同角三角函数的基本关系式教案 1
教学目标
1．复习巩固三角函数的定义；
2．由三角函数的定义，找出同角三角函数的基本关系式(同角公式)；
3．使学生理解同角公式都是特定意义的恒等式；
4．同角公式的简单应用．
教学重点与难点
同角公式的推导．
教学过程设计
师：我们先复习一下前面学过的三角函数的定义(边讲边画出下面
的图形)，找一位同学用 x，y，r来表示出角α的三角函数．
师：好．都答对了．在这六个式子中，有两个式子相乘等于 1的吗？
生：(齐答)有．
师：好．哪两个式子相乘等于 1呢？
生：tanα·cotα=1．(老师板书此式)
师：能证明吗？
生：能．由正切、余切的定义可直接证出结果．
师：说得非常好．还有吗？
生：有．sinα·cscα=1．(老师板书此式)
生：(齐答)还有一个．
师：好．谁来说出这一个？
生：cosα·secα=1．(老师板书此式)
师：还有吗？
生：(思考后摇头)没有了．
师：好．只有三个．这三个式子，有一个共同点，即相乘都是 1，
两个相乘等于 1的数叫做互为倒数，因此我们把这三个式子叫做有倒数
关系的式子．(边说边板书)
倒数关系：tanα·cotα=1． (1)
sinα·cscα=1． (2)
cosα·secα=1． (3)
师：在初中我们学过这个式子：sin2α＋cos2α=1．用代数方法可证
明如下：(可写副板书)
故原式成立．
我们看这六个定义式中，还有这样的具有平方关系的式子吗？
(生思考．)
sin2α＋cos2α=1．观察一下这六个式子中，还有分母相同的吗？
生：(齐答)有．(部分学生说：正割、正切．)
师：对．还有吗？
生：余割、余切．
师：谁能把式子说出来吗？
生：sec2α－tan2α=1，csc2α－cot2α=1．
(师板书这两个式子．)
师：这样我们又发现了三个具有平方关系的式子．(边说边把平方
关系四个字写在这三个式子前面．)
平方关系：sin2α＋cos2α=1． (4)
sec2α－tan2α=1． (5)
csc2α－cot2α=1． (6)
师：初中我们见过这个式子
并且用定义给出了证明．实际还有一个式子，与它类似，那就是余
切 cotα，你能写出 cotα与正、余弦的关系吗？
师：对．我们把这两个式子叫做具有商关系．(板书)
我们把倒数关系、平方关系与商关系这八个公式统称为同角公式．
(边说边点明课题，写出四个字：同角公式)
我们观察这八个式子中，角α的取值范围是不是一样呢？先看
tanα·cotα＝1．(1)
师：很好．那么对于(2)式呢？同学们思考一下，α应取哪些值呢？
生：{α|α∈R，α≠kπ，k∈Z}．
师：很好．其余的六个式子中，对α的取值范围，请同学们自己
写出来．
师：好．下面请同学说一下最后的结果．
生：(4)式的α取值为{α|α∈R}．
生：(6)式的α取值为{α|α∈R，α≠kπ，k∈Z}．
生：(8)式的α取值为{α|α∈R，α≠kπ，k∈Z}．
学生一边说，老师边板书写在前面的八个式子旁边，成为如下形式：
sinα·cscα=1，{α|α∈R，α≠kπ，k∈Z}． (2)
sin2α＋cos2α=1，{α|α∈R}． (4)
csc2α－cot2α=1，{α|α∈R，α≠kπ，k∈Z}． (6)
师：要想使左、右两边相等，首先要使式子有意义才行．上面这些
关系式都是恒等式，即当α取使关系式的两边都有意义的任意值时，
关系式两边的值都相等．以后所说的恒等式都是指这个意义下的恒等式．
下面看书 P141第一自然段．(看完书后，给出一些时间记忆公式．)
师：这些公式怎么应用呢？下面看几个例题．(边说边板书)
生：(齐答)(2)、(4)、(7)、(8)．
师：应用其中的哪个公式可得另一个三角函数值呢？
生：用(2)、(4)可求另一个三角函数值，而用(7)、(8)则求不出来．
师：好．这是因为(6)式或(7)式中各自仍有两个量是不知道的．那
