曲线和方程
一、教学目标
(一)知识教学点
使学生了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，初步领会“曲线
的方程”与“方程的曲线”的概念，从而为求已知曲线的方程奠定理论基础．
(二)能力训练点
在形成曲线和方程概念的过程中，培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能
力与抽象思维能力，同时强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法．
(三)学科渗透点
从形数结合中受到辩证唯物主义的思想教育．
二、教材分析
1．重点：“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念．
(解决办法：通过例子，揭内涵；讨论归纳，得出定义；变换表达，强化理
解；初步运用，巩固提高；给出推论，升华定义．)
2．难点：难点在于对定义中为什么要规定两个关系产生困惑，原因是不理
解两者缺一都将扩大概念的外延．据此可用举反例的方法来突破难点，促使学
生对概念表述的严密性进行探索，自然地得出定义．
(解决办法：为了在难点有所突破后强化其认识，用集合相等的概念来解释
曲线和方程的对应关系．)
3．疑点：“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念的应用．
(解决办法：通过例子，初步领会它的应用；给出概念的推论，既升华了概
念又是概念的应用．)
三、活动设计
提问、讲授、讨论、引导、练习．
四、教学过程
(一)复习提问，引出课题
1．命题有哪几种基本形式，它们之间的关系如何？原命题与逆否命题、逆
命题与否命题两两等价．
学生给出解答如图2-1．
本次课就是在此基础上，建立曲线和方程之间的对应关系，即符合怎样条
件的方程才能完整地表示一条曲线，同时这条曲线也完整地表示一个方程．大
家知道，在平面直角坐标系中，点和一对有序实数是一一对应的，有序实数就
是点的坐标．曲线是由点组成的，二元方程的任一解恰是一对有序实数，这就
为曲线与方程建立对应关系奠定了基础．那么曲线和方程之间应有什么对应关
系呢？这是本次课要研究的问题．课题是“曲线和方程”．
(二)运用例子，揭示内涵
例1 已知A(-2，-1)，B(3，5)，求线段 AB中重线上点的坐标满足的关
系．
解：如图2-2，设动点坐标为 P(x，y)．则由定义可知|PA|=|PB|．
(1)
(2)
平方并化简得：
10x+29y-29=0．
(3)
故(3)就是AB中垂线所满足的关系．
事实上，一方面，AB中垂线上任一点 P和A、B两点等距离，它符合条件
(1)，即 P点坐标是方程(2)的解，也是方程(3)的解；另一方面，方程(3)的一
组解(x，y)，也是(2)的解即符合条件(1)，以(x，y)为坐标的点 P必在AB的中
垂线上．
由上可知，AB中垂线上点的坐标都是方程(3)的解；反之，以方程(3)的解
为坐标的点都是AB中垂线上的点．
例2 用下列方程表示如图2-3所示的直线 C，对吗？为什么？
上题供学生思考，口答．方程(1)、(2)、(3)都不是表示曲线 C的方程．第
即不符合“曲线上的点的坐标都是方程的解”这一结论；第(2)题中，尽管
“曲线 C上的坐标都是方程的解”，但以方程 x2-y2=0的解为坐标的点不全在
曲线 C上，如点(2，-2)等，即不符合“以方程的解为坐标的点都在曲线上”这
一结论；第(3)题中，类似(1)(2)得出不符合“曲线上的点的坐标都是方程的
解”，“以方程的解为坐标的点都在曲线上”．事实上，(1)(2)(3)中各方程表
示的曲线应该是图2-4的三种情况．
上面我们既观察、分析了完整地用方程表示曲线，用曲线表示方程的例1，
又观察、分析了例2中所出现的方程和曲线间所建立的不完整的对应关系．如果
我们把例1中这种能完整地表示曲线的方程称为“曲线的方程”的话，那么，
我们完全有条件给“曲线方程”下定义了．
(三)讨论归纳，得出定义
