0 0 类别 : 教案

●教学目标 能力训练要求 1.深化椭圆的性质学习. 2.提高解题的综合能力. ●教学重点 学生解题综合能力的培养与提高 ●教学难点 学生解题综合能力的培养与提高 ●教学方法 师生共同讨论法 通过对具体问题的分析与讨论，使学生对综合问题有一个清楚的认识，并通过综合题 的解答，提高学生的语言表达能力，运算能力，探索能力，分析问题解决问题的能力. ●教具准备 投影片五张 第一张：本课时教案的例8（记作§8.2.4 A） 第二张：本课时教案的例9（记作§8.2.4 B） 第三张：本课时教案的例10（记作§8.2.4 C） 第四张：本课时教案的例11（记作§8.2.4 D） 第五张：本课时教案后面的预习内容及预习提纲（记作§8.2.4 E） ●教学过程 Ⅰ.课题导入 ［师］上节课我们学习了椭圆的参数方程，并且讨论了参数方程与普通方程的互化， 以及参数方程的应用，请同学们回忆一下，参数方程化为普通方程时的关键是什么？ ［生］参数方程化为普通方程的关键是消去参数. ［师］消去参数的方法有哪些呢？ ［生］利用三角函数中同一个角的三角函数的平方关系. ［师］还有吗？请注意，我问的是参数方程化为普通方程时消去参数的方法. （学生思考） ［生甲］代数中的加减消元法，代入消元法，也能用来消去参数. ［生乙］三角函数中的倒数关系也能用来消参. ［生丙］要根据参数方程的不同形式用不同的方法，只要能消去参数的方法都能用.  ［师］上述三位同学说得非常好，参数方程化为普通方程时，关键是消参，这是我们 的最终目标，无论用什么方法，实现目的为原则. ［师］普通方程化为参数方程的实质是什么？ ［生］用一个参量将x、y表示出来，当然表示的形式越简单越好. ［师］要得到简单而准确的表示方法，就要根据变通方程的结构特点，恰当地选用参 数，这样做了之后，在求某些最值问题时，将是很方便的. 为了巩固前面我们所学的知识，这节课我们继续通过例题去体会知识间的联系. Ⅱ.讲授新课 ［师］首先来看这样一个题目（打出投影片§8.2.4 A） ［例8］将椭圆 1259 22  yx 按向量(1,2)平移，则平移后的椭圆方程为______. ［师］怎样得到平移后的椭圆方程呢？ ［生］由平移公式     2 1 yy xx 得     2 1 yy xx 代入原方程得 125 )2( 9 )1( 22  yx ∴平移后的椭圆的方程为： 125 )2( 9 )1( 22  yx ［师］这种方程从形式上看，与椭圆的标准方程一致，我们将称为椭圆的标准型方程. 注意：练习此题的目的在于想让学生了解椭圆的标准型方程的形式，以后遇到这种形 式的椭圆时，不会感到茫然. ［师］再看这样一个题目 （打出投影片§8.2.4 B） ［例9］椭圆 1312 22  yx 的焦点是 F1和F2,点 P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴 上，那么|PF1|是|PF2|的 （ ） A.7倍 B.5倍 C.4倍 D.3倍 ［师］拿到这个题目首先应该干什么？ ［生］根据题意画出图形. ［师］大家试着画一画，将已知条件反映在图形上，看能得出些什么呢？ ［生］（画图） ∵PF1的中点 M在y轴上且原点 O是 F1F2的中点 ∴MO∥PF2，△PF1F2为直角三角形 |PF1|+|PF2|=2a=4 3 |PF1|2-|PF2|2=|F1F2|2=36 继续对以上两个方程所组成的方程组求解可得出|PF1| 与|PF2|，从而知道它们之间的关系. ［师］好，谁来把这个过程表述一下？ ［生甲］已知 a=2 3 ,b= 3 ∴c=3 ∵PF1的中点在y轴上且 OF1=OF2 ∴PF2∥y轴 ∴△PF1F2是直角三角形 设|PF1|=r1,|PF2|=r2 则          2 3 32 7 36 34 2 1 2 2 2 1 21 r r rr rr 解之得 ∴r1=7r2 即|PF1|=7|PF2| 故应选A ［师］解选择题是没有必要写出详细解答过程的，但思路必须清楚.另外，在解答解析 几何的有关问题时，要充分运用平面几何的性质. ［师］下面我们再来看一道较复杂一点的题目.