子集、交集、并集、补集
一、素质教育目标
(一)知识教学点
1．区间概念及记号．
2．子集、包含、真子集概念．
3．空集、全集概念．
4．集合的交集、并集、补集运算及性质．
(二)能力训练点
1．理解子集、真子集概念，了解包含、空集、全集等概念及通俗的含义．
2．理解并掌握集合的交、并补运算定义及有关的性质，并能应用它解题．
(三)德育渗透点
1．通过阐明子集、交集、并集、补集等概念分别是生活中的部分、公共部分、
合并、其余(或剩下)概念在集合中的反映，使学生明白数学的抽象定义是以其实
际问题为背景．
2．通过例题及练习让学生了解到子集、母集、空集、全集的概念是相对于所
研究的问题，培养学生的辩证思维．
二、教学重点、难点和疑点
1．教学重点：理解有关概念的通俗含意及韦思图，并能应用到实际问题中．
2．教学难点：掌握用描述法给定的集合的运算．
3．教学疑点：
(1)真正领会子集与部分，交集与公共部分，并集与合并，补集与剩下概念
之间的联系与区别．
(3)正确区分属于与包含的概念．
三、课时安排
本课题安排3课时．
四、教与学过程设计
第一课时
师：集合是整体概念在数学中的反映．整体相对的是部分，将它引伸
到集合便是下面学习的子集(宣布课题)．
1．区间
师：我们给某些集合定义如下：
设a＜b，称集合{x|a＜x＜b}为开区间(a，b)，称集合{x|a≤x＜b}为半开
区间[a，b)，称集合{x|a≤x≤b}为闭区间[a，b]，试问记号[2，3)表示什么集
合？
生：半开区间集合{x|2≤x＜3}．
2．子集、包含
师：我们来观察下面几对集合．
(部分)，(整体)
自然数集N， 整数集Z
区间(2，3)， 区间(0，4)
集{x|x＞3}， 集{x|2x-1＞1}
不难看到，每对集合中，前者是后者(整体)的部分．将它引伸到一般情形，
我们定义：
若集A的任一元素都是集B的元素，则称集A是集B的子集；
读作“A”包含于“B”(或“B”，包含“A”)．
这里，A为子集，B称为母集．
读作A不包含于B．
提问：
(1)下列二对集合中前者是后者的子集吗？为什么？
{直角三角形}， {三角形}
{1，2} {1，3，5}
(2)试给出子集的一个实例．
生：(略)
师：应注意！
集相等；但部分不能等于整体．
3．真子集．
师：前面我们已看到A是B子集不排除A是B本身，若要求排除这种情形，
则需引进如下概念．
试问，{x|x=2n-5 n∈N}与{x|x=2n+1，n∈N}有什么关系？
师：我们思考下面二个问题．
(1)设 A={-1，2}，B={-1，0，25}，C={-1，0，2，3}，则A与B之间，B
与C之间及A与C之间有什么关系？
师：上面二个问题反映了集合包含的二个性质．
4．相等
师：数量间有相等概念，移植到集合中来定义如下．
如{x|x-3＞1}={x|x＞4}
{x|x2+3x+2=0｝={-1，-1}．
试问，下面集合中，哪两个是相等？
A={x|x＜2}，B={x|4-3x＞2}．
C={x|(x2-11)(x-2)}＜0．
生：A=C．
5．空集、全集
师：为了应用上方便，我们引进空集与全集的概念．
(2)在所研究问题中，一切对象所组成的集合称为全集，记作 I．
例如，集{x|x+1=x-3}，{大于0的负整数}，{身高 10米的人}均为空集．
又如，在三角形问题中，I={三角形}，在求解不等式问题中，I=R．在解方
程中，全集可以是整数集，可以是实数集，或复数集．
注意！{0}不是空集．
6．课堂练习
P．9中4、5、6．
补充：
(1)写出{0，1}的所有子集．真子集．
五、作业(略)
六、板书设计
七、参考资料
《代数上册》教学参考书
第二课时
一、教与学过程设计
师：生活中我们已有公共部分概念，将它引伸到集合中就是下面要学习的
交集(宣布课题)．
1．交集概念
师：首先观察实例(幻灯配合)．
(1)设有集合A={x|(x-1)(x+2)(x-4)=0}B={x|(x+5)(x-1)(x-4)=0｝，试问
A与B的公共元素是什么？A与B公共元素组成的集合是什么？
生：因为，A={1，-2，4}，B={-5，1，4}．显然，其公共元素为1，4．A
与B公共元素组成的集合为{1，4}．
(2)设有集合A={6的正约数}，B={10的正约数}，试问A与B公共元素是什
么？ A与 B公共元素组成的集合是什么？
生：A={1，2，3，6}，B={1，2，5，10}．显然，其公共元素为1，2．A与
B公共元素组成的集合为{1，2}．
(3)设 A={高一(3)班数学成绩90分以上学生}，B={高一(3)班英语成绩90
分以上学生}，A与B公共元素集合是什么？
生：A与B公共元素集合为{高一(3)班，数学、英语成绩均为 90分以上的学
生}．
师：将上述三个例子推广到一般情形，可定义如下．
