圆的标准方程
一、教学目标
(一)知识教学点
使学生掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准
确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决
一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程．
(二)能力训练点
通过圆的标准方程的推导，培养学生利用求曲线的方程的一般步骤解决一
些实际问题的能力．
(三)学科渗透点
圆基于初中的知识，同时又是初中的知识的加深，使学生懂得知识的连续
性；通过圆的标准方程，可解决一些如圆拱桥的实际问题，说明理论既来源于
实践，又服务于实践，可以适时进行辩证唯物主义思想教育．
二、教材分析
1．重点：(1)圆的标准方程的推导步骤；(2)根据具体条件正确写出圆的
标准方程．
(解决办法：(1)通过设问，消除难点，并详细讲解；(2)多多练习、讲解．)
2．难点：运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题．
(解决办法：使学生掌握分析这类问题的方法是先弄清题意，再建立适当的
直角坐标系，使圆的标准方程形式简单，最后解决实际问题．)
三、活动设计
问答、讲授、设问、演板、重点讲解、归纳小结、阅读．
四、教学过程
(一)复习提问
前面，大家学习了圆的概念，哪一位同学来回答？
问题 1：具有什么性质的点的轨迹称为圆？
平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆(教师在黑板上画一个圆)．
问题 2：图2-9中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆
心和半径都反映了圆的什么特点？
圆心C是定点，圆周上的点M是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r，
圆心和半径分别确定了圆的位置和大小．
问题 3：求曲线的方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？
求曲线方程的一般步骤为：
(1)建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上任意点M的坐标，简称建
系设点；图2-9
(2)写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)|}，简称写点集；
(3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)=0，简称列方程；
(4)化方程f(x，y)=0为最简形式，简称化简方程；
(5)证明化简后的方程就是所求曲线的方程，简称证明．
其中步骤(1)(3)(4)必不可少．
下面我们用求曲线方程的一般步骤来建立圆的标准方程．
(二)建立圆的标准方程
1．建系设点
由学生在黑板上画出直角坐标系，并问有无不同建立坐标系的方法．教师
指出：这两种建立坐标系的方法都对，原点在圆心这是特殊情况，现在仅就一
般情况推导．因为C是定点，可设C(a，b)、半径r，且设圆上任一点M坐标为
(x，y)．
2．写点集
根据定义，圆就是集合P={M||MC|=r}．
3．列方程
由两点间的距离公式得：
4．化简方程
将上式两边平方得：
(x-a)2+(y-b)2=r2．
(1)
方程(1)就是圆心是C(a，b)、半径是r的圆的方程．我们把它叫做圆的标准
方程．
这时，请大家思考下面一个问题．
问题 5：圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？
这是二元二次方程，展开后没有xy项，括号内变数 x，y的系数都是1．点
(a，b)、r分别表示圆心的坐标和圆的半径．当圆心在原点即 C(0，0)时，方程
为 x2+y2=r2．
教师指出：圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，
只要a，b，r三个量确定了且 r＞0，圆的方程就给定了．这就是说要确定圆的
方程，必须具备三个独立的条件．注意，确定 a、b、r，可以根据条件，利用待
定系数法来解决．
(三)圆的标准方程的应用
例 1 写出下列各圆的方程：(请四位同学演板)
(1)圆心在原点，半径是3；
(3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)；
(4)圆心在点C(1，3)，并且和直线3x-4y-7=0相切．
教师纠错，分别给出正确答案：(1)x2+y2=9；(2)(x-3)2+(y-4)2=5；
指出：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程．
例 2 说出下列圆的圆心和半径：(学生回答)
(1)(x-3)2+(y-2)2=5；
(2)(x+4)2+(y+3)2=7；
(3)(x+2)2+ y2=4
教师指出：已知圆的标准方程，要能够熟练地求出它的圆心和半径．
例 3 (1)已知两点P1(4，9)和 P2(6，3)，求以P1P2为直径的圆的方程；
(2)试判断点M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？
解(1)：
分析一：
从确定圆的条件考虑，需要求圆心和半径，可用待定系数解决．
解法一：(学生口答)
设圆心C(a，b)、半径r，则由C为P1P2的中点得：
又由两点间的距离公式得：
∴所求圆的方程为：
(x-5)2+(y-6)2=10
分析二：
从图形上动点P性质考虑，用求曲线方程的一般方法解决．
解法二：(给出板书)
∵直径上的四周角是直角，
∴对于圆上任一点P(x，y)，有PP1⊥PP2．
化简得：
x2+y2-10x-12y+51=0．
即(x-5)2+(y-6)2=10为所求圆的方程．
解(2)：(学生阅读课本)
分别计算点到圆心的距离：
因此，点M在圆上，点 N在圆外，点 Q在圆内．
这时，教师小结本题：
1．求圆的方程的方法
(1)待定系数法，确定 a，b，r；
(2)轨迹法，求曲线方程的一般方法．
2．点与圆的位置关系
设点到圆心的距离为 d，圆半径为r：
(1)点在圆上 d=r；
(2)点在圆外 d＞r；
(3)点在圆内 d＜r．
3．以 A(x1，y1)、B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-
y1)(y-y2)=0(证明留作作业)
例 4 图2-10是某圆拱桥的—孔圆拱的示意图．该圆拱跨度AB=20m，拱
高OP=4m，在建造时每隔 4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度(精确到
0.01m)．
此例由学生阅读课本，教师巡视并做如下提示：
(1)先要建立适当直角坐标系，使圆的标准方程形式简单，便于计算；
(2)用待定系数法求圆的标准方程；
(3)要注意P2的横坐标x=-2＜0，纵坐标y＞0，所以 A2P2的长度只有一解．
(四)本课小结
1．圆的方程的推导步骤；
2．圆的方程的特点：点(a，b)、r分别表示圆心坐标和圆的半径；
3．求圆的方程的两种方法：(1)待定系数法；(2)轨迹法．
五、布置作业
1．求下列条件所决定的圆的方程：
(1)圆心为 C(3，-5)，并且与直线x-7y+2=0相切；
(2)过点 A(3，2)，圆心在直线y=2x上，且与直线y=2x+5相切．
2．已知：一个圆的直径端点是 A(x1，y1)、B(x2，y2)．
证明：圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0．
3．一个等腰三角形底边上的高等于5，底边两端点的坐标是(-4，0)和
(4，0)，求它的外接圆的方程．
4．赵州桥的跨度是37.4m，圆拱高约为 7.2m，求这座圆拱桥的拱圆的方程．
作业答案：
1．(1)(x-3)2+(y+5)2= 32
2．因为直径的端点为 A(x1，y1)、B(x2，y2)，则圆心和半径分别为
所以圆的方程为
化简得：x2-(x1+x2)x+x1x2+y2-(y1+y2)y+y1y2=0
即(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0
4．如图2-11建立坐标系，得拱圆的方程：
x2+(y+27.88)2=27.882(-7.2≤y≤0)
六、板书设计
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