0 0 类别 : 教案

对数函数 教学目标 1．使学生掌握对数函数的定义，会画对数函数的图象，掌握对数函数的性 质． 2．通过对数函数与指数函数互为反函数的教学，学生进一步加深对反函数 概念及函数和反函数图象间的关系的认识与理解． 3．通过比较、对照的方法，学生更好地掌握两个函数的定义、图象及性质， 认识两个函数的内在联系，提高学生对函数思想方法的认识和应用意识． 教学重点与难点 教学重点是对数函数的定义、图象及性质．难点是由对数函数与指数函数互 为反函数这一关系，利用指数函数图象及性质得到对数函数的图象及性质． 教学过程设计 师：在新课开始前，我们先复习一些有关概念．什么叫对数？ 生：若ab=N，则数b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b．其中a为底数， N是真数． 师：各个字母的取值范围呢？ 生：a＞0巳a≠1；N＞0；b∈R， 师：这个定义也为我们提供了指数式化对数式，对数式化指数式的方法． 请将bp=M化成对数式． 生：bp=M化为对数式是logbM=p． 师：请将logca=q化为指数式． 生：logca=q化为指数式是cq=a． 师；什么是指数函数？它有哪些性质？ （生回答指数函数定义及性质．） 师：请大家回忆如何求一个函数的反函数？ 生：（1）先求原来函数的定义域和值域；（2）把函数式y=f（x） x与之对应，此反函数可记作x=f-1（y）；（3）把x=f-1（y）改写成y=f- 1（x），并写出反函数的定义域． 师：好．为什么求一个函数的反函数时，要先求出这个函数的定义域和值 域呢？ 生：求原来函数的定义域是为了求原来函数的值域，而原来函数的值域就 是其反函数的定义域． 师：很好．原来函数的定义域和值域，就是其反函数的值域和定义域．根 据前面复习的求反函数的方法，请同学们求函数y=ax（a＞0，a≠1）的反函数． 生：函数y=ax（a＞0，a≠1）的定义域x∈R，值域y∈（0，+∞）．将指 数式y=ax化为对数式x=logay，所以函数y=ax（a＞0，a≠1）的反函数为 y=logax（x＞0）． 师：今天这节课我们介绍一下新的函数——对数函数，它是指数函数的反 函数． 定义 函数y=logax（a＞0，a≠1）叫做对数函数． 因为对数函数y=logax是指数函数y=ax的反函数，所以要说明以下两点： （1）对于底数a，同样必须满足a＞0且a≠1的条件． （2）指数函数的定义域为R，值域为R+．根据反函数性质可知：对数函数 的定义域为R+，值域为R． 同指数函数一样，在学习了函数定义之后，我们要画函数的图象．应该如 何画对数函数的图象呢？ 生：用描点法画图． 师：对．我们每学习一种新的函数都可以根据函数的解析式，列表、描点画 图．再考虑一下，我们还可以用什么方法画出对数函数的图象呢？ 生：因为对数函数是指数函数的反函数，所以它们的图象关于直线y=x对 称．因此，只要画出指数函数的图象，就可利用图象的对称性画出对数函数的 图象． 师：非常好．我们画对数函数图象，即可用描点法，也可用图象变换法． 下边我们就利用这两种方法画对数函数图象． 方法一 （描点法） 首先列出x，y值的对应表．因为对数函数的定义域为x＞0，因此可取 x=1，2，3，4，…，请计算对应的y值． 生：y=log21=0，y=log22=1，y=log23=1.59，y=log24=2． 师：我们在分析对数函数值域时知y∈R．由上面所说的x值计算 x … 1 2 3 4 … y=log2x … -3 -2 -1 0 1 1.59 2 … x … 1 2 3 10 … y=lgx … -1 -0.70 0 0.30 0.48 1 … x … 1 2 3 4 … … 3 2 1 0 -1 -1.59 -2 … 方法二 （图象变换法） 师：我们讲函数与其反函数的图象关系时，说明了 点（a，b）关于直线y=x的对称点的坐标是什么？ 生：是点（b，a）． 关于直线y=x的对称点为（b，a）的方法描点，即可画出y=log2x，y=lgx， 师：由于对数函数是指数函数的反函数，指数函数图象分a＞1和0＜a＜1 两类，因此对数函数图象也分a＞1和0＜a＜1两类．现在我们观察对数函数图 象，并对照指数函数性质来分析对数函数的性质． 生：对数函数的图象都在y轴右侧，说明x＞0． 生：函数图象都过（1，0）点，说明x=1时，y=0． 师：对．这从直观上体现了对数式的真数大于0且1的对数是0的事实． 请继续分析． 生：当底数是2和10时，若x＞1，则y＞0，若x＜1，则y＜ 师：对．由此可归纳得到：当底数a＞1时，若x＞1，则y＞0；若0＜x＜ 1，则y＜0，反之亦然．