（打出投影片§8.2.4 C） ［例 10］设椭圆的中心在坐标原点，长轴在 x轴上，离心率 e= 2 3 ，已知点 P（0， 2 3 ）到这个椭圆上的点的最远距离是 7 ，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点 P的距离 等于 7 的点的坐标. 分析：此题的关键是确定a、b的值，而确定a、b的值需要两个关系式，这里由 e= 2 3 可得到 a、b的一个关系式，再由椭圆上的点到点 P的最大距离是 7 又能得到一个关系式， 由此两个关系式即可确定出 a、b的值.由题目中的 e= 2 3 容易得到一个关于 a、b的关系的式 子，但另一个关于 a、b的关系式子却比较复杂了，需要设出一个点（椭圆上的）写出该点 到点 P的距离为 d，求出 d的最大值,由其最大值是 7 得到. ［师］思路理顺了，下面我们来看一下怎样实现我们的目标. 解法一：设所求椭圆的方程是： 12 2 2 2  b y a x (a＞b＞0) 由 e2= 2 2 2 22 2 2 1 a b a ba a c  得 2 1 4 311 2  ea b ∴a=2b 设椭圆上任一点（x,y）到点 P的距离为 d，则 34)2 1(3 4 9433 )2 3()1( )2 3( 22 22 2 2 2 2 22     by byy yb ya yxd (其中-b≤y≤b) 若b＜ 2 1 ，则当y=-b时，d有最大值 b+ 2 3 由已知得 b+ 2 3 = 7 , b= 7 - 2 3 ＞ 2 1 与 b＜ 2 1 矛盾 若b≥ 2 1 ，则当y=- 2 1 时，d有最大值 34 2 b 由已知得 34 2 b = 7 ,由此得 b=1,a=2 ∴所求椭圆方程是 14 2 2  yx 则由y=- 2 1 及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点（- 3，- 2 1 ）和（ 3，- 2 1 ）到点 P的距离是 7 . 解法二：设所求椭圆方程为： 12 2 2 2  b y a x (a＞b＞0) 由 e2= 2 2 2 22 2 2 1 a b a ba a c  得 ,2 1 4 311 2  ea b ∴a=2b 设椭圆上任一点（acosθ,bsinθ）到点 P的距离为 d,(0≤θ＜２π) （这里是用参数形式表示椭圆上任一点） )1sin1(34)2 1(sin3 4 94sin3sin3 )2 3sin()cos( 222 222 22       其中 则 bbb bbb bad 若 b2 1 ＞1，即b＜ 2 1 则当 sinθ=-1时，d有最大值 b+ 2 3  由已知得 b+ 2 3 = 7 ∴b= 7 - 2 3 与 b＜ 2 1 矛盾 若 b2 1 ≤1,即b≥ 2 1 则当 sinθ=- b2 1 时，d有最大值 34 2 b 由已知得 34 2 b = 7 ， ∴b=1,a=2 ∴所求椭圆的方程为 14 2 2  yx 由 sinθ= b2 1 ,b=1,a=2得椭圆上的点. (- 3 ,- 2 1 )和( 3 ,- 2 1 )到点 P的距离是 7 注意：在应用配方法求最值时，一定要注意变量的取值范围.如解法一中-b≤y≤b，还 要考虑 2 1 是否在区间［-b,b］内，于是分 b＜ 2 1 与 b≥ 2 1 两种情况讨论;同样在解法二 中-1≤ sinθ≤1，分 b2 1 不在区间［-1,1］内和在［-1，1］内两种情况研究.不明以上道理，在 解法一中盲目地得出y=- 2 1 时 d取最大值 34 2 b ，虽能得出正确答案，但毫无道理. ［师］下面我们再来看一下综合题目 （打出投影片§8.2.4 D） ［例11］已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，直线 y=x+1与该椭圆相交于 P、Q两 点，以 PQ为直径的圆经过原点 O，且|PQ|= 2 10 ，求椭圆的方程. ［师］此题求的是椭圆的方程，即清楚轨迹类型，首先应该怎么办？ ［生］设出椭圆的方程. ［师］已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，其方程该是什么形式？ ［生乙］设所求椭圆的方程为 12 2 2 2  b y a x （a＞b＞0） ［师］生乙所设正确吗？ ［生丙］不完整，还应补充上所求椭圆的方程为 12 2 2 2  b x a y (a＞b＞0)，因为已知中 只说了焦点在坐标轴上，而没有说焦点在哪个轴上，所以焦点既可能在 x轴上，也可能在 y轴上，因而设出的方程应该有两种形式. ［师］生丙同学所答很好！我们在考虑问题时，不能遗漏任何一种可能的情况，但这 样一来，又给问题的解决带来了麻烦，要在两种方程的前提下，去解两次同样的题目，这 不很麻烦吗？ ［生丁］可以用“同理”减少点儿麻烦. ［师］生丁同学谈得很好，用“同理”确实能减少点麻烦，大家回顾一下我们解题中 用“同理”情况，它能减少些什么麻烦？ ［生］解题过程中的表述不需要再一步步细细推理或推演了. ［师］正确，但不表述能否就不要去进行相应的计算了呢？ ［生］计算不能少，一步也不能少. ［师］为了避免在两种方程的前提下去解两次同样的问题，我们可以把方程设为 mx2+ny2=1(m＞0,n＞0) ［师］下面我们继续分析. ［师］直线 y=x+1椭圆交于 P、Q两点，说明方程组     1 122 xy nymx 有两组不同的解，以 PQ 为直径的圆经过原点 O，说明∠POQ 为 Rt∠,即 OP⊥OQ,也就是 kOP·kOQ=-1，或者 xP·xQ+yP·yQ=0，可得到 m·n的一个关系式；|PQ|= 2 10 又可知 m、n的一个关系式，联立 解之即可求出 m、n的值，从而确定方程. 解：设所求椭圆的方程为 mx2+ny2=1(m＞0,n＞0) 依题意得：     1 122 xy nymx 将②代入①得 mx2+n(x+1)2=1 整理得： (m+n)x2+2nx+n-1=0 设P（x1,y1）,Q(x2,y2) ∴       nm nxx nm nxx 1 2 21 21 ③ ∴y1y2=(x1+1)(x2+1)=x1x2+x1+x2+1 ∴y1y2= nm n   1 ∵以 PQ为直径的圆过原点 O，则 OP⊥OQ ① ② ∴x1x2+y1y2=0，即 nm n   1 + nm m  1 =0 ∴m+n=2 ④ 将④代入③中得      2 1 21 21 nxx nxx ∵|PQ|= 2 10 |PQ|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2= 2 5 即［(x1+x2)2-4x1x2］(1+12)= 2 5 ∴4n2-7n+3=0 解之得，n= 2 3 或n= 2 1 ∴           2 1 2 3 2 3 2 1 n m n m 或 ∴所求椭圆的方程为 2 1 x2+ 2 3 y2=1 或 2 3 x2+ 2 1 y2=1 Ⅲ.课时小结 本节课我们讨论了有关椭圆的几个综合题的解法，对于综合题，我们一定要掌握分析 的方法，并弄清题意，各个击破，达到解决问题的目的. Ⅳ.课后作业 （一）1.椭圆的长轴长和短轴长的和是 20，焦距等于4 5，则椭圆的标准方程是___ ___. 2.若椭圆的焦点在x轴上，焦点到短轴端点的距离等于 2，到相应准线的距离等于 3， 求此椭圆的标准方程. 3.椭圆 14998 22  yx 内有一点 M（0，5），在椭圆上有一点 N，使|MN|有最大值，求 N. 答案：1. 1361611636 2222  yxyx 或 2. 134 22  yx 3.N(4 3 ,-5)或(-4 3 ,-5) （二）1.预习内容：P104双曲线及其标准方程至例2结束. 2.预习提纲： （1）双曲线及其焦点，焦距的定义是什么？与椭圆及其焦点、焦距相比较有哪些相同 点与不同点？ （2）双曲线的标准方程有几种形式？分别是怎样的？与椭圆的标准方程比较有什么区 别？ （3）怎样的双曲线其方程为标准方程？标准方程所表示的双曲线其图形有什么特征？ 你能根据双曲线的标准方程确定焦点的位置吗？ （4）对于双曲线a、b、c的关系怎样？与椭圆中 a、b、c的关系有什么区别？ （5）求满足条件的双曲线的标准方程的关键是什么？ ●板书设计 §8.2.4椭圆的简单几何性质（四） 例8 例9 例10 例11 小结