，观察分析指数函数图象的特征，从而得到指数函
数的性质．请同学们先观察这三个函数图象有哪些共同的特点．
生：图象都在x轴的上方．
师：由此可以说明指数函数具有什么性质呢？
生：函数值y＞0．
师：很好．从图象上看，曲线都在x轴的上方，并且向下与x
轴无限地接近，所以函数的值域y=ax＞0．继续观察还有什么共同
的特点？
生：图象都过一个点．
师：这个点的坐标是什么？
生：(0，1)．
师：这说明什么呢？
生：当x=0时，y=1．
师：对．在指数函数中，当x=0时，y=ax=a0=1(a＞0且
a≠1)．现在我们再观察这三个函数图象中有哪些不同的特点呢？
的．
师：很好．对于指数函数，当a=2和 10，即 a＞1时，函数在
定义域(－∞，+∞)
续观察还有什么特征？
生：……
师：在图象上画一条直线 y=1．
生：当底数是2和10时，在第一象限，图象都在直线 y=1的
上边，在第二象限，
师：图象在直线 y=1的上边，说明了什么？图象在直线 y=1
的下边，且在x轴的上边，又说明了什么呢？
生：图象在直线 y=1的上边．说明y＞1；在直线 y=1的下边
且在x轴的上边，说明
0＜y＜1．
师：对．由此我们可以得出：当a=2和 10，即 a＞1时，若x
＞0，则y＞1；若x＜0，
我们通过观察图象的特征，将结论归纳如下：
师：根据上述结论，我们知道指数函数的图象及性质应视 a
＞1和 0＜a＜1两种情形而不同，这是指数函数至关重要的一个特
点．因此，今后我们在研究指数函数的问题时，要特别注意它们
底数的取值范围，从而得到相应的结论，以达到解决问题的目的．
例2 比较下列各题中两个值的大小．
(1)1.72.5和1.73；(2)0.8-0.1和0.8-0.2．
师：请同学们观察(1)中两个数的底数和指数的特点．
生：这两个数的底数是相同的，指数不同．
师：根据这一特点，如何比较这两个数的大小呢？
生：可根据函数y=1.7x是增函数的性质来比较大小．
师：对．针对这两个数的底数都是1.7，我们构造一个函数
y=1.7x，利用这个函数在(－∞，＋∞)上是增函数，只要比较自
变量2.5与3的大小，即可比出1.72.5与1.73的大小．请一名同
学写出解题过程．
生：(板书)．
解 因为函数y=1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数，且
2.5＜3，
所以 1.72.5＜1.73．
师：非常好．要求同学们按照这样的格式写出作业答案．下
面请同学比较第(2)组两个数的大小，请同学回答．
生：因为函数y=0.8x在(－∞，＋∞)上是减函数，又
－0.1＞－0.2，
所以 0.8-0.1＜0.8-0.2．
师：当我们比较两个数的大小时，若这两个数的底数相同，
而指数不同，则可以构造一个指数函数，当底数a＞l，函数在定
义域内是增函数；当底数0＜a＜1，函数在定义域内是减函数，
再比较自变量的大小，利用函数单调性，即可比出函数值的大小，
我们把这种方法简称为“函数法”．
例3 比较下列各题中两个数值的大小．
(1)0.8-0.3和4.9-0.1；(2)0.90.3和0.70.4
师：请同学们观察(1)中两个数的特点，它们与例2中两个数
的区别是什么？
生：例2中每组数的底数都相同，指数不同，而这道题目中
的两个数底数、指数都不相同．
师：例3(1)中两个数的底数、指数都不相同，不便于利用指
数函数的单调性直接比较大小，那么，请同学们仔细观察分析一
下这两个数有什么特点．
生：在0.8-0.3中，因为底数0.8∈(0.1)，而指数－0.3＜0，
由指数函数的第三个性质可知0.8-0.3＞1．
在4.9-0.1中，因为底数4.9＞1，而指数－0.1＜0，也可由指
数函数的第三个性质知 4.9-0.1＜1．因此 0.8-0.3＞4.9-0.1．
师：非常好．这组数是根据指数函数中第三条性质，由底数与指数
的范围，判断出一个数比 1大，而另一个数比 1小，由此得出结论．那
么请同学们继续观察(2)中两个数值有什么特点，如何判断它们的大小．
生：在 0.90.3中，0＜0.9＜1，0.3＞0，由指数函数性质知 0.90.3＜1；
在 0.70.4中，0＜0.7＜1，0.4＞0，因此 0.70.4＜1
师：两个数都小于 1，能否比较出 0.90.3与 0.70.4两个数的大小吗？
生：不能．
师：(1)中两个数，一个比 1大，一个比 1小，即 1在这两个数之间，
我们才能比较出两个数的大小．(2)中两个数都比 1小，即 1不在这两个
数之间，因此就不能判断这两个数的大小．那么能不能找到一个数，介
于 0.90.3和 0.70.4之间呢？
生：可以取 0.70.3．
师：请你比较一下．
生：因为函数 y=x0.3在[0，＋∞)上是增函数．
师：这是个什么函数呢？
生：幂函数．
师：好．请继续说．
生：且 0.9＞0.7，所以 0.90.3＞0.70.3．又因函数 y=0.7x在(－∞，＋
∞)上是减函数，且 0.3＜0.4，所以 0.70.3＞0.70.4．故 0.90.3＞0.70.4．
师：非常好．他另选了一个数 0.70.3，使得 0.90.3比它大，而 0.70.4比
