数列的极限教案 1
一、教育目标
(一)知识教学点：理解数列极限的定义，即“ε—N定义”；能说出ε、N的涵义；
懂得 n与N的区别；会把数列中的某些项画在数轴上，并能从图上看出这个数列的变
化趋势．
(二)能力培养点：培养学生由具体到抽象、从有限到无限的思维能力，训练类比思
维方法，会依据“ε—N定义”求简单数列的极限．
(三)学科渗透点：通过数列极限概念的教学，使学生懂得无限问题可以转化为有限
问题来解决，通过对变量有限过程的研究，来认识变量无限变化过程的辩证思想观点．
二、教学分析
1．重点：数列极限“ε—N定义”．解决方法：画图、列表，进行直观的“定性
描述”；运用类比方法，引进ε、N，用不等式来进行定量描述．
2．难点：ε与N的涵义，n与N的区别．解决方法：分析、思考、问答的形式解决．
3．疑点：ε的任意性与确定性．解决方法：分析、举例说明．
三、活动设计
1．活动方式：画图、列表、分析、思考、问答、练习．
2．教具：投影仪(或小挂图．)
四、教学过程
1．数列变化趋势的定性描述：
考察两个实例：即两个无穷数列；
为直观起见，把两个数列中的前 n项分别在数轴上表示出来：
容易看出：当项数 n无限增大时，数列(1)中的项无限趋近于 1，数列(2)中的项无
限趋近于 0．
特别注意：在“增大”与“趋近”之前添加“无限”二字的意义：①表示项数 n
的增大与项的趋近都在无限过程中进行的；②表示数列(1)的项不仅趋近于 1，而且是
无限趋近于 1，数列(2)也一样趋近于零，而且是无限趋近于 0．
(出示投影一)
数列(1)中各项与 1的差的绝对值如下表：
2．数列(1)变化趋势的定量描述：投影 1．引进ε、N，即怎样定量描述“数
一项，使得这一项后面的所有项与 1的差的绝对值都小于ε．
如给定ε=0.001，数列(1)中存在一项，从投影表中可以看出，即为第三项，对这
一项后面的所有项，不等式：
皆成立，换句话说，对于任意给定的ε＝0.001，存在自然数N=3，当 n＞3时，
不等式
恒成立．
再给定ε=0.000001，情形怎样呢？
学生 1回答．
此时，存在自然数N＝6，当 n＞N时，不等式
恒成立．
类比分析，从具体到抽象，得出：“无论预先给多么小的正数ε，总存在着这样
的自然数N，当 n＞N时，不等式
恒成立．”事实上，无论预先给定多么小的正数ε，确实存在着这样的自然数
N(怎样找N，后面再讲)．这时，可以说数列(1)的极限是 1．
{an}的极限．上述定义可简述为：“即ε－N定义”
于”，“∞”表示“无穷大”，“n→∞”表示“n趋向于无穷大”，也就是 n无
限
4．举例
数ε？
(3)确定这个数列的极限．
学生 2答：
面的所有项与 1的差的绝对值都小于ε．
例 2．求常数数列，－a，－a，－a，…的极限．
解：任意给定ε＜0，总存在自然数N(不妨取N＝1)，当 n＞N时，不等式：|－a
－(－a)|=0＜ε恒成立，
5．关于“ε—N定义”的两点说明
(1)ε与N的关系：从例 1、例 3可以看出，对于预先任意给定ε＜0，为找到
1的差的绝对值小于任意给定的正数ε，解不等式
意义上说，可以把N看作ε的函数，所以有时把N记作N(ε)．
数列{－7}．
6．与代数运算的区别
求极限也是一种运算，与代数运算的区别，前者是无限运算，后者是有限运算．
7．消除疑点
ε的绝对任意性和相对的确定性：(1)就极限的全过程来说，ε必须具有绝对的
就极限全过程的某一阶段来说，ε又是具体给定的，即相对确定性，如取ε＝
0.1，
无限多个相对确定性表示出来的．
8．数列极限的存在性
并不是每个数列都有极限．反例：①如数例{n}不存在极限，因为当项数 n无限
9．总结
对照板书的设计内容，强调讲述：
(1)数列极限的“ε—N定义”．
(3)ε的绝对任意性和相对确定性的辩证关系的理解．
(4)会依据“ε—N”定义，求证简单数列的极限．
五、布置作业
(2)第几项后面所有项与 4的差绝对值都小于 0.01？都小于任意指定的正数ε？
(3)确定这个数列的极限．
所有项与 4的差的绝对值都小于 0.01．
差的绝对值都小于任意指定的正数ε．
(3)由(2)可知，这个数列的极限为 4．
(1)把这个数列的 5项在数轴上表示出来；
＜ε．
(4)确定这个数列的极限．
解：(1)略．
(3)填表：
(4)这个数列的极限是 1．
(2)先求数列{0.11…1}的极限，再用“ε—N定义”证明．
下面用ε－N定义证明之
六、板书设计
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