同角三角函数的基本关系式(一)
一、素质教育目标
(一)知识教学点
1．同角三角函数的基本关系式．
2．已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值．
3．利用同角三角函数关系式化简三角函数式．
4．利用同角三角函数关系式证明三角恒等式．
(二)能力训练点
1．牢固掌握同角三角函数的八个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分
析，解决三角问题的思维能力．
2．灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力，
进一步树立化归思想方法．
二、教学重点、难点、疑点及解决办法
1．教学重点：理解并掌握同角三角函数关系式．
2．教学难点：(1)已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值
时正负号的选择；(2)三角函数式的化简；(3)证明三角恒等式．
3．教学疑点：运用同角三角函数关系式中三个平方关系解题，在开平方时，
根据角所在象限选择符号．
三、课时安排
本课题安排2课时，本节课是第1课时．
四、教与学过程设计
(一)复习任意角三角函数定义
师：上节课我们已学习了任意角三角函数定义．如图2—17示，设α是任
意大小的角，角α的六个三角函数是如何定义的呢？
生：在∠α的终边上任意取一点P(x，y)，它与原点的距离是r(r＜0)，则
角α的六个三角函数值是：
(二)推导同角三角函数关系式
师：请同学们观察上述六个三角函数的定义，哪些是互为倒数、商数关系？
(学生在草稿纸上演算，教师巡视．)
生甲：通过计算我们容易发现有三对函数是互为倒数关系．由于sin
所以sinα与cscα，cosα与secα，tgα与ctgα互为倒数．
ctgα与sinα，cosα之间存在商数关系．
师：这些三角函数中还存在平方关系，请同学们计算sin2α+cos2α的值．
师：我们现在sin2α+cos2α=1作恒等变形，当cos2α≠0时，等式
理当sin2α≠0时，等式两边同除以sinα可得1+ctg2α=csc2α．现在我
们将同角三角函数的基本关系式总结如下：
(1)倒数关系sinα·cscα=1，cosα·secα=1，tgα·ctgα=1．
(3)平方关系sin2α+cos2α=1，1+tg2α=sec2α，1+ctg2α=csc2α．
上面这些关系式，我们都称之为恒等式，即当α取使关系式两边都有意义
的任意值时，关系式两边的值相等．请同学们注意，以后我们所说的恒等式都
是指这个意义下的恒等式．例如1+tg2α=sec2α，使恒等
时，如果没有特别说明，一般都把关系式看成是有意义的，其次，在利用
同角三角函数的基本关系式时，要注意其前提“同角”的条件．
(三)同角三角函数关系式的应用
师：同角三角函数关系式十分重要，应用广泛，其中一个重要应用是根据
一个角的某一个三角函数值，求出这个角的其它三角函数值．
解：∵α是第三象限角，∴cosα＜0．
提问：若去掉α是第三象限这个条件，应如何求α的其它三角函数值？
α可能是第三象限或第四象限角，应分象限进行讨论．
(1)当α是第二象限角时
(2)当α是第四象限角时
例3 已知ctgα=m(m≠0)，求cosα．
分析：由于ctgα=m，m正负未定，故要分象限讨论．联想到
1+ctg2α=csc2α，考虑按 cscα的符号分第一、二象限角及第三、四象限角两种
情形讨论．
解：∵ctgα=m≠0，
∴∠α的终边不落在坐标轴上．
(1)当α是第一，二象限角时，则有cscα＞0．
(2)若α是第三、四象限角时，则有cscα＜0．
在三角求值过程中应尽量避免开方运算，在不可避免时，先计算与已知函
数有平方关系的三角函数，这样可只进行一次开方运算，并可只进行一次符号
的说明．
师：同角三角函数关系式还经常用于化简三角函数式，请看例4．
例4 化简下列各式：
=|sin20°-cos20°|=cos20°-sin20°．
总结：在(2)中运用1的代换 1=sin2α+cos2α，从而构造完全平方数，下
节课我们还会进一步研究 1的代换技巧．
师：同角三角函数关系式还经常用于求证三角恒等式，请看例 5．
∴左=右，∴原命题成立．
又∵sin2A(csc2A-ctg2A)=sin2A×1=sin2A，
∴(1-sin2A)(sec2A-1)=sin2A(csc2A-ctg2A)．
总结：三角恒等式证明的基本策略是化繁为简，证一是分别从左、右两边推
向相同的结果，还经常从左证到右或从右证到左，在化简证明过程中还要注意
化归思想方法的运用．
(四)总结
本节课我们学习了同角三角函数的八个关系式，要注意其前提条件是“同
角”，还学习了同角三角函数关系式的三个主要应用，下节课我们进行更深入
的研究．
五、作业
P．148中 9-14．
六、板书设计
七、参考资料
《高中数学精讲精练》(一)
《走向成功——高一数学》
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