0 0 类别 : 教案

椭圆及其标准方程教案 2 　　教学目的 　　(1)使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程； 　　(2)通过椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生分析探索能 力，增强运用坐标法解决几何问题的能力． 　　教学过程 一、椭圆概念的引入 　　第一组问题——复习提问： 　　1．什么叫做曲线的方程？ 　　2．直线方程的一般形式是什么？简述直线与二元一次方程的关系． 　　3．圆的一般方程是什么？主要特征是什么？ 　　对上述问题学生的回答基本正确，如一般同学均能初步了解曲线方 程的意义，理解直线与二元一次方程Ax＋By＋C＝0是一一对应关系， 掌握圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，它是关于x、y的二元二次 方程，且具有以下重要特征：(1)x2与y2的系数都是1；(2)缺 xy这样的 项；(3)D2＋E2－4F＞0． 　　[温故而知新，以旧带新，便于引导学生在已有的知识基础上去探 求新知识．] 　　第二组问题——引导学生联想、归纳、分析、发现新问题： 　　1．如前所述，每一个二元一次方程都表示一条直线，那么每一个 二元二次方程是否都表示圆，若不是，具备什么条件下它所表示的曲线 就不是圆？ 　　对此问题学生一般能回答：“当x2与y2系数不相等时或xy项的系 数不为零[有的同学指出不满足上述条件(3)时]，这样的方程所表示的 曲线都不是圆．” 　　2．圆的几何特征是什么？ 　　一般学生能回答：“圆上任意一点到圆心(定点)的距离等于半径 (定长)”．这时要进一步提问：“除上述特征外，你还能说出具有哪些 特征的点的轨迹也是圆？”启发学生回忆所学的例题、习题中有关的轨 迹命题．学生翻阅课本后能回答： 　　“到两定点距离平方和为常量的动点轨迹是圆．” 　　“到两定点距离之比为一常量的动点轨迹也是圆．” 　　(对此，经提示，有学生补充这一常量应不等于1，否则为线段的垂 直平分线．) 　　“到两定点连线斜率乘积等于－1的动点轨迹也是圆．”(当然还应 除去两定点．) 　　[启发学生对已有的知识进行归纳、提炼，以便为新概念的引入作好 自然的铺垫．] 　　第三组问题——深入思考与探索： 　　1．一般二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0既然不完全表 示圆，那么它还可能表示什么样的曲线呢？当系数A、B、C、D、E取各种不 同数值时，相应的方程代表的曲线将有什么差别呢？能否找到一般性规 律，得出这些曲线的大致形象？ 　　这些问题并不一定要求学生回答，旨在引起学生积极思考，激发学 生强烈的探索欲望． 　　2．如上，我们已经知道“到两定点距离平方和为常量”或“到两 定点距离之比为常量”的点的轨迹，你是否可类似地提出一些轨迹命题 作更广泛的探索？ 　　类比的能力大部分学生是具备的(尽管程度有差别)，经过教师启发 引导，学生们会提出下列轨迹命题，如： 　　“到两定点距离之和等于常量的动点轨迹．” 　　“到两定点距离平方差等于常量的动点轨迹．” 　　“到两定点距离之差等于常量的动点轨迹．” 　　“到定点与定直线距离相等的动点轨迹．” 　　以上是学生受到已做习题的启发而提出的． 　　还有学生通过类比提出： 　　“到两定点距离的立方和(差)等于常量的动点轨迹”；“到定点与 定直线距离的比为常量的动点轨迹”；“到定点与定直线的距离和(差) 等于常量的动点轨迹”；等等． 　　对同学们这种大胆设想，勇于探索的精神教师予以大力肯定，表示 赞赏，并指出同学们所提出的这些问题正是我们后一段学习中要逐步解 决的问题，而同学们自己也可运用坐标法探求它们的方程，根据方程描 点画图，也可设法用实验方法描绘具有这些特征的几何图形． 　　