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http://www.ehappystudy.com 快乐学习，尽在中小学教育 关于抽象函数的一点思考 陈磊 在函数部分的综合题中我们常常遇见一类抽象函数问题。这类问题由于条件中没有给出 具体的函数解析式，而只给出该函数所具备的某些性质，所以大家求解此类问题时往往感 到很棘手。事实上，这类问题一般都是以基本初等函数作为模型，只要我们认真分析，善于 联想，挖掘出作为模型的函数，变抽象为具体，变陌生为熟知，必能为我们的解题提供思 路和方法。下面略举数例加以说明。 一、以正比例函数为模型 例 1. 已知 f（x）是定义在 R上的函数，对任意的 x、y∈R 都有 f（x+y）= f（x）+ f（y），且当 x>0时，f（x）<0，f（1）=－2。问当   3 3x 时，函数 f（x）是否存在最 大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由。 分析：我们知道，正比例函数 f x kx k( ) ( ) 0 满足 f x y f x f y( ) ( ) ( )   。根据题 设，我们可推知本题是以函数 f（x）=－2x作为模型设计的问题。于是，我们可以判定函数 f（x）的奇偶性、单调性入手来求解。 解：令 x=y=0，则 f（0+0）= f（0）+ f（0），解得 f（0）=0 又因为 f（x）+ f（－x）= f（x－x）= f（0）=0 所以 f（－x）= f（－x） 即函数 f（x）为奇函数。 设 x x R x x1 2 1 2、 ，  ，则 x x2 1 0  依题意，有 f x x( )2 1 0  f x f x f x f x f x x( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1 2 1 0       所以， f x f x( ) ( )2 1 即函数 f（x）在 R上是减函数。 因此，函数 f（x）当   3 3x 时有最大值 f（－3），且 f（－3）=－ f（3）=－[ f（1）+ f（2）]=－3 f（1）= （－3）·（－2）=6 1 http://www.ehappystudy.com 快乐学习，尽在中小学教育 二 . 以一次函数为模型 例 2. 定义在 R上的函数 f（x）满足 f x y f x f y f( ) ( ) ( ) ( )    1 12 0， ，且 x  1 2 时，f（x）<0。 （1）设a f n n Nn  ( ) ( )* ，求数列的前 n项和 Sn； （2）判断 f（x）的单调性，并证明。 分析：对于一次函数 f x kx b k( ) ( )  0 有 f x f y f x y b( ) ( ) ( )    成立。分析本 题条件可知该题是以函数 f（x）=－2x+1为模型命制的。 解：（1） f f f( )1 12 1 2 1 1            令 x=n，y=1，则 f n f n f f n( ) ( ) ( ) ( )     1 1 1 2 所以，a a an n1 11 2  ， 故数列  an 是首项为－1，公差为－2的等差数列。 因此，    S n n n nn       ·( )1 12 2 2 （2）设 x x R1 2、  ，且 x x1 2 ，则 x x2 1 0  所以 x x2 1 12 1 2   于是 f x x( )2 1 12 0   又 f x f x f x x( ) ( ) ( )2 1 2 1 1           f x x f f x x( ) ( ) ( )2 1 2 112 1 1 2 0 所以 f x f x( ) ( )2 1 ，而函数 f（x）在 R上是减函数。 三 . 以指数函数为模型 例 3. 设函数 f（x）定义在 R上，对于任意实数m、n，恒有 f m n f m f n( ) ( ) ( )  · ， 且当 x>0时，0<f（x）<1。 2 http://www.ehappystudy.com 快乐学习，尽在中小学教育 （1）求证：f（0）=1，且当 x<0时，f（x）>1； （2）求证：f（x）在 R上单调递减； （3）设集合  A x y f x f y f ( , )| ( ) ( ) ( )2 2 1· ，  B x y f ax y a R    ( , )| ( )2 1， ，若 A B∩ ，求 a的取值范围。 分析：我们知道，指数函数 满足： ① f（x+y）= f（x）·f（y）； ② f x y f xf y( ) ( ) ( )  。 分析本题条件和结论，可推知本题是以函数  f x a ax( )   0 1 为模型命制的。 解：（1）令m=1，n=0，得 f（1）= f（1）·f（0） 又当 x>0时，0< f（x）<1，所以 f（0）=1 设 x<0，则－x>0 令m=x，n=－x，则 f（0）= f（x）·f（－x） 所以 f（x）·f（－x）=1 又 0< f（－x）<1，所以 f x f x( ) ( )   1 1 （2）设 x x R1 2、  ，且 x x1 2 ，则 x x2 1 0  所以0 12 1  f x x( ) 从而 f x f x x x f x x f x( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 2 2 1 1     · 又由已知条件及（1）的结论知 f（x）>0恒成立 所以 f x f x f x x ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1  所以0 12 1  f xf x ( ) ( ) 所以 f（x2）< f（x1），故 f（x）在 R上是单调递减的。 