么我们用公式(2)或公式(4)来求．下面请同学说一下你打算怎样做．
再把正余弦分别代入(7)、(8)式可求出 tanα和 cotα，最后把正、余
弦代入(2)、(3)式，又可分别求出 cscα和 secα．
师：好．下面自己把过程写出，与书上第 141页的例 1对照一下结
果是否正确，错误的改正过来．
师：有同学用公式(2)做的吗？有．不多．有的同学对正割、余割的
用法还不太熟练，下面同学用公式(2)再做一遍．找一个同学说一下思路．
生：由公式(2)可求出 cscα，再由公式(6)
csc2α－cot2α=1，
求出 cotα的两个值，由已知α是第二象限的角可定出 cotα取负
值，把 cotα代入公式(8)，可求出 cosα，进而 tanα，cscα，secα都
可求出．
师：通过做此题我们感到，利用平方关系的式子得出的三角函数值
通常会有两个，要依据题目中的条件判断取舍．本题是给出了“α是第
二象限的角”的条件，可以取舍，假若没有这个条件，我们又该怎样做
呢？好，请看例 2．(板书)
师：此题你打算怎么做呢？
师：sinα值的符号怎样确定呢？
生：两个值都有可能取到．
师：什么时候取正，什么时候取负，你能确定吗？
生：能．
师：你说说看．
师：刚才这位同学已经给我们解释了为什么 sinα的两个值都要取，
而且要分不同的情况分别说明各取什么值．那么，α的其它三角函数值
能求了吗？
生：能求．(板书)
(找一位同学到黑板来做，其他同学在笔记本上做．)
当α是第二象限角时，
当α是第三象限角时，
师：(巡视指导后)前面板书的同学已经做完了，看做得对不对？
生：(齐答)对．
师：大家看我这样写行吗？(下面板书)
由 sin2α＋cos2α=1，得
(部分生：可以．)(部分生：不可以．)
师：下面请认为可以这样写的同学说一说理由．
这样写没有错．
师：其他同学的意见呢？
生：α角能确定出所在的象限，就可以把值确定出来，可是这样写
不明确．
师：这位同学解释是对的，既然可以判断出α角所在的象限，那
么就应该把具体某一象限的某一函数值说明确．像刚才我写得那样，当
α是第二象限角时，还是不能明确 sinα的值到底取哪一个，因此，我
们以后再做此类题，能确定α所在的象限时，一定要分开求解，这样
的题，一般有两组解．例 2与例 1相比，例 1是已知一个三角函数值，
并且给出α角所在象限，求其余的三角函数值，这样的题一般只有一
组解．而像例 2，已给一个三角函数值，未给出α角所在的象限，求其
余的三角函数值，一般是先确定α角可能所在的象限，分情况来求．
一般此类题有二组解．例 1与例 2的共同点是所给的三角函数值是具体
的，如果所给的三角函数值是用字母形式给出的，我们又将如何求解呢？
(板书)
例 3 已知：cotα=m(m≠0)，求α的其他三角函数值．
师：这道题仍是已知α角的一个三角函数值，但是这个值是用字
母m给出的，只给出了m≠0，但m是正数，还是负数并没给出，因此
正、负数都可取得．而α角在第几象限呢？m为正数时，α角在第一或
第三象限；m为负值时，α角在第二或第四象限，因此说α角可以是
第一、第二、第三或第四象限的角．而α角的终边会不会在两个坐标轴
上呢？
生：(齐答)不会．
生：为什么？
生：(齐答)因为给了m≠0．
师：很好．这个条件如果没有怎么办？
生：(齐答)那就需要考虑α角的终边落在坐标轴上的情况．
师：题目给出m≠0，实际上是把问题简化了，还是复杂了？
生：(齐答)简化了．
师：我们搞清了α角所在的象限，那么怎么求呢？
生：(齐答)分四种情况去写．
师：自己写在笔记本上．(板书解题过程)
解 因为 cotα=m(m≠0)，所以α角的终边不在两个坐标轴上．
(1)角α是第一或第二象限的角时，
csc2α=cot2α＋1=m2＋1，
(2)角α是第三或第四象限的角时，
csc2α＝cot2α＋1＝m2＋1，
