0 0 类别 : 其他

xAO Q P B y 动点问题 题型方法归纳 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特 殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中， 特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的 特殊位置。） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊 性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。 下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以 点拨。 一、三角形边上动点 1.（2009年齐齐哈尔市）直线 3 64y x   与坐标轴分 别交于 A B、 两点，动点 P Q、 同时从O点出发，同时 到达 A点，运动停止．点Q沿线段OA 运动，速度为 每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→ A运动． （1）直接写出 A B、 两点的坐标； （2）设点Q的运动时间为 t秒， OPQ△ 的面积为 S ， 求出 S 与 t之间的函数关系式； （3）当 485S  时，求出点 P的坐标，并直接写出以点 O P Q、、 为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标． 提示：第（2）问按点P到拐点B所有时间分段分类； 第（3）问是分类讨论：已知三定点O、P、Q ，探究 第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分 类-----①OP为边、OQ为边，②OP为边、OQ为对角 线，③OP为对角线、OQ为边。然后画出各类的图形， 根据图形性质求顶点坐标。 2.（2009年衡阳市） 如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm， ∠ABC=60º． （1）求⊙O的直径； （2）若D是AB延长线上一点，连结 CD，当 BD长为多少时， CD与⊙O相切； （3）若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着AB方向运动， 同时动点 F以 1cm/s的速度从 B点出发沿 BC方向运动，设 运动时间为 )20)((  tst ，连结EF，当 t 为何值时， △BEF为直角三角形． 注意：第（3）问按直角位置分类讨论 1 xy M CD P QO A B 3.（2009重庆綦江）如图，已知抛物线 ( 1)2 3 3( 0)y a x a    经过点 ( 2 )A  ，0 ，抛 物 线的顶点为D，过O作射线OM AD∥ ．过顶点D平 行于 x轴的直线交射线OM 于点C ，B在 x轴正半轴上， 连结BC． （1）求该抛物线的解析式； （2）若动点 P从点O出发，以每秒 1个长度单位的速度 沿射线OM 运动，设点 P运动的时间为 ( )t s ．问当 t为 何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？ 等腰梯形？ （3）若OC OB ，动点 P和动点Q分别从点O和点 B同时出发，分别以每秒 1个长度单位和 2个长度单位的 速度沿OC 和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个 点也随之停止运动．设它们的运动的时间为 t ( )s ，连接 PQ，当 t为何值时，四边形 BCPQ的面积最小？并求 出最小值及此时PQ的长． 注意：发现并充分运用特殊角∠DAB=60° 当△OPQ面积最 大时，四边形BCPQ的面积最小。 2、 特殊四边形边上动点 4、（2009年吉林省）如图所示，菱形 ABCD的边长为6 厘米， 60B  °．从初始时刻开始，点 P、Q同时从 A点出发，点 P以 1厘米/秒的速度沿 A C B  的 方 向 运 动 ， 点 Q以 2 厘 米 / 秒 的 速 度 沿 A B C D   的方向运动，当点Q运动到D点时， P、Q两点同时停止运动，设P、Q运动的时间为 x秒时， APQ△ 与 ABC△ 重叠部分的面积为 y 平方厘米（这 里规定：点和线段是面积为O的三角形），解答下列问题： 2 O M BHA C x y 图 （ 1 ） O M BHA C x y 图 （ 2） P QA B CD （1）点P、Q从出发到相遇所用时间是 秒； （2）点P、Q从开始运动到停止的过程中，当 APQ△ 是等边三角形时 x的值是 秒； （3）求 y 与 x之间的函数关系式． 