第六章 数列、极限、数学归
纳法
壹 数 列
6、 1 数列
1， 2， 3， 4， 5， ··· n，
··· .（ 1） 1， ， ， ， ， ··· ， ··· .
（ 2） n
1
2
1
3
1
4
1
5
1
1， 1.4， 1.41， 1.414， ··· .
（ 3） 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10.
（ 4）
－ 1， 1，－ 1， 1， ··· .
（ 5）1， 1， 1， 1， ··· .
（ 6）
41421.12
定义
： 按一定顺序排列的一列数叫数列。 按一定顺序排列的一列数叫 。
数列中的每一个数叫做这个数列的
项。
各项依次叫做这个数列的第 1项（首
项），第 2项， ······，第 n项，
······。
根据数列的定义知数列是按一定
顺序排列的一列数，因此若数列中被排列
的数相同，但次序不同，则不是同一数列
。如： 数列
（ 4） 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10。改为
数列
（ 4’） 10， 9， 8， 7， 6， 5， 4。
它们不是同一数列。又如：数列（ 5）－ 1， 1，－1， 1， ···。改为
数列（ 5’） 1，－ 1， 1，
－ 1， ···。
则它们也不是同一数列。
数列中的每一个数都
对应着一个序号，反过来，每个
序号也都对应着一个数。如数列
（ 4）
项 4 5 6 7 8 9
10
序号 1 2 3 4 5 6 7
这说明：数列的项是
序号的函数，序号从 1开始依次
增加时，对应的函数值按次序排
出就是数列，这就是数列的实质
。
数列的一般形式可以写成：
,,,,, 321 naaaa
如数列（ 2）
,1,,3
1,2
1,1 n 可简记为
n
1
其中 是数列的第 n项，上面的数列又可
简记为
nana
如数列（ 1）
1， 2， 3， 4， 5， ··· ···可简
记为
nn
nan 如数列
（ 1）
nan
1 如数列
（ 2）
)7(3 nnan如数列
（ 4）
如果数列
的第 项 与 之间
的函数关系可以用一个公式来
表示，这个公式就叫做这个数
列的通项公式。
na nann
一个数列，它的项数可以是有限的也可
以是无限的，根据数列的项数是有限的
还是无限的，数列又分为有穷数列和无
穷数列。我们规定：
项数有限的数列叫做有穷数列
项数无限的数列叫做无穷数列
如数列（ 4）是有穷数列
如数列（ 1）、（ 2）、（ 3）、
（ 5）、（ 6）都是无穷数列。
O 1 2 3 4 5 6 7
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
na
n
数列
（ 4）
用图象
表示：
哇！图象也
可以是一些
点呀！
1 O 1 2 3 4 5 6 7 n
2
1
4
1
8
1
na
数列
（ 2）用
图象表
示
（ 1
）
（ 2
）1
n
nan na nn 1
na 例 1 根据下面数
列 的通项公式，写出
它的前 5项：
解：（ 1）在通项公式中依次取 n
=1， 2，
3， 4， 5，得到数列 的前 5项
为
na
.6
5,5
4,4
3,3
2,2
1
（ 2）在通项公式中依次取
n=1， 2， 3， 4， 5，得么数列
的前 5项为
na
－ 1， 2， － 3， 4， － 5.
例 2 写出数列的一个
通项公式，使它的前 4项分别是下
列各数：
（ 1） 1， 3， 5， 7；
解：此数列的前四项
1， 3， 5， 7都是序号的 2倍减
去 1，所以通项公式是：
12 nan
（ 2
）
;5
15,4
14,3
13,2
12 2222
解：此数列的前四项的
分母都是序号加 1，分子都是分母
的平方减去 1，所以通项公式是：
1
2
1
11 2
n
nn
n
nan
（ 3
）
.54
1,43
1,32
1,21
1
解：此数列的前 4项的绝
对值都等于序号与序号加上 1的积的
倒数，且奇数项为负，偶数项为正，
所以通项公式是：
1
1
nna
n
n
练习：
1、 2、 3、 4， 5。
思考题：
1、 写出下列数列的一个通项
公式：
（ 1）、 1，－ 1， 1，－
1；
（ 2）、 2， 0， 2， 0；
（ 3）、 9， 99， 999， 9999；
（ 4）、 0.9， 0.99， 0.999， 0.9999
。
答案：
（ 1）
（ 2）
（ 3）
（ 4）
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
101
110
11
1
1
1
思考题：
2、数列
2， 4， 8， 16···的通项
公式一定是
吗？
n
na 2
小结：
本节课学习的主要内
容有：
1、数列的定义；
2、数列的通项公
式；
3、数列的实质；
4、数列通项公式
的求法等。
1
2
3
4
作业：
P46 习题十七
1、 2。
本 节 课 到 此
结 束
谢 谢 大
家！
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