当底数0＜a＜1时，看 x＞1，则y＜0；若0＜x＜1， 则y＞0，反之亦然．这体现了真数的取值范围与对数的正负性之间的紧密联系． 再继续分析． 生：当底数a＞1时，对数函数在（0，+∞）上递增；当底数0＜a＜1时， 对数函数在（0，+∞）上递减． 师：好．下边我们看一下指数函数与对数函数性质对照表． 名 称 指 数 函 数 对 数 函 数 解析式 y=ax（a＞0，a≠1） y=logax（a＞0，a≠1） 定义域 （-∞，+∞） （0，+∞） 值 域 （0，+∞） （-∞，+∞） 函数值 变化情 况 当a＞1时， 当a＞1时， 当0＜a＜1时， 当0＜a＜1时， 单调性 当a＞1时，ax是增函 数； 当a＞1时，logax是 增函数； 当0＜a＜1时，ax是减 函数 当0＜a＜1时，logax 是减函数． 图象 y=ax的图象与y=logax的图象关于直线y=x对称 师：今天我们所要讲的有关概念就讲完了，现在我们通过例题进一步巩固 理解这些概念． 例 2 求下列函数的定义域： 生：（1）因为x2＞0，所以x≠0，即y=logax2的定义域是（-∞， 0）∪（0，+∞）． 生：（2）因为4-x＞0，所以x＜4，即y=loga（4-x）的定义域是（-∞， 4）． 师：在这个函数的解析式中，不仅有对数式，还有二次根式，因此要求定 义域，既要真数大于0，还要被开方数大于或等于0，从而得到不等式组，这个 不等式组如何解，问题出在log0.5（3x-1）≥0上，怎么办？ 生：把0看作log0.51，即log0.5（3x-1）≥log0.51，因为0＜0.5＜1，所以 此函数是减函数，所以 3x-1≤1． 师：对．他是利用了对数函数的单调性．还有别的说法吗？ 生：因为底数0＜0.5＜1，而log0.5（3x-1）≥0，所以 3x-1≤1． 师：对．他是利用了对数函数的第三条性质，根据函数值的范围，判断了 真数的范围，因此只要解0＜3x-1≤1，即可得出函数定义域． 例 3 比较下列各组中两个数的大小： （1）log23和 log23.5；（2）log0.71.6和log0.71.8． 师：请同学们观察这两组数中两个数的特征，想一想应如何比较这两个数 的大小． 生：这两组数都是对数．每组中的对数式的底数相同，而真数不同，因此 可根据函数y=log2x是增函数的性质来比较它们的大小． 师：对．针对（1）中两个数的底数都是2，我们构造函数y=log2x，利用 这个函数在（0，+∞）是单调递增的，通过比较真数的大小来决定对数的大小． 请一名同学写出解题过程． 生：（板书） 解：因为函数y=log2x在（0，+∞）上是增函数，又因0＜3＜3.5，所以 log23＜log23.5． 师：好．请同学简答（2）中两个数的比较过程．并说明理由． 生：因为函数y=log0.7x在（0，+∞）上是减函数，又因0＜1.6＜1.8，所 以 log0.71.6＞log0.71.8． 师：对．上述方法仍是采用“函数法”比较两个数的大小．当两个对数式 的底数相同时，我们构造对数函数．对于a＞1的对数函数在定义域内是增函数； 对于0＜a＜1的对数函数在定义域内是减函数．只要比较真数的大小，即可得 到函数值的大小． 例 4 比较下列各组中两个数的大小： （1）log0.34和 log0.20.7；（2）log23和 log32． 师：这两组数都是对数，但它们的底数与真数都不相同，不便于利用对数 函数的单调性比较它们的大小．请大家仔细观察各组中两个数的特点，判断出 它们的大小． 生：在log0.34中，因为底数0＜0.3＜1，且4＞1，所以log0.34＜0；在 log0.20.7中，因为0＜0.2＜1，且0.7＜1，所以log0.20.7＞0，故 log0.34＜ log0.20.7． 师：很好．根据对数函数性质，当底数0＜a＜1时，若x＞1，则y＜0；若 0＜x＜1，则y＞0．由此可以判定这两个数中，一个比零大，另一个比零小， 从而比较出两个数的大小，这是采用了“中间量法”．请比较第（2）组两个数 的大小． 生：在log23中，底数2＞1，真数3＞1，所以log23＞0；在log32中，底 数3＞1，真数2＞1，所以log32＞0，… 师：根据对数性质可判断：log23和 log32都比零大．怎么办？ 生：因为log23＞1，log32＜1，所以log23＞log32． 师：很好．这是根据对数函数的单调性得到的，事实上，log23＞ log22=1，log32＜log33=1，这里利用了底数的对数为1，即log22=log33=1，从 而判断出一个数大于1，而另一个数小于1，由此比较出两个数的大小． 