3 http://www.ehappystudy.com 快乐学习，尽在中小学教育 （3）由 得： f x y f( ) ( )2 2 1  因为 f（x）在 R上单调递减 所以 x y2 2 1  ，即A表示圆 x y2 2 1  的内部 由 f（ax－y+2）=1= f（0）得：ax－y+2=0 所以 B表示直线 ax－y+2=0 所以 A B∩ ，所以直线与圆相切或相离，即 21 12  a 解得：   3 3a 四 . 以对数函数为模型 例 4．设函数 y= f（x）定义域为  0，  ，且对任意的实数 x、y，有 f（xy）= f（x） + f（y），已知 f（2）=1，且当 x>1时 f（x）>0。 （1）求证： f 12 1      ； （2）试判断 y= f（x）在  0，  上的单调性，并证明。 分析：我们知道，对数函数 满足： ① f（x·y）= f（x）+ f（y）； ② f xy f x f y( ) ( ) ( )  。 分析本题条件，可判定该题是以函数 f x x( ) log 2 为模型命题的。 证明：（1）令 x=y=1，则 f（1）= f（1）+ f（1） 解得：f（1）=0 令 ，则 解得： f f( ) ( )12 2 1  （2）设0 1 2 x x ，则 x x 2 1 1 ，于是 f xx 2 1 0    4 http://www.ehappystudy.com 快乐学习，尽在中小学教育 因为 f x f x f xx( ) ( )2 1 2 1      所以 f x f x f xx( ) ( )2 1 2 1 0      所以 f x f x( ) ( )2 1 ，即函数 f（x）在  0，  上是增函数。 五 . 以三角函数为模型 例 5. 定义在 R 上的函数 f（ x）对任意实数 a、b 都有 f（a+b）+ f（a－b）=2 f（a）·f（b）成立，且 f ( )0 0 。 （1）求 f（0）的值； （2）试判断 f（x）的奇偶性； （3）若存在常数 c>0使 f c( )2 0 ，试问 f（x）是否为周期函数？若是，指出它的一 个周期；若不是，请说明理由。 分析：由三角函数的和差公式可知    cos cos cos cos        2 ，观察题设 条件，我们可判断本题是以余弦函数 f（x）=cosx为模型设计的问题。 解：（1）令 a=b=0 则 f（0）+ f（0）=2 f（0）·f（0） 所以 2 f（0）·[f（0）－1]=0 又因为 f ( )0 0 ，所以 f（0）=1 （2）令 a=0，b=x，则 f（x）+ f（－x）=2 f（0）·f（x） 由 f（0）=1可得 f（－x）= f（x） 所以 f（x）是 R上的偶函数。 （3）令a x c b c  2 2， ，则 f x c c f x c c f x c f c                        2 2 2 2 2 2 2· 因为 f c2 0      5 http://www.ehappystudy.com 快乐学习，尽在中小学教育 所以 f（x+c）+ f（x）=0 所以 f（x+c）=－ f（x） 所以 f（x+2c）=－ f（x+c）= －[－f（x）]= f（x） 所以 f（x）是以 2c为周期的周期函数。 例 6. 已知函数 f（x）的定义域关于原点对称，且满足： （1） f x x f x f xf x f x( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 2 1 1   · （2）存在正常数 a，使 f（a）=1 求证：（1）f（x）是奇函数； （2）f（x）是周期函数，并且有一个周期为 4a。 分析：根据三角函数公式可判断本题应是以余弦函数 f（x）=cotx为模型命制的。 证明：（1）设 t x x 1 2，则 f t f x x f x f x f x f x f x f x f x f x f x x f t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )           2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 · · 所以函数 f（x）是奇函数。 （2）令 x a x a1 22 ， ，则 f a f a f af a f a( ) ( ) ( ) ( ) ( )   2 1 2 · 即1 2 11 2   f a f a ( ) ( ) 解得：f（2a）=0 所以 f x a f x f af a f x f x f a f a f x f x( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( )] ( ) ( ) ( )           2 2 1 2 2 1 2 1· · 所以  f x a f x a f x f x     4 1 2 1 1( ) ( ) ( ) 6 http://www.ehappystudy.com 快乐学习，尽在中小学教育 因此，函数 f（x）是周期函数，并且有一个周期为 4a。 抽象函数归类分析 7 http://www.ehappystudy.com 快乐学习，尽在中小学教育 8 http://www.ehappystudy.com 快乐学习，尽在中小学教育 9 http://www.ehappystudy.com 快乐学习，尽在中小学教育 10 http://www.ehappystudy.com 快乐学习，尽在中小学教育 两个高考题的拓展 11 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