提示：第(3)问按点 Q 到 拐 点 时 间 B、C 所有时间分段分 类 ； 提 醒----- 高相等的两个三角形面积比等于底边的比 。 5.（2009 年哈尔滨）如图 1，在平面直角坐标系中，点 O 是坐标原点，四边形 ABCO 是菱形，点 A 的坐标为（ 3 ， 4），点C在 x轴的正半轴上，直线 AC交 y轴于点 M，AB边 交 y轴于点 H． （1）求直线AC的解析式； （2）连接 BM，如图2，动点 P从点 A出发，沿折线 ABC方 向以2个单位／秒的速度向终点 C匀速运动，设△PMB的面 积为 S（ 0S  ），点P的运动时间为 t秒，求 S与 t之间 的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）； （3）在（2）的条件下，当 t为何值时，∠MPB与∠BCO互 为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值． 注意：第（2）问 按点 P 到拐点 B 所用时间分段分类； 第（3）问发现∠MBC=90°，∠BCO与∠ABM 互余，画出点P运动过程中， ∠MPB=∠ABM的两种情况，求出 t值。 利用OB⊥AC,再求OP与 AC夹角正切值. 3 6.(2009 年温州)如图，在平面直角坐标系中，点 A( 3 ，0)，B(3 3 ，2)，C（0，2)．动点D以每秒1个单位的 速度从点 0出发沿 OC向终点 C运动，同时动点 E以每秒 2 个单位的速度从点 A出发沿AB向终点B运动．过点 E作 EF 上 AB，交BC于点F，连结DA、DF．设运动时间为 t秒． (1)求∠ABC的度数； (2)当 t为何值时，AB∥DF； (3)设四边形AEFD的面积为 S． ①求 S关于 t的函数关系式； ②若一抛物线 y=x2+mx经过动点 E，当 S<2 3 时，求m的 取值范围(写出答案即可)． 注 意 ： 发现特殊 性，DE∥OA 7、（07黄冈）已知：如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABCO是菱形，且 ∠AOC=60°，点 B的坐标是 (0,8 3)，点 P从点 C开始以 每秒1个单位长度的速度在线段 CB上向点 B移动，同时， 点Q从点 O开始以每秒 a（1≤a≤3）个单位长度的速度沿 射线OA方向移动，设 (0 8)t t  秒后，直线 PQ交 OB于 点D. （1）求∠AOB的度数及线段OA的长； （2）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式； （3）当 43, 33a OD  时，求 t的值及此时直线 PQ 的解析式； （4）当 a为何值时，以 O，P，Q，D 为顶点的三角形与 OAB 相似？当 a 为何值时，以O，P，Q，D为顶点的三 角形与 OAB 不相似？请给出你的结论，并加以证明. 4 8、（08 黄冈）已知：如图，在直角梯形 COAB中， OC AB∥ ，以 O为原点建立平面直角坐标系， A B C，， 三 点 的 坐 标 分 别 为 (8 0) (810) (0 4)A B C，，，，， ，点D为线段 BC的中点， 动点 P从点O出发，以每秒 1 个单位的速度，沿折线 OABD 的路线移动，移动的时间为 t秒． （1）求直线BC的解析式； （2）若动点 P在线段OA上移动，当 t为何值时，四边 形OPDC 的面积是梯形COAB面积的 27 ？ （3）动点 P从点O出发，沿折线OABD 的路线移动过 程中，设 OPD△ 的面积为 S ，请直接写出 S 与 t的函 数关系式，并指出自变量 t的取值范围； （4）当动点 P在线段 AB上移动时，能否在线段OA上 找到一点Q，使四边形CQPD为矩形？请求出此时动点 P的坐标；若不能，请说明理由． 9、(09 年黄冈市)如图,在平面直角坐标系 xoy中,抛物线 21 4 1018 9y x x   与 x轴的交点为点A,与 y轴的交点 为点 B. 过点 B作 x轴的平行线 BC,交抛物线于点 C,连结 AC．现有两动点 P,Q分别从 O,C两点同时出发,点P以每秒 4个单位的速度沿OA向终点A移动,点Q以每秒1个单位的 速度沿CB向点 B移动,点P停止运动时,点Q也同时停止运 动,线段 OC,PQ 相交于点 D,过点 D作 DE∥OA,交 CA于点 E, 射线 QE 交 x轴于点 F．设动点 P,Q移动的时间为 t(单位: 秒) (1)求 A,B,C三点的坐标和抛物线的顶点的坐标; (2)当 t为何值时,四边形 PQCA 为平行四边形?请写出计算 过程; (3)当 0＜t＜ 92 时,△PQF的面积是否总为定值?若是,求出 此定值, 若不是,请说明理由; (4)当 t为何值时,△PQF为等腰三角形?请写出解答过程． 提示：第（3）问用相似比的代换， 得 PF=OA（定值）。 