将既属于A，又属于B的元素x组成的集合称为A与B的交集，用集合语言
表述为：
4∩B={x|x∈A，且 x∈B}．
其几何含义的用韦思图表示为
2．性质
(1)师：x∈A∩B，根据交集的定义，试问x∈A，x∈B吗？
生：必有x∈A，且 x∈B．
师：这表明
(2)师：若在性质(1)中取 B=A会有什么结果呢？
A∩A=A．
生：x与B关系为x∈B．
生：A∩B=A．
3．例举
例1 设有A={1，3，5，7}，B={-2，3，4，7}，试问：
(1)A∩B=？
解：(1)A∩B={3，7}．
例2 设A={x|x＞1}，B={x|x+1＜4}求 A∩B=？
解：解集B的不等式有B={x|x＜3}，将集A与B在数轴上表示出来．
从数轴上不难看出
A∩B={x|1＜x＜3}．
例3 设A={(x，y)|x+4y=9}，B={(x，y)|3x+2y=7}，求A∩B=？
解：A∩B的元素就是集A与B方程组成的方程组的解．
例4 已知 S={x|2x2-px+q=0}，T={x|6x2+(p-12)x+q+5=0}，且S∩T=
由此，集 S方程 2·x2+7x-4=0．
集 T方程为
6x2-5x+1=0．
4．练习
P．9中 7、8、9、10．
补充：已知A={2，3，a2+4a+2}，B={0，7，a2+4a-2，2-a}且
A∩B={3，7}，求B．
解：∵A∩B={3，7}，3∈A，
则 a2+4a+2=7
解得 a=1或=-5．
但a=-5时，2-a=7，B中有二个相同元素 7，不合题均应舍去．所以a=1．
二、作业(略)
三、板书设计
第三课时
一、教与学过程设计
师：生活中，我们常见到‘合并’、‘剩下’概念，将它引伸到集合中，就
是下面要学习的‘并集’、‘补集’的概念．
1．并集概念
概念
师：首先观察实例(幻灯配合)．
(1)设有集合A={x|x2-4=0}，B={x|x2-1=0}，试写出集A与B的元素．将这
两集合的所有元素合并起来组成的集合是什么？
生：集A={2，-2}，集B={1，-1}，它们合并起来的集合为{1，-1，2，-
2}．
(2)设有区间A[-1，2]，区间[0，5]，若将区间A与B合并起来会得到什么
区间？
生：将区间A、B在数轴上表示出来．
显然，合并起来的区间是[-1，5]．
师：将上述二实例推广到一般情形，可定义如下．
将属于集A或集B的元素合并起来组成的集合称为A、B并集，用集合语言
表述为
A∪B={x|x∈A，或x∈B}记作A∪B．
其几何意义用韦思图表示为：
性质
(1)师：若x∈A，那么x与A∪B是什么关系？类似地，若x∈B，那么x与
A∪B是什么关系？
生：因 A∪B是由 A的元素与B的元素合并而成的集合，故必有：
若x∈A则x∈A∪B，若x∈B则x∈A∪B．
师：可见
与集B元素合并起来形成的集合．
(3)让学生用韦思图验证如下性质．
注意！(1)公共元素在A∪B中只能出现一次．
(2){1，2，3，4}≠{1，2，}∪{2，3}，前者多了元素4．
又{2，3}≠{1，2}∪{2，3}，前者缺少元素1．
例举：
例1 求(-1，2)∪(0，4)=？
(-1，2)∩(0，4)=？
解：将区间(-1，2)与(0，4)在数轴上表示出来．
由图不难看到
(-1，2)∪(0，4)=(-1，4)
(-1，2)∩(0，4)=(0，2)
例 2 {锐角△}∪{钝角△}=？
{锐角△}∩{钝角△}=？
解：任意三角形分为三类：锐角三角形、钝角三角形及直角三角形，其中非
直角三角形又总称为斜三角形，故
{锐角△}∪{钝角△}={斜△}
例 3 {x|(x2-1)(x2+x-6)=0}=？
解：{x|(x2-1)(x2+x-6)=0}
={x|x2-1=0}∪{x|x2+x-6)=0}
={+1，-1}∪{-3，2}
={+1，-1，-3，2}
例 4 设有集合A={x|x＞a}，B={x|5＜x＜6}
(2)a为何值时，A∪B=A．
解：集A、B在数轴的示意图为
(2)因 A∪B=A的条件是，B在A内部，因此，a应在5的左边，即 a≤5．
2．补集概念
(1)概念
师：观察实例(幻灯配合)
设 I={高一(3)班学生}，A={高一(3)班男生}，试问：I中除集A元素外，
剩下的元素是什么？
生：剩下的元素为高一(3)班的女生．
师：此时，我们称{高一(3)班女生}为A的补集．
一般地，A的补集定义为
性质：
师：(1)观察韦思图
(2)观察韦思图
生：因为集B的元素可分为两部分，一部分在集A内，另一部分在
例举：
例1 设 I={三角形}，A={斜三角形}
例2 I={-1，0，3，4，5，6}，A={0，3，6}
3．练习
(P．14中)题 1～题10．
二、作业
(略)
三、板书设计
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