●教学目标
（一）教学知识点
1.椭圆的参数方程.
2.椭圆的参数方程与普通方程的关系.
（二）能力训练要求
1.使学生了解椭圆参数方程的来源，并能在研究椭圆的性质、建立椭圆的方程的过程中，
正确地应用参数方程.
2.使学生掌握参数方程与普通方程的关系，正确互化以便灵活应用.
（三）德育渗透目标
使学生认识到事物的表现形式可能不止一种，认识事物要透过现象看本质.
●教学重点
1.建立椭圆的参数方程及椭圆参数方程的应用.
2.椭圆的参数方程与变通方程互化.
●教学难点
1.建立椭圆的参数方程及椭圆参数方程的应用.
2.椭圆的参数方程与普通方程的互化.
●教学方法
师生共同讨论法
通过师生共同讨论，使学生了解椭圆参数方程的来源，理解椭圆参数方程的建立方法，
明确常数a、b的几何意义并掌握椭圆参数方程与普通方程的互化.
●教具准备
投影片两张
第一张：P101例5（记作§8.2.3 A）
第二张：本课时教案的例6、例7（记作§8.2.3 B）
多媒体课件一个：
在同一坐标平面内，以原点为圆心作两个半径不等的同心圆（用同一种颜色），作大
圆的半径 OA交小圆于 B，作 AN垂直于 x轴，垂足为 N，过 B作 BM⊥AN，垂足为 M（点 M标
为另一种颜色）让OA绕点O旋转，看点M的轨迹，给学生一个直观印象.
●教学过程
Ⅰ.课题导入
［师］上一节课我们学习了椭圆的比值定义，哪位同学来叙述一下.
［生］动点到一个定点与一条直线的距离的比是一个常数 e(0＜e＜1)时，动点的轨迹
是椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线.
［师］椭圆25x2+9y2=225的准线方程是什么？
［生］将椭圆方程化成标准方程为：
1259
22
yx
可知：a=5,b=3,c= 925 =4
∴椭圆的准线方程是y=± 4
25
［师］同学们对准线方程的形式要予以掌握，另外，请注意知道 a、c的值能写出准线
方程，但知道准线方程要确定 a、c的值，还需要其他条件，仅知道准线方程，只能确定
a、c的关系，下面我们再来看这样一个题目.（打出投影片§8.2.3 A）
Ⅱ.讲授新课
［师］（读题，并用多媒体课件演示，对点M的轨迹给学生一个直观形象）
分析指导：题目让求当OA绕点O旋转时点M的轨迹的参数方程，我们知道在解析几何
中求哪个点的轨迹，就把哪个点的坐标设为(x,y)，然后再去寻求关系，那么我们来考虑一
下，点M的坐标（x,y）随着哪个量的变化而变化呢？或者说选哪个量为参数呢？（给同学
们留出思考的时间）
［生甲］点M的横坐标x就是点A的横坐标，点M的纵坐标就是点B的纵坐标，所以教
一个量既能表示 A点的横坐标又能表示 B点纵坐标作为参数即可.由于 OA在绕点 O旋转，
而且它的半径已知，△BOR、△AON匀为 Rt△，故选转角∠AOx为参数，就既能表示B点的纵
坐标,又能表示A点的横坐标.
［师］很好，生甲分析得透彻，大家听清楚了吗？
［生］明白啦！
［师］好，下面我们来写出解答过程（请一名同学在黑板上板书）
［生乙］设点 M的坐标是(x,y)，φ是以 Ox为始边，OA为终边的正角，取φ为参数，
那么
x=ON=|OA|cosφ
y=NM=|OB|sinφ
即
sin
cos
by
ax
这就是所求点M的轨迹的参数方程.
［师］做完的同学请举手.好，请放下，我们来看生乙的解答（师生共同审阅），有没
有不完善或不严密的地方？
［生丙］我认为在取φ为参数的地方，标明参数的取值范围要严密一些，即标出 0＜
φ＜2π
［师］生丙所说的有道理吗？有必要吗？
（学生考虑）
［师］生丙所说的是非常有道理的，标明参数的取值范围是非常有必要的，不要以为
课本上未谈及咱来谈就是多余的，就是多此一举的.事实上，求曲线的参数方程，对参数的
范围是应予以足够重视的.这点在我们以后的做题中要引起注意.
至此，按题目要求，这道题我们做完啦，假如这道题条件不变，所求改为求点 M的轨
迹，我们该如何做呢？
［生］求出点M的轨迹方程，再指出轨迹是怎样的曲线吗？
［师］正确，怎样求其轨迹方程呢？求普通方程还是求参数方程呢？
［生］都可以.