第（4）问按哪两边相等分类讨论 ①PQ=PF,②PQ=FQ,③QF=PF. 5 A B D C O P x y A B D C O x y （ 此 题 备 用） yO x C N B P MA 3、 直线上动点 8 、 （ 2009 年 湖 南 长 沙 ） 如 图 ， 二 次 函 数 2y ax bx c   （ 0a  ）的图象与 x轴交于 A B、 两点，与 y 轴相交于点C ．连结 AC BC A C、，、 两 点的坐标分别为 ( 3 0)A  ， 、 (0 3)C ， ，且当 4x   和 2x  时二次函数的函数值 y 相等． （1）求实数a b c，， 的值； （2）若点M N、 同时从 B点出发，均以每秒 1个单位 长度的速度分别沿 BA BC、 边运动，其中一个点到达终 点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为 t秒时，连 结MN ，将 BMN△ 沿MN 翻折， B 点恰好 落在 AC 边上的P处，求 t的值及点P的坐标； （3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存 在点Q，使得以 B N Q，， 为项点的三角形与 ABC△ 相似？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说 明理由． 提示：第（2）问发现 特殊角∠CAB=30°,∠CBA=60° 特殊图形四边形BNPM为菱形； 第(3)问注意到△ABC 为直角三角形后，按直角位置 对应分类；先画出与△ABC相似的△BNQ ，再判断是 否在对称轴上。 9、（2009眉山）如图，已知直线 1 12y x  与 y 轴交于 点A，与 x轴交于点D，抛物线 212y x bx c   与直线 交于 A、E 两点，与 x轴交于 B、C 两点，且 B 点坐标为 (1，0)。 ⑴求该抛物线的解析式； ⑵动点P在 x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点 P 的坐标P。 ⑶在抛物线的对称轴上找一点 M，使 | |AM MC 的值最 大，求出点 M的坐标。 提示：第（2）问按直角位置分类讨论后画出图形----①P 为直角顶点 AE 为斜边时，以 AE 为直径画圆与 x轴交点即 为所求点P，②A为直角顶点时，过点A作AE垂线交 x轴于 点P，③E为直角顶点时，作法同②； 第（3）问，三角形两边之差小于第三边，那么等于 第三边时差值最大。 6 10、（2009年兰州）如图①，正方形 ABCD中，点A、B的坐 标分别为（0，10），（8，4）， 点 C在第一象限．动点 P在正方形 ABCD 的边上，从点 A出发沿 A→B→C→D匀速 运动，同时动点 Q以相同速度在 x轴正半轴上运动，当 P 点到达D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为 t秒． (1)当 P 点在边 AB 上运动时，点 Q 的横坐标 x（长度单 位）关于运动时间 t（秒）的函数图象如图②所示，请写 出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度； (2)求正方形边长及顶点C的坐标； (3)在（1）中当 t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时 P点的坐标； (4)如果点P、Q保持原速度不变，当点 P沿 A→B→C→D匀 速运动时，OP与 PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的 t的值；若不能，请说明理由． 注意：第 （4）问按点P分别在AB、BC、CD边上分类讨论；求 t值时， 灵活运用等腰三角形“三线合一”。 11、（2009年北京市）如图，在平面直角坐标系 xOy中， △ABC三个顶点的坐标分别为  6,0A  ，  6,0B ，  0,4 3C ，延长 AC 到点 D, 使 CD= 12 AC ,过点D作DE∥AB交 BC的延长线于点E. （1）求D点的坐标； （2）作 C点关于直线 DE的对称点F,分别连结 DF、EF，若 过 B点的直线 y kx b  将四边形 CDFE 分成周长相等的 两个四边形，确定此直线的解析式； （3）设 G为 y轴上一点，点 P从直线 y kx b  与 y轴 的交点出发，先沿 y轴到达 G点，再沿 GA 到达 A点，若 P 点在 y轴上运动的速度是它在直线 GA上运动速度的 2倍， 试确定 G点的位置，使 P 点按照上述要求到达 A点所用的 时间最短。（要求：简述确定 G点位置的方法，但不要求证 明） 提示：第（２）问，平分周长时，直线过菱形的中心； 　　　第（３）问，转化为点Ｇ到Ａ的距离加Ｇ到（２） 中直线的距离和最小；发现（２）中直线与ｘ轴夹角为６ ０°.