讨论题：在下定义时，针对例2(1)中“曲线上有的点的坐标不是方程的
解”以及(2)中“以方程的解为坐标的点不在曲线上”的情况，对“曲线的方程
应作何规定？
学生口答，老师顺其自然地给出定义．这样，我们可以对“曲线的方程”
和“方程的曲线”下这样的定义：在直角坐标系中，如果某曲线 C上的点与一
个二元方程 f(x，y)=0的实数解建立了如下关系：
(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．
(四)变换表达，强化理解
曲线可以看作是由点组成的集合，记作C；一个二元方程的解可以作为点
的坐标，因而二元方程的解也描述了一个点集，记作F．请大家思考：如何用
集合 C和点集 F间的关系来表达“曲线的方程”和“方程的曲线”定义中的两
个关系，进而重新表述以上定义．关系(1)指集合 C是点集 F的子集，关系(2)
指点集 F是点集合 C的子集．这样根据集合的性质，可以用集合相等的概念来
定义“曲线的方程”与“方程的曲线”，即：
(五)初步运用，巩固提高
例3 解答下列问题，且说出各依据了曲线的方程和方程的曲线定义中的
哪一个关系？
学生练习，口答；教师纠错、小结．依据关系(2)，可知点 M1在圆
例 4 证明以坐标原点为圆心，半径等于 5的圆的方程是 x2+y2=25．
由学生自己阅读课本解答，教师适时插话，强调证明要紧扣定义，分两步
进行．
(六)给出推论，升华定义
直接给出定义的推论：
(3)方程 F(x，y)=f1(x，y)…fn(x，y)=0的曲线是在其(x，y)的共同取值
范围内的 f1(x，y)=0，f2(x，y)=0，…，fn(x，y)=0的曲线的全体．
(4)方程 f1(x，y)=λf2(x，y)(λ为任意常数)或λf1(x，y)
+μf2(x，y)=0(λ，μ为常数且λ2+μ2≠0)的曲线必过两曲线
f1(x，y)=0，f2(x，y)=0的所有交点．
这些推论的证明方法类似，给学生介绍一下(2)的证明，其余由学生自己课
后完成．
证明：设曲线 的任一点为 P1(x1，y1)，则y1=f(x1)，y1=
φ(x1)∴f(x1)=φ(x1)，故x1是方程 f(x)=φ(x)的根．反过来，如果
f(x)=φ(x)的任一实根为 x0，则f(x0)=φ(x0)．令f(x0)=y0，则φ(x0)=y0，
故(x0，y0)为两曲线 y=f(x)，y=φ(x)的交点．
这一推论是利用函数图象求方程近似解的理论根据，同时也是考查学生是
否理解曲线的方程、方程的曲线这一重要结论的好材料．
(七)小结全课
本次课我们通过对实例的研究，掌握了“曲线的方程”、“方程的曲线”的
定义．在领会定义时，要牢记关系(1)、(2)两者缺一不可，它们都是“曲线的方
程”和“方程的曲线”的必要条件．两者满足了，“曲线的方程”和“方程的
曲线”才具备充分性．只有符合关系(1)、(2)，才能将曲线的研究转化为方程来
研究，即几何问题的研究转化为代数问题．这种“以数论形”的思想是解析几
何的基本思想和基本方法．
五、布置作业
1．点A(1，-2)、B(2，-3)、C(3，10)是否在方程 x2-xy+2y+1=0的图形上？
2．(1)在什么情况下，方程 y=ax2+bx+c的曲线经过原点？
(2)在什么情况下，方程(x-a)2+(y-b)2=r2的曲线经过原点？
3．证明以C(a，b)为圆心，R为半径的圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=R2．
4．证明动点 P(x，y)到定点 M(-a，0)的距离等于 a(a＞0)的轨迹方程是
x2+y2+2ax=0．
作业答案：
1．点A(1，-2)、C(3，10)在方程 x2-xy+2y+1=0的图形上；点 B(2，-3)不
在图形上．
2．(1)c=0，
(2)a2+a2=r2
3、4．仿照课本例子，分两种情况易证．
六、板书设计
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