0 0 类别 : 教案

AP O a 正射影和三垂线定理教案 教学目标：了解射影等有关的概念，了解三垂线定理及其逆定理。 教学重点：三垂线定理及其逆定理。 教学过程： 1、 复习： 1、直线和平面垂直的概念 2、直线和平面垂直的判定 2、 授新课： 1．射影的有关概念 自一点P向平面α引垂线，垂足 P叫做点P在平面α内的正射影（简称射影）。 如果图形F上所有点在一平面内的射影构成图形F ，则F 叫做图形F在这个平面内 的射影。 如果一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，那么这条直线叫做这个平 面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足，斜线上一点与斜线间的线 段叫做斜线段。 容易看出，平面的斜线在平面内的射影仍是一条直线。如图， 斜线PA上的点A是斜足，PO⊥α，点O是垂足，则PA在 平面α内的射影就是直线OA。 2．三垂线定理 定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么 它也和这条斜线垂直。 已知：PO、PA分别是平面α内的垂线、斜线OA是 PA在α内的射影，aα，且a⊥OA 求证：a⊥PA 证明：∵ PO⊥α，∴PO⊥a 又 a⊥OA，PO∩OA=O ∴ a⊥平面POA ∴a⊥PA 3．逆定理： 定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和 这条斜线在平面内的射影垂直。 4．举例： 例4、如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在 这个角的平分线上。 已知：∠BAC在平面α内，点P C B A O E F P α，PE⊥AB，PF⊥AC，PO⊥α，垂足分别是E、F、O，PE=PF。 求证：∠BAO=∠CAO 证明：∵ PE⊥AB，PF⊥AC，PO⊥α， ∴ AB⊥OE，AC⊥OF（三垂线定理的逆定理） ∵PE=PF，PA=PA ∴Rt△PAE≌Rt△PAF ∴AE=AF 又 AO=AO， ∴Rt△AOE≌Rt△AOF ∴∠BAO=∠CAO 例 5、如图，道路旁有一条河，河对岸有电塔AB，高15m，只用量角器和皮尺作测量工 具，能否求出电塔顶与道路的距离？ 解：在道路边取一点C，使BC与道路边所成的水平角等于 900。再在道路边取一点D，使水平角∠CDB等于450。测得C、D 的距离等于20m。 ∵BC是 AC在地平面内的射影，且CD⊥BC， ∴CD⊥AC（三垂线定理）因此线段AC的 长度就是电塔顶与道路的距离。 ∵∠CDB=450，CD⊥BC，CD=20m， ∴BC=20m, 在 Rt△ABC中，得AC= )(252015 2222 mBCAB  答：电塔顶与道路的距离是25m 三、做练习：第 24 页第 1、2、3 题 四、小结：1、射影的有关概念 2、三垂线定理 3、三垂线定理的逆定理 五、布置作业：习题9.4第 5、6题 B D C Ã