见“最短路线问题”专题。 7 A DP CB Q 图 1 DA P CB（Q ） ） 图 2 图3 C A D P B Q 12、(2009年上海市) 已知∠ABC=90°，AB=2，BC=3，AD∥BC，P为线段BD上的 动点，点Q在射线AB上，且满足 AB AD PC PQ  （如图1所 示）． （1）当 AD=2，且点Q与点 B重合时（如图 2所示），求 线段PC的长； （2）在图 8 中，联结 AP．当 32AD  ，且点Q在线段 AB上时，设点B Q、 之间的距离为 x， APQ PBC S yS  △ △ ，其中 APQS△ 表示△APQ 的面积， PBCS△ 表示 PBC△ 的面积， 求 y 关于 x的函数解析式，并写出函数定义域； （3）当 AD AB ，且点Q在线段 AB的延长线上时 （如图3所示），求 QPC 的大小． 注意：第（2）问，求动态问题中的变量取值范围时，先动 手操作找到运动始、末两个位置变量的取值，然后再根 据运动的特点确定满足条件的变量的取值范围。当 PC⊥BD时，点Q、B重合，x获得最小值； 当P与D重合 时，x获得最大值。 第（3）问，灵活运用 SSA判定两三角形相似，即两个 锐角三角形或两个钝角三角形可用 SSA来判定两个三角 形相似；或者用同一法；或者证∠BQP＝∠BCP，得 B 、Q、C、P四点共圆也可求解。 8 A C B P Q E D 13、（08宜昌）如图，在 Rt△ABC中，AB＝AC，P是边 AB （含端点）上的动点．过 P作 BC 的垂线 PR，R为垂足， ∠PRB 的平分线与 AB 相交于点 S，在线段 RS上存在一点 T，若以线段PT为一边作正方形PTEF，其顶点E，F恰好分 别在边BC，AC上． （1）△ABC与△SBR是否相似，说明理由； （2）请你探索线段 TS与PA的长度之间的关系； （3）设边AB＝1，当 P在边AB（含端点）上运动时，请你 探索正方形PTEF的面积 y的最小值和最大值． 提示：第（3）问，关键是找到并画出满足条件时最大、最 小图形；当 p运动到使T与 R重合时，PA=TS为最大；当 P 与A重合时，PA最小。此问与上题中求取值范围类似。 14、(2009年河北)如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度 向点A匀速运动，到达点 A后立刻以原来的速度沿 AC返回； 点Q从点 A出发沿 AB以每秒 1个单位长的速度向点 B匀速 运动．伴随着 P、Q的运动，DE保持垂直平分 PQ，且交PQ 于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q 到达点 B时停止运动，点 P也随之停止．设点 P、Q运动的 时间是 t秒（t＞0）． （1）当 t = 2 时，AP = ，点 Q 到 AC 的距离是 ； （2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积 S与 t 的函数关系式；（不必写出 t的取值范围） （3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为 直角梯形？若能，求 t的值．若不能，请说明理由； （4）当DE经过点C 时，请直接写出 t的值． 提示：（３）按哪两 边平行分类，按要求画 出图形，再结合图形性质求出 t值；有二种成立的情形， 　　　ＤＥ∥ＱＢ，ＰＱ∥ＢＣ； （４）按点 P运动方向分类，按要求画出图形再结合 图形性质求出 t值；有二种情形， 　　　ＣＱ＝ＣＰ＝ＡＱ＝t时， 　　　ＱＣ＝ＰＣ＝６－ｔ时． 9 ( 第 13 题 ) T P SR E A B C F ( 第 13 题 ) T P SR E A B C F 15、（2009 年包头）已知二次函数 2y ax bx c   （ 0a  ）的图象经过点 (1 0)A ， ， (2 0)B ， ， (0 2)C ， ， 直线 x m （ 2m  ）与 x轴交于点D． （1）求二次函数的解析式； （2）在直线 x m （ 2m  ）上有一点 E（点 E在第 四象限），使得 E D B、、 为顶点的三角形与以 A O C、、 为顶点的三角形相似，求 E点坐标（用含m 的代数式表示）； （3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点 F ， 使得四边形 ABEF 为平行四边形？若存在，请求出m的 值及四边形 ABEF 的面积；若不存在，请说明理由． 提示： 第（2）问，按对应锐角不同分类讨论，有两种情形； 第（3）问，四边形ABEF为平行四边形时，E、F两点纵坐 标相等，且 AB=EF，对第（2）问中两种情形分别讨论。 