它小，从而比较出这两个数的大小．在比较 0.90.3与 0.70.3时，利用了幂
函数在第一象限的单调性，这两个数的指数相同，而底数不同；在比较
0.70.3与 0.70.4时，利用了指数函数在定义域上的单调性，这两个数的底
数相同，而指数不同．这一技巧同学们要注意．
还有什么不同的选取方法吗？
生：可以取 0.90.4．
师：请你简述一下．
生：考察 0.90.3与 0.90.4，可根据指数函数 y=0.9x在(－∞，＋∞)上是
减函数，判断知：0.90.3＞0.90.4；考察 0.90.4与 0.70.4，可根据幂函数 y=x0.4
在[0，＋∞)上是增函数，判断知：0.90.4＞0.70.4．
因此得：0.90.3＞0.70.4．
师：很好．由例 3中的两组数比大小可以看到：要比较两个数 a和
c的大小，可在 a和 c之间选取适当的数 b，如果 a＞b且 c＜b，那么 a＞
c；如果 a＜b且 c＞b，那么 a＜c．选取这样的数 b不是唯一的，我们把
这种方法简称为“中间量”法．当我们要比较两个数的大小时，可根据
数的不同特点，采取不同的方法．
练习 请同学们口答下列问题：
1．指出下列各个幂中，哪个大于 1？哪个小于 1？哪个等于 1？并
简述理由．
2．指出下列各题中m和 n的大小，并说明理由．
(1)1.4m＞1.4n；(2)m1.4＞n1.4；(3)0.6m＞0.6n；(4)m-0.6＞n-0.6．
生：因为指数函数 y=1.4x在(－∞，＋∞)上是增函数，且 1.4m＞
1.4n，所以m＞n．
生：因为幂函数 y=x1.4在[0，＋∞)上是增函数，且m1.4＞n1.4，所以
m＞n．
生：因为指数函数 y=0.6x在(－∞，＋∞)上是减函数，且 0.6m＞
0.6n，所以m＜n．
生：因为幂函数 y=x-0.6在[0，＋∞)上是减函数，且m-0.6＞n-0.6，所
以m＜n．
师：今天的课就讲到这里，最后我们重温这节课所学的内容．
生：今天讲了什么是指数函数(复述)．
师：指数函数的定义，我们是通过两个实例引入的，说明它是来自
于实践，而又用于实践．掌握定义要注意：
(1)它与幂函数的区别，幂函数的底数是自变量；指数函数的指数
是自变量；
(2)指数函数的定义域是 R；
(3)指数函数的底数 a＞0且 a≠1．
并根据图象观察归纳了指数函数的性质，请同学回答指数函数的性
质．
生：(复述性质)……
师：对上述性质，要求同学们必须熟练掌握应用，但不要求死记硬
背．函数图象是研究函数的直观工具，利用图象便于记忆函数的性质和
变化规律，因此大家脑子里要有图，能够数形结合，会画图，会看图，
会用图，这样才能提高对函数思想方法的认识，并利用它来解决问题．
例 2、例 3都是利用函数性质解决问题的．“函数法”、“中间量法”都
是比较两个数的大小的常用方法，要求掌握．
作业：课本 P70第 1，2题．
师：作业题 1是作图题，作两个指数函数的图象．这样我们共画了
五个指数函数图象，请同学们比较这五个函数图象．下节课，我们共同
讨论结果．
(答案：
(1)底数是互为倒数的两个指数函数的图象关于 y轴对称．
(2)当底数大于 1时，底数越大的图象越靠近 y轴；当底数大于 0
且小于 1时，底数越小的图象越靠近 y轴．)
补充题：
1．比较下列各题中两个数的大小．
(1)5.10.9和 0.30.2；(2)0.71.3和 0.8-0.1．
(3)3.30.7和 3.40.3；(4)0.62.4和 0.72.3．
(答案：(1)＞；(2)＜；(3)＜；(4)＜．)
2．已知 0.9＜a＜1，x=aa，y=ax，试比较 a，x，y的大小．
(提示：因为 0.9＜a＜1，所以函数 y=ax是减函数，又 0＜a＜1，所
以 a1＜aa＜a0=1，即 a＜x＜1．故 aa＞ax＞a，即 x＞y＞a．)
课堂教学设计说明
1．本节课的整体设计是按照一般研究函数的规律设计的．由实例
引入定义，再根据定义并利用描点法画出函数图象，通过图象得到函数
的性质．学生在学习函数时，往往感到比较困难、抽象，不易理解和掌
握．要让学生掌握学习函数的一般规律，再继续学习新的函数，学生就
能顺理成章，而不会产生无所适从的感觉．
2．本节的容量较大，为了提高效率，可采用现代化教学手段，利
用投影仪或电脑．在引导学生观察分析了三种典型函数的图象性质之后，
将得到的结论直接投影出来，课上的引例、例题、练习题、作业题也都可
投影出来．但要注意一定要体现过程教学．比如画函数图象，不要一下
就把图象投影出来，这样不利于学生掌握图象的画法，既使用了投影仪
或电脑，也要将建立坐标系(要强调三要素)、描点、用光滑曲线将这些点
连接起来的整个过程展现出来．又如函数性质的教学，一定先让学生观
察图象，分析特点．从而提高学生观察归纳的能力和看图用图的意识．
例题的解答也要让学生去分析，发现解法．这样有利于学生尽快掌握函
数的性质，掌握比较两个数大小的方法，让学生在观察的过程中，发现
的过程中，解决问题的过程中，建立起学好函数、学好数学的信心．
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