［师］求出参数方程后，你能根据方程指出曲线类型吗？就是说上面所求出方程，你
知道它表示的曲线是什么吗？
（生无言以对，也有可能根据我们前面演示的直观，或根据课前的预习会说是椭圆，
但为什么呢？这时教师要抓住时机，指出应当怎样确定曲线的类型）.
［师］求出曲线的参数方程后，要想进一步确定曲线的类型，采用的方法仍然是化生
疏为熟悉，将参数中的参数消去，得到曲线的普通方程，从而指出曲线类型，比如上面的
参数方程，我们将两个方程分别变形，得：
a
x =cosφ, b
y =sinφ
利用三角函数中同一角的三角函数关系，即可消去参数，也就是将方程两边平方后相
加，
得：
即消去方程中的参数后，得到的方程是椭圆的标准方程：
12
2
2
2
b
y
a
x
由此可知，点M的轨迹是长轴为2a,短轴为2b的椭圆.
我们把方程
sin
cos
by
ax
(0＜φ≤2π)称为椭圆的参数方程，在椭圆的参数方程中，常
数a、b分别是椭圆的长半轴和短半轴长.
［师］上面我们讨论了椭圆的参数方程，并且讨论了参数方程化为普通方程的方法，
那么给出椭圆的普通方程，怎样把它化为参数方程呢？
我们来看这样一个例子.（打出投影片§8.2.3 B）
［例6］将椭圆方程 1916
22
yx 化为参数方程.
分析指导：将普通方程化为参数方程，重要是利用三角函数中同一角的正弦值平方与
它余弦值的平方和等于1的这个关系.
解：令 x=4cosθ,(0＜θ≤2π)
∵sin2θ+cos2θ=1
∴y=3sinθ
∴椭圆的参数方程为
sin3
cos4
y
x
(0＜θ≤2π)
［师］此时，我们可以说点（4cosθ,3sinθ）是椭圆上的任意一点吗？
［生］（略加考虑，作答），可以.因为(x,y)是椭圆 1916
22
yx 上的任意点，而
x=4cosθ,y=3sinθ，所以(4cosθ,3sinθ)是椭圆 1916
22
yx 上的任意点.
注意：(1)椭圆的普通方程化为参数方程结果不是惟一的.
(2)把椭圆的普通方程化为参数方程熟练之后，在求椭圆上的点到定点或定直线的最大、
最小距离时，将是很方便的.
［例 7］在椭圆 174
22
yx 上到直线 l:3x-2y-16=0 距离最短的点的坐标是______，
最短距离是______.
分析：设椭圆 174
22
yx 上的任意一点为M（2cosθ, 7 sinθ）则 M点到直线 l的
距离
1sincos 222
2
2
2
b
y
a
x
)4
3arcsin(13
16)sin(8
13
16sin72cos6
其中
d
∴当φ－θ= 2
时，d有最小值 13
138
此时，θ=φ- 2
，sinθ=-cosφ=- 4
7 ,cosθ=sinφ= 4
3
∴M点坐标是（ 4
7,2
3 ）
注意：求最值问题，三角代换是一种常用的方法，而圆、椭圆的参数方程，实质就是三
角代换，它使二元 x,y转化为一元θ,将代数问题转化为三角问题，使问题化繁为简.
Ⅲ.课堂练习
（1）已知椭圆的参数方程
sin
cos2
y
x
(θ是参数)，则它的标准方程是______.
答案： 14
2
2
yx
（2）已知椭圆的方程 11625
22
yx ,以离心角φ为参数，则椭圆的参数方程是______.
答案：
sin4
cos5
y
x
(φ为参数)
（3）已知椭圆的参数方程
sin3
cos
y
x
(θ为参数)，则此椭圆的长轴长是______，短
轴长是______，焦点坐标是______，准线方程是______，离心率______.
答案：2 3 2 F1（0， 2 ），F2（0，- 2 ）
y=± 3
6 2
23
（4）曲线
sin23
cos32
y
x
(θ为参数)的焦距是______.
答案：2 6
（5）曲线的参数方程
2sin
cos
y
x
(θ为参数)，则此曲线是______.
A.椭圆 B.椭圆的一部分
C.线段 D.直线的一部分
答案：C
Ⅳ.课时小结
本节课我们讨论了椭圆的参数方程，以及参数方程与普通方程的互化，特别是用参数
表示出椭圆上的点后，（三角代换），给求最值问题带来了很大的方便.同学们要很好掌握
这种方法，需要注意的是：求曲线的参数方程时，由于所选的参数不同，求出的参数方程
形式也不一定相同.其次，参数方程化为普通方程结果是惟一的，而变通方程化为参数方程
形式是多样的.
Ⅴ.课后作业
课本P103习题8.210，11
●板书设计
§8.2.2椭圆的简单几何性质（三）
例6的解答
例7的解答
课堂练习
小结
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