[以上从方程与曲线两方面，也就是从数与形两条“线路”引导学 生联想、分析、探索，这样，引出新曲线的概念已是水到渠成了．] 　　譬如说，同学们提出的“若动点到两定点距离之和等于常量，则此 动点轨迹是什么？请同学们不妨尝试一下，看看能否设计一种 绘图方 法，画出符合这种几何条件的轨迹． 　　(课前要求学生准备图钉若干，细线一根．) 　　学生纷纷动手，相互磋商，观摩，不一会大部分同学已画出；再让 一个学生在黑板上用准备好的工具演示，同学们都高兴地叫起来，轨迹 是椭圆！ 　　教师问：“椭圆，在哪些地方见过？” 　　有的学生说：“立体几何中圆的直观图．” 　　(立体几何中采取的也是近似画法，但教材中已提出椭圆名称．) 　　有的学生说：“人造卫星运行轨道．” 　　(这是学生从物理课本中了解的．) 　　有的学生说：“饼干罐头盒，洒水车，装油车等．” 　　教师指出：确切地说，应是它们的横截面的轮廓线． 　　[按学生认识规律与心理特征引导学生自己分析、探索、启发学生认 识新的概念，至于新概念在实际中的形象也放手让学生自己对照、回顾， 增强实践感受，这样更有利于学生学习能力的培养．] 　　在上述基础上，引导学生概括椭圆定义．学生开始只强调主要几何 特征——到两定点距离之和等于常量．这时教师通过演示(将穿有粉笔 的细线拉到黑板平面外)启发学生思考．学生认识到需加上限制条件： “在平面内．”教师则追问：“否则会形成什么几何图形？”学生想象 到是椭球形．教师边演示边提示学生注意：这里的常量有什么限制吗？ 若这个常量等于两定点距离？小于呢？学生认识到，这时都不可能形成 椭圆，前者变成了线段，后者轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，还必须加 上限制条件：“此常量大于两定点之间的距离．” 　　这样，学生得出了完整的椭圆定义：平面内到两定点的距离之和等 于常数(大于两定点距离)的点的轨迹叫做椭圆． 　　教师顺便指出：我们规定其中两定点叫做椭圆的焦点，两焦点之间 的距离叫做焦距． 二、推导椭圆的标准方程 　　给出椭圆的定义后，教师即可提出：由椭圆定义，可以知道它的基 本几何特征，但对于这种新曲线还具有哪些性质，我们几乎一无所知， 因此需要利用坐标法先建立椭圆的方程． 　　[让学生明确思维的目的，才能调动学生思维的积极性．] 　　如何建立曲线方程？首先应建立适当的坐标系．建立坐标系时，一 般应符合简单和谐化的原则．如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直 线斜率等)的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性． 　　[让学生在思考议论中加强对这种优化原则的认识．] 　　这样，大多数学生认识到下列选取方法是适宜的： 　　以两定点F1．F2的连线为x轴；以线段F1F2的垂直平分线为y轴， 设|F1F2|＝2c(c＞0)，M(x，y)为椭圆上任一点，则有F1(－ c，0)，F2(c，0)． 　　下面让学生利用两点间距离公式，根据椭圆定义即可写出椭圆的方 程 　　[正确选取坐标系是解析几何解题的基本技巧之一，教学中应着重 培养学生这方面的能力．] 　　教师指出：上面所得方程直接反映了椭圆定义所确定的椭圆本质属 性，但为了更进一步利用方程探讨椭圆其他性质，需要尽量简化方程形 式，使数量关系更加明朗化． 　　(化简方程可让学生完成．) 　　多数学生利用初中简化无理方程的一般方法进行，移项后两边平方 逐步化去根号，与教材中化简过程类似，教师在巡回观察指导中，启发 几个反映较快的学生仔细观察两个根号下代数式的特征，设法先化去其 中一个根号．