0 0 类别 : 教案

多面体欧拉公式的发现教案 ●教学目标 （一）教学知识点 1.欧拉公式的证明. 2.欧拉公式的应用. （二）能力训练要求 1.使学生能理解多面体欧拉公式的证明过程并能叙述其证明思路. 2.使学生掌握多面体欧拉公式并灵活地将其应用于解题中. （三）德育渗透目标 继续培养学生寻求规律、发现规律、认识规律、并利用规律解决问题的能力. ●教学重点 欧拉公式的应用. ●教学难点 欧拉公式的证明思路. ●教学方法 学导式 本节课继续上节课对欧拉公式的研究活动，遵循寻求规律——发现规律— —认识规律——应用规律的学习过程，对上节课已猜想出的欧拉公式进一步深 入研究，探索它的证明思路，让学生了解这种证明思想，进而达到熟练掌握欧 拉公式的目标，以便于学生得心应手地将欧拉公式应用到各种问题的解决中. ●教具准备 投影片三张 第一张：课本P59问题5（1）（2）（记作§9.9.2 A） 第二张：本课时教案例1（记作§9.9.2 B） 第三张：本课时教案例2（记作§9.9.2 C） ●教学过程 Ⅰ.课题导入 ［师］上节课我们已经猜想出了欧拉公式并且同学们也已自学了它的证明 过程，这节课我们继续对它的证明方法及其重要应用进行学习和探讨. Ⅱ.讲授新课 ［师］上节课我们已对课本 P58的欧拉公式的证明进行了自学，那么，谁能 说一下课本中的证明思路和关键是什么？ ［生］将立体图形转化为平面图形. ［师］好，前面，我们经常使用把不在同一平面中的几何图形的问题转化 为同一平面中图形的问题，所以此处如果能把求一个简单多面体的V、F、E三者 之间的关系问题，转化为平面中的问题就会前进一大步了. 那么课本中是怎样实现转化的呢？ ［生］把多面体想成是用橡皮膜做成的，即课本 P58图9—85的多面体，将 它的底面 ABCDE剪掉，然后其余各面拉开铺平，得到如图 9—86相应的平面多 边形. ［师］在这个变化过程中虽然实现了立体图形平面化的目的，但是不是又 引起了我们原来多面体的V、F、E的改变了呢？为什么？ ［生］不会引起原来多面体中V、E、F的变化，以上变化过程中只改变了原 多面体各面的大小，各棱的长短，而V、F、E这三个数与各面的大小、各棱的长短 是无关的. ［师］也就是说只要不改变每个面（多边形）的边数，不使顶点（棱或 面）重合，无论怎样改变面的形状的大小及棱的长短，V、F、E这三个数就不变， 当然，它们之间的关系也不会改变. 好，下面请同学提出在自学欧拉公式证明过程中所遇到的问题. （学生思考整理问题，教师等待、耐心解答，可能会问到以下问题） ①在课本 P59的 3.计算多边形内角和（2）中 n1+n2+…+nF和多面体的棱数 E 有什么关系？说明理由. （教师应给学讲清因为多面体每一条棱同属于两个面，所以有 n1+n2+… +nF=2E） ②怎样理解P59的 3.计算多边形内角和（4）中的“全体多边形”？ （教师应给学生说清是各小多边形及最大多边形ABCDE） ③怎样说明为什么有“（E－F）·360°=（V－2）·360°”? （教师应再次强调给学生：在变形过程中，原来多面体的面是几边形，它 对应的仍是几边形，而多边形的内角和仅与边数有关，所以多面体各面多边形 的内角和应等于图9—86中各小多边形及“最大”多边形（即多边形ABCDE）的 内角总和. ［师］欧拉定理表明，任意的一个简单多面体，经过连续变形后，尽管它 的形状可以变化万千，但有一个数始终不变，这就是：顶点数+面数－棱数，它 总是等于2.所以将2叫做连续变形下的不变数. 下面，我们来应用欧拉定理. （打出投影片§9.9.2 A,读题） ［师］问题 5的（1）是关于化学上 C60分子的结构问题，也是欧拉公式的 应用问题（以下过程教师板书） 解：设 C60分子中形状为五边形和六边形的面各有x个和 y个. 多面体的顶点数V=60，面数F=x+y,棱数E= 2 1 （3×60），根据欧拉公式， 可得 60+（x+y）－ 2 1 （3×60）=2 另一方面，棱数也可由多边形的边数来表示，即 2 1 （5x+6y）= 2 1 （3×60） 由以上两方程可解得 x=12,y=20 答：C60分子中形状为五边形和六边形的面各有 12个和60个. ［师］对于问题 5（2）则通常先假设一个简单多面体的棱数 E=7，再根据 欧拉公式进行推理论证.（师生共同写出以下过程） 解：假设一个简单多面体的棱数E=7，根据欧拉公式V+F－E=2，得 V+F=7+2=9 因多面体的顶点数V≥4，面数F≥4,所以只有两种情况： V=4，F=5或 V=5，F=4， 因为 4个顶点的多面体只有是四面体，而四面体也只有 4个面，所以上述 两种情况（V+F=9）都不存在. 