直线的倾斜角和斜率教案 3
教学目标
(1)在上节课学习的基础上，进一步深化学生对直线的倾斜角和斜
率的理解和掌握，特别注意帮助学生澄清一些容易混淆的概念．
(2)通过练习，使学生熟练掌握直线的倾斜角和斜率的求法．并从
多个角度，用多种方法去研究问题，拓展学生的思路，培养他们的创新
意识和能力．
教学重点和难点
重点：对直线的倾斜角和斜率的深入理解，斜率公式的灵活应用，
三角函数、向量的相关知识的复习应用．
难点：对直线的倾斜角和斜率概念的精确理解；对过去学过的旧
知识三角函数的性质，平面向量的掌握情况；创造思维的养成．
教学过程设计
(一)复习提问(教师提出问题，学生思考回答，教师总结)
思考题：(1)直线的“倾斜角”和“斜率”是怎样定义的．
倾斜角：把x轴绕着它与直线l的交点按逆时针方向旋转到与直线
l重合时所转过的最小正角α叫直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行
或重合时，我们规定α=0．
这样
0≤α＜180°或0≤α＜π
直线l的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率．
k=tanα．
k=0时，倾斜角α=0
k也越大．但不能笼统地说，倾斜角越大，斜率越大．
(2)直线l与y轴平行时，直线l的倾斜角为(90°)，斜率不存
在，直线l与y轴垂直时，直线l的倾斜角为0°，斜率为0．
(3)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)是不同的两点，过A，B两点的直线的
当x1≠x2时，直线AB与 x轴不垂直，
要注意分子、分母差中字母的顺序必须一致．
当x1=x2时，直线AB与 x轴垂直，斜率不存在，不能使用这一公式．
(二)学生练习：(教师根据学生完成情况进行讲评)
练习1，a、b、c是两两不等的实数，求经过下列每两个点的直线的
倾斜角和斜率，
(1)A(a，c)，B(b，c)
(2)A(a，b)，B(a，c)
(3)A(b，b＋c)，B(a，c＋a)
(4)A(a＋b，b＋c)，B(b，c)
[讲评]
不存在．
b=0，倾斜角α=0
练习2，已知直线的倾斜角的取值范围，讨论直线斜率及其绝对值
的变化情况．
调递增，|k|却单调递减．
练习3，如图，直线l1的倾斜角α=30°，直线l2⊥l1，求l1、l2的
斜率，并研究它们间的关系．
[讲评]设直线l1的倾斜角为α1=30°，直线l2的倾斜角为α2，则
α2=α1＋90°=120°．
具有一般性．事实上，当直线l1、l2不与x轴垂直，都有斜率时，
我们
∴k1·k2=－1．
这一重要关系，给我们提供了判断两直线垂直的重要方法，我们下
一步要重点研究和应用它．
练习4，如果 A(m，3)、B(－1，－1)，C(0，m)三点，在同一直线上，
确定实数 m的值．
[讲评]A、B、C三点在同一条直线上，每两点连线的斜率应当有怎样
的关系呢？不难想到，应当有
m＋1=2，m=1或 m＋1=－2，m=－3．
∴m=1或 m=－3时，A、B、C三点在同一条直线上，对这一问题我们
从多个角度去考虑：
A、B、C三点在同一条直线上，我们可以考虑向量 与 的平行，
因这两个向量有一个公共点B，如两向量平行，A、B、C三点在同一直线
上，
这里， =(－1－m，－4)， =(1，m＋1)
根据向量平行的条件：(－1－m)·(m＋1)－(－4)·1=0
－(m＋1)2＋4=0，(m＋1)2=4
∴m=1或 m=－3．
有的同学从距离去考虑，A、B、C三点在同一条直线上，我们有|AB|
＋|BC|=|AC|，应用两点间距离公式
但这个方程太难解了．这一条路不好走．
通过这个题，同学们可以掌握证明三点共线的基本方法．用斜率去
证明或用向量平行去证明，是常用的方法．
BC的倾斜角分别为α和β．
(三)作业
练习题 5，习题 7.1，5
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