即将等式 [(x＋c)2＋y2]－[(x－c)2＋y2]＝4cx， 　　两边分别除以方程两边，即得 　　与原方程联立易得 　　 　　 　　注意 a＞c，则可得 　　为使方程更为对称和谐起见，由a2－c2＞0，令a2－c2＝b2，则得方 程 　　[坐标法即用代数方法研究几何问题，因此熟练运用代数变形技巧 是十分重要的，学生常因运算能力不强而功亏一篑．缺乏一定的运算能 力在解析几何中几乎是寸步难行，因此教学中必须注意不失时机加强运 算技能的训练！] 　　关于证明所得的方程是椭圆方程，因教材中对此要求不高，教师可 简要作些提示： 　　若点(x′，y′)适合方程 　　则此点应在椭圆上，事实上由 　　由上述变形逆推即可得 　　注意到 a＞c，且|x′|≤a，则可知 　　 　　即点(x′，y′)到两定点F1和F2距离之和为2a． 　　故点(x′，y′)必在椭圆上． 　　 　　教师指出：由于我们恰当地选取了坐标系，充分运用了图形的对称 特征，因此得到的方程简单、对称，具有和谐美，特别便于根据方程分 析研究椭圆许多有趣的性质．这一简化的方程称为椭圆的标准方程(焦 点在x轴上)． 三、供课后思考的参考题 　　1．推导椭圆方程时，若使焦点在y轴上[即为F1(0，－ c)，F2(0，c)]，你能知道此时方程形式吗？它与焦点在x轴上的方程有 何联系？ 　　 　　(1)椭圆的对称性；(2)椭圆的范围及常数 a、b具有什么几何特征； (3)这一方程与圆x2＋y2＝a2作一比较，两者有何联系？由两方程分别得 出 　　回顾三角函数图像 y＝Asinx与 y＝sinx的关系你能提出什么设想？ 　　 　　 等式中发现椭圆的又一重要特征吗？ 　　教案说明 　　(1)这份教案是针对重点中学班级设计的，也在笔者所在学校不止 一次实施过．教案设计的基本指导思想是着眼于提高学生学习数学的自 觉性与基本学习能力，增强课堂教学的启发性与培养性，因此教学安排 与一般设想不同．目前教学中常受考试干扰，比较注重实用性与所谓 “硬指标”．如本节课常常直接给出定义，尽快得出两种标准方程，举 例示范，使学生课外能学会使用方程解答课本习题．而这份教案却花一 定气力引导学生回顾、探索、分析，然后引出椭圆的概念，随后只建立了 焦点在x轴上的标准方程，并没有要求学生会使用；另外关于由方程研 究椭圆性质常常安排在后面的课内，这里却又提前让学生思考，似乎都 是“软指标”，在考试中也不一定用得上．不同的设想反映出不同的着 眼点与数学教学目的的认识差别，把知识与方法作为结果给予学生，还 是着重引导学生领悟获得这些结果的思想与方法，是把学生作为接受教 师传授知识的客体，还是增强学生的内在活力，使学生成为自觉主动学 习的主体．本教案如前所述，重点放在概念引入与方程建立的思维过程 上，从圆锥曲线整体结构考虑，让学生获得比较完整的认识过程，初步 建立起总体思维框架，至于结果的熟练与运用在以后的逐步强化训练中 是不难达到的．教学的实践也证明，这样是有利于学生基本数学素质的 提高，在以后的双曲线、抛物线的教学中可见其成效． 　　(2)这份教案设计的另一思想是探索在基础知识教学过程中如何加 强学生能力的培养．数学上每一个重要概念的引入与定义，每一个重要 定理(法则、公式)的发现与推证，几乎都历经前人长期观察、比较、分析、 抽象、概括、创造的漫长过程．这样长期的探索过程中往往蕴含着数学中 一些重要的思想方法，对思维有着重要的启迪作用，教学中若不充分认 识甚至放弃这些绝好的培养机会，将是教学上的重大失策．当然，作为 教学不必要(也不可能)完全重复前人漫长的探索过程，但若细心体会、 抓住方法的精神实质，精心组织设计，创造良好情景，就可使多数学生 处于亢奋状态，增强探索者的自信心理，学习前人的探究精神，逐步领 会其中的主要思想方法．在教学中长期坚持这样做，必可大大提高学生 的思维素质与学习能力，使教学获得良好的效果．