请同学们口答下列问题： 练习 1 求下列函数的反函数： （1）y=3x（x∈R）； （2）y=0.7x（x∈R）； （3）y=log5x（x＞0）； （4）y=log0.6x（x＞0）． 生：y=3x（x∈R）的反函数是y=log3x（x＞0）． 生：y=0.7x（x∈R）的反函数是y=log0.7x（x＞0）． 生：y=log5x（x＞0）的反函数是y=5x（x∈R）． 生：y=log0.6x（x＞0）的反函数是y=0.6x（x∈R）． 练习 2 指出下列各对数中，哪个大于零？哪个小于零？哪个等于零？并 简述理由． 生：在log50.1中，因为5＞1，0.1＜1，所以log50.1＜0． 生：在log27中，因为2＞1，7＞1，所以log27＞0． 生：在log0.60.1中，因为0.6＜1，0.1＜1，所以log0.60.1＞0． 生：在log0.43中，因为0.4＜1，3＞1，所以log0.43＜0． 练习 3 用“＜”号连接下列各数： 0.32，log20.3，20.3． 生：由指数函数性质可知0＜0.32＜1，20.3＞1，由对数函数性质可知 log20.3＜0，所以log20.3＜0.32＜20.3． 师：现在我们将这节课的内容小结一下，本节课我们介绍了对数函数的定 义、图象及性质，请同学回答对数函数的定义及性质． 生：（复述）…… 师：对数函数的定义，我们是通过求指数函数的反函数而得到的，从而揭 示了指数函数与对数函数之间的内在联系，对于对数函数的图象及性质，都可 以利用指数函数的图象及性质得到．对于对数函数的性质，可以利用对数函数 图象记忆，也可以对照指数函数的性质记忆． 对于函数的定义域，除了原来要求的分母不能为0及偶次根式中被开方式 大于或等于0以外，还应要求对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1．如 果函数中同时出现几种情况，就要全部考虑进去，求它们共同作用的结果． 例 3、例 4都是利用对数函数的性质，通过“函数法”和“中间量法”比较 两个数大小的典型例子． 作业：课本P94练习第 1，2，3题． 师：作业题 1是作图题，画法有两种，可任选其中一种画法．然后由所画 出的五个函数图象进行对比分析，思考两个或两个以上对数函数图象的特征， 下节课我们共同讨论． （答案： （1）底数是互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称． （2）当底数a＞1时，底数越大的越接近 x轴；当底数0＜a＜1时，底数 越小的越接近 x轴．） 补充题 1．求下列函数的定义域： （x- 1）2． 2．比较下列各题中两个数值的大小： （1）log30.7和 log0.20.5； （2）log0.64和 log7.11.2； （3）log0.50.6和log0.60.5； （4）log25和 log34． （答案：1．（1）（-∞，-2）∪（3，+∞）；（2）[2，+∞）；（3）（- 1，0）∪（0，1）∪（1，+∞）． 2．（1）＜；（2）＜；（3）＜，提示：两个数与1比较；（4）＞，提示： 两个数与2比较．） 3．（选作）已知函数f（x）=log2（kx2-2x+k）的定义域是一切正实数， 求 k的取值范围． 课堂教学设计说明 1．本节新课的开始是由求指数函数的反函数引入对数函数的，因此在讲授 对数函数的定义、图象及性质时，要处处与指数函数对照着讲解，既可揭示指数 函数与对数函数之间的内在联系．又可以旧带新，便于学生记忆掌握． 2．课本是根据互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称的性 用这种对称变换的方法画函数图象，可以加深和巩固学生对互为反函数的 两个函数之间的关系的认识，便于将对数函数的图象和性质与指数函数的图象 和性质对照．但使用描点法画函数图象更为方便．两种画法可同时进行．分析 画法之后，可以让学生自由选择画法，也可以安排某几行同学用描点法，另外 几行同学用图象的对称变换画图．在黑板上让两名学生同时各用一种方法画出 图象，或让学生用投影片用不同的方法画出图来，在投影仪上展示给大家看． 总之，根据时间，能够把两种画法展示给学生更好． 3．为了加大课堂密度，提高45分钟课堂效率，可采用投影仪或电脑等现 代化教学手段，充分利用时间，但不能用它代替学生的思维过程，要让学生有 动脑、动口、动手的机会，突出学生参与过程． 4．要了解自己学生的程度，根据不同层次的教学对象制定教学方案，选择 不同程度的例题和习题，注意不要让学生吃不饱，也不要太撑，要适量．