4、 抛物线上动点 16、（2009 年湖北十堰市）如图①， 已知抛物线 32  bxaxy （a≠0）与 x轴交于点 A(1，0)和点 B (－3，0)，与 y轴交于点C． (1) 求抛物线的解析式； (2) 设抛物线的对称轴与 x轴交于点 M ，问在对称轴上是 否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出 所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3) 如图②，若点 E为第二象限抛物线上一动点，连接 BE、CE，求四边形 BOCE面积的最大值，并求此时 E点的坐 标． 注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由 图形性质求点 P坐标----①C为顶点时，以 C为圆心 CM为 半径画弧，与对称轴交点即为所求点 P，②M为顶点时，以 M为圆心MC为半径画弧，与对称轴交点即为所求点 P，③P 为顶点时，线段 MC的垂直平分线与对称轴交点即为所求点 P。 第（3）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最 大值（涉及二次函数最值）； 方法二，先求与 BC平行且 与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组），再 求面积。 10 Oy x B E A D C F 17、（2009年黄石市）正方形 ABCD在如图所示的平面 直角坐标系中， A在 x轴正半轴上，D在 y 轴的负半轴 上， AB交 y 轴正半轴于E BC， 交 x轴负半轴于F ， 1OE  ，抛物线 2 4y ax bx   过 A D F、、 三点． （1）求抛物线的解析式； （2）Q是抛物线上D F、 间的一点，过Q点作平行于 x轴的直线交边 AD于M ，交BC所在直线于N ，若 3 2 FQNAFQMS S △四边形 ，则判断四边形 AFQM 的形状； （3）在射线DB上是否存在动点P，在射线CB上是否 存在动点H ，使得 AP PH⊥ 且 AP PH ，若存在， 请给予严格证明，若不存在，请说明理由． 注意：第（2）问，发现并 利用好 NM∥FA且NM＝ FA; 第（3）问，将此问题分离出来单独解答，不受其它 图形的干扰。需分类讨论，先画出合适的图形，再证明。 11 “ 坐 标 几 何 题 ” （ 动 点 问 题 ） 分 析 07 08 09 动 点 个 数 两 个 一 个 两 个 问 题 背 景 特 殊 菱 形 两 边 上 移 动 特 殊 直 角 梯 形 三 边 上 移 动 抛 物 线 中 特 殊 直 角 梯 形 底 边 上 移 动 考 查 难 点 探 究 相 似 三 角 形 探 究 三 角 形 面 积 函 数 关 系 式 探 究 等 腰 三 角 形 考 点 ① 菱 形 性 质 ② 特 殊 角 三 角 函 数 ③ 求 直 线 、 抛 物 线 解 析 式 ④ 相 似 三 角 形 ⑤ 不 等 式 ① 求 直 线 解 析 式 ② 四 边 形 面 积 的 表 示 ③ 动 三 角 形 面 积 函 数 ④ 矩 形 性 质 ① 求 抛 物 线 顶 点 坐 标 ② 探 究 平 行 四 边 形 ③ 探 究 动 三 角 形 面 积 是 定 值 ④ 探 究 等 腰 三 角 形 存 在 性 特 点 ① 菱 形 是 含 60° 的 特 殊 菱 形 ； △ AOB 是 底 角 为 30° 的 等 腰 三 角 形 。 ② 一 个 动 点 速 度 是 参 数 字 母 。 ③ 探 究 相 似 三 角 形 时 ， 按 对 应 角 不 同 分 类 讨 论 ； 先 画 图 再 探 究 。 ④ 通 过 相 似 三 角 形 过 度 ， 转 化 相 似 比 得 出 方 程 。 ⑤ 利 用 a 、 t 范 围 ， 运 用 不 等式求出 a 、 t 的 值 。 ① 观 察 图 形 构 造 特 征 适 当 割 补 表 示 面 积 ② 动 点 按 到 拐 点 时 间 分 段 分 类 ③ 画 出 矩 形 必 备 条 件 的 图 形 探 究 其 存 在 性 ① 直 角 梯 形 是 特 殊 的 （ 一 底 角 是 45°） ② 点 动 带 动 线 动 ③ 线 动 中 的 特 殊 性 （ 两 个 交 点 D 、 E 是 定 点 ； 动 线 段 PF 长 度 是 定 值 ， PF=OA ） ④ 通 过 相 似 三 角 形 过 度 转 化 相 似 比 得 出 方 程 。 ⑤ 探 究 等 腰 三 角 形 时 ， 先 画 图 ， 再 探 究 （ 按 边 相 等 分 类 讨 12 论 ） 三 年 共 同 点 ： ⑤ 探 究 存 在 性 问 题 时 先 画 出 图 形 ， 再 根 据 图 形 性 质 探 究 答 案 。 大 趋 势 ： ①特殊四边形为背景； ②点动带线动得出动三角形； ③探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式）； ④求直线、抛物线解析式； 13