答：没有棱数是 7的简单多面体. ［师］通过问题5两个小题的分析之后，你体会到解决（1）的关键是什么？ ［生甲］利用欧拉公式列出一个等式. ［生乙］利用棱数与边数的关系列出一个等式. ［师］甲、乙两位同学说得都对，解决（1）的关键就是找等量关系，即根 据欧拉公式及棱数与边数的关系列出两个变量关系. 再思考（1）中应用了数学的什么重要思想？ ［生］方程思想. ［师］对，本题也旨在培养同学们利用方程解未知量的思想. 对于解决（2）的关键又是什么呢？ ［生］V≥4,F≥4是一个几何体为凸多面体的必要条件.本题中抓住 F=4与 V=4必然同时成立引出矛盾. ［师］这也是凸多面体具有的一条重要性质，希望同学们能够注意. 继续体会欧拉公式的应用. （打出投影片§9.9.2 B,读题） ［例1］已知，一个简单多面体的各个顶点都有三条棱，求证：V=2F－4. ［师］欲求出V与F的关系，需结合已知条件寻找 V与 E的关系，再结合欧 拉公式得出，具体如何做呢？ ［生］因此简单多面体每个顶点都有三条棱，而每条棱上有两个顶点，所 以有3V=2E即 E= 2 3 V.又因为简单多面体顶点数、棱数、面数之间适合欧拉公式， 所以V+F－ 2 3 V=2， 即2V+2F－3V=4. 故得V=2F－4. ［师］以上题目要注意准确恰当地将已知条件中关于顶点数与棱数的关系 转化成代数关系式. 下面请同学们回忆前面所学过的关于正多面体的概念及其种类. ［生］每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相 同数目的棱的凸多面体，叫做正多面体.正多面体只有四种：正四面体、正八面 体、正十二面体和正二十 面体. ［师］对于“为什么只有四种正多面体”的问题，今天就可以利用欧拉公 式证明了. （打出投影片§9.9.2 C,读题） ［例2］证明：正多面体只有四种，即正四面体、正八面体、正十二面体、正 二十面体. ［师］解决这个问题，应从什么地方入手考虑？ ［生］从正多面体的定义考虑. ［师］同学们翻开课本 P63欧拉公式和正多面体的种类，仔细阅读，体会其 中的证明思路与方法. （学生自学，教师查看，解决学生疑难问题） Ⅲ.课堂练习 课本P61习题9.9 3、4. P61习题9.9 3:C70分子是与C60分子类似的球状多面体结构，它有 70个顶点， 以每个顶点为一端都有 3条棱，各面是五边形或六边形，求 C70分子中五边形和 六边形的个数. 答案：设有x个五边形和 y个六边形 ∴F=x+y,∵E= 2 370 =105 ∵V=70,E= 2 1 （5x+6y） ∵      105)65(2 1 210570 yx yx 解之得 x=12,y=25 答：C70分子中五边形为12个，六边形为25个. P61习题9.9.4:设一个凸多面体有 V个顶点，求证它的各面多边形的内角总 和为（V－2）· 360°. 证明：设这一凸多面体的各面分别为 n1,n2,…,nF边形，则各面多边形内角 和是 （n1－2）·180°+（n2－2）·180°+…+（nF－2）·180°=（n1+n2+… +nF）·180°－2F· 180°=（n1+n2+…+nF－2F）·180° ∵n1+n2+…+nF=2E ∴原式=（E－F）·360° ∵V+F－E=2 ∴E－F=V－2 ∴原式=（V－2）·360° Ⅳ.课时小结 本节课我们探讨了欧拉公式的证明方法及其重要应用，在理解欧拉公式的 证明过程的同时重在体会其中的“立体图形平面化”的思想.另外，同学们要适 当准确地应用欧拉公式去解决与多面体的顶点数、面数及棱数有关的问题. Ⅴ.课后作业 （一）求证：如果简单多面体的所有面都是奇数边的多边形，那么面数是 偶数. 证明：设简单多面体的面数为 F，因为各面的边数为奇数，所以简单多面 体各面边数的和为F个奇数的和. 即     )12()12()12(  knm .当把 F个面拼合成多面体时，两条边合 成一条棱，则 棱数E= 22 )(2 2 )12()12()12( FFknmknm  偶数     ① ② 因为 E必须为整数，所以（偶数+F）能被 2整除，又因为（偶数+F）中偶 数能被 2整除，所以F必须被 2整除，即F必须为偶数. （二）1.预习内容 课本P651.球的概念和性质至 P66结束 2.预习提纲 （1）怎样给球定义呢？ （2）准确表述出球心、球的半径、球的直径等概念. （3）尝试归纳并证明球的性质. （4）结合地球仪理解地球上的经纬线，知道某地点的经度与纬度. （5）你是怎样理解“球面上，两点之间的最短连线的长度”？ ●板书设计 §9.9.2 研究性课题： 多面体欧拉公式的发现（二） 1.欧拉公式的证明. 练习1. ①思路 2. ②步骤 小结 2.欧拉公式的应用 例1 分析 解