师：(写完板书后巡视)写完四种情况的同学看能不能把四种情况合
写成两种呢？
(生思考)
师：黑板上我给合写出了两种情况，本质上与你们写的四种情况是
一样的，只是形式上简单了一些．
师：这三道例题我们回顾一下，它们的共同点与不同点，你能用自
己的语言把它们概括一下吗？
生：这三个题由易到难．例 1是给一个三角函数值，并给出了角α
所在的象限，利用同角公式便可求出其他三角函数值，这样的题目一般
只有一组解．例 2是给出一个角的具体三角函数值，但未给出角所在的
象限，那就要先确定角α所在的象限，然后分情况来求其他的三角函
数值，这样的题目一般有两组解．例 3是给出了一个角的三角函数值，
但是用字母给出的，这时还要考虑字母是否为零，确定角α所在的位
置分别来求．若字母m≠0，一般有四种情况，而结果形式可以写成两
种．
师：这位同学总结得非常好．这三道例题是我们对于同角公式的一
个应用．下面看一看这节课我们研究了什么规律？
生：(齐答)同角公式．
师：同角公式中，注意研究是同一个角α的不同三角函数之间的
关系，从形式上看，八个公式中有六个与“1”有关，可以看出“1”在
三角函数这部分知识中有它的特殊地位．从形式上看是八个公式，其中
每一个公式还有它的变形形式，比如刚才做例 3时用到的
cosα＝sinα·cotα，
能在应用时灵活准确．
同角公式的应用今天我们接触了一些，下次课我们还要讲在其他方
面的应用．
今天回去的作业是看书 P139～P143．
作业
课本 P144练习一 第 1，2，3题．P148习题十二第 9题(1)，(2)，
(3)．
课堂教学设计说明
这节课是在学习了三角函数的定义后讲授的内容，是同角公式的第
一节课．主要采取了这样几个层次教学：
第一层次，复习三角函数的定义，为学习同角公式打下基础．
第二层次，从角α的六个三角函数式中，让学生观察出相乘为 1
的具有倒数关系的三个式子；再从
这两个初中见过的式子出发，以这两个式子为突破口分别找出具有
平方关系的三个式子和具有商关系的两个式子：
数学上的任何新知识，都是与旧知识有紧密联系的，因此这样在复
习旧知识的基础上又发现了新的结论，此时鼓励学生用代数方法证明自
己所发现的结论，进而成为新的知识．为了完善这一新知识，使它更为
严谨，启发学生要考虑到角α的取值范围，在这个特定意义上才有可
能成为恒等式．
第三层次，这八个公式的特点是同一个角α不同的三角函数值之
间的关系，因此要注意公式的特点．在记忆公式中，还要注意它们变形
形式的应用；此外，在公式的记忆上，根据学生情况，可教给学生如下
六角形来记忆．方法是：
1．倒数关系的三个公式可用过中心的三条对角线来记忆，如
sinα·cscα=1，
cosα·secα＝1，
tanα·cotα＝1．
2．平方关系的三个公式可用带阴影的三角形来记忆，上边两个顶
点处的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方，如：
tan2α＋1＝sec2α；cot2α＋1＝csc2α；sin2α＋cos2α＝1．
3．商关系，可用正六角形任何相邻三个顶点处的三个三角函数中
得到：即中间的一个是相邻两个的乘积，如
sinα＝cosα·tanα，
cosα=sinα·cotα，
tanα＝sinα·secα
等等．而我们常用的是前两个．
第四个层次，同角公式的简单应用．
这几个例题主要是练习公式的应用，注意什么情况下是一组解，什
么情况下是两组解，什么情况下是四组解(即两种形式)，使学生能准确、
灵活的应用公式．
教学过程中，主要是想通过教师的启发，发挥学生的主体作用，在
学生已有知识的基础上，探求、发现新的知识，而不简单地把知识结果
向学生灌输．从而使学生在探求新知识的过程中体会到发现的乐趣，进
而培养学生的创新精神．
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