两条直线的交点教案 1
教学目标
1．学生通过本节课学习，掌握两直线方程联立方程组解的情况与
两直线间不同位置的对应关系，并且会通过直线方程系数判定解的情况．
2．学生通过一般形式直线方程解的讨论，加深对解析法的理解，
培养转化能力．
3．从“特殊”到“一般”，培养学生探索事物本质属性的精神，
以及运动变化和相互联系的观点．
教学重点与难点
两直线方程联立方程组解的个数讨论，以及两直线方程系数特征与
两直线交点个数和两直线位置关系的联系既是重点又是难点．
教学过程
师：同学们，我们早已学过了“二元一次方程组”的解法，请大家
解下列3个二元一次方程组．(请学生解题)
方程组(2)求不出解来，在代入过程中出现了“0=0”；
师：同学们对于(2)、(3)不便理解是正常的，如果我们仔细想一想，
0=0如果看
况呢？其实质又是什么呢？请同学们在同一直角坐标系里分别画出
三组直线的图形，并观察．(学生画图)
生：①组直线相交，②组两直线重合，③组两直线平行．
师：很好，同学们观察很仔细，并一下发现了它们的位置区别．这
实际上已经找到了3组方程求解不同情况的理论原因．方程组解的情况
与方程组所表示两直线位置关系有一种对应关系，请同学们试作概括一
下．
生：两直线l1，l2对应方程组有唯一解，则两直线相交，有无穷多
解则两直线重合，无解则两直线平行．(反过来也成立)
师：由此可知依照方程可以判定两直线位置关系．不解方程能直接
判定方程组解的情况从而判定两直线位置关系吗？
(引导学生回顾前几组方程)先把(2)，(3)整理为
数比特点的不同决定了解的不同．对平面内任意两直线l1：
A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0．仍然成立吗？我们不妨一起来证明一
下．
(师生一起讨论，发现必有A12+B12≠0，A22+B22≠0，但可取零情形，
一旦取零就是很特殊类型，结合前几节的知识，确定分类方法．)
(Ⅰ)B1=0，B2≠0时，
生从斜率关系来说明两直线位置关系)．
B1=0，B2=0时．
(Ⅱ)A1=0，A2≠0时
一定有唯一解，两直线相交．
A1=0，A2=0时
(Ⅲ)A1，A2，B1，B2均不为零时，方程组解的情况可直接求．(请
同学们一起完成)
①×B2－②×B1
(师生一起讨论解的情况)
1．当A1B2－A2B1≠0时，方程组有唯一解．
2．当A1B2－A2B1=0时，
师生一起回顾1，2，提炼出两直线交点个数由参数
A1，B1，C1，A2，B2，
础知识．)
例 1 判定下列各对直线的位置关系，如果相交，则求出交点坐标．
(1)l1：7x+2y－1＝0，
l2：14x+4y－2＝0；
(3)l1：3x+5y－1＝0，
l2：4x+3y=5．
(学生巩固练习)
例 2 已知两条直线l1：x+my+6=0和 l2：(m－2)x+3y+2m=0，当 m
为何值时，l1和l2(i)相交；(ii)平行；(iii)重合．
分析 观察两直线方程，均含有一个参变量m，m∈R，任取一个值，
l1，l2相应确定，m变化→l1，l2直线变化→位置关系变化，如何研究呢？
生：两直线位置关系由直线方程系数应满足条件来限制．(教师板
书)
解 将两直线方程联立：
(1)
解得：m=－1或m=3．
(2)
解得：m=3．
(注意学生分类情况的准确)
例 3 (投影片)直线2x+my－3=0与线段 x+3y－5=0(－1≤x≤6)
(i)m取何值时直线与线段相交，
(ii)m取何值时直线分线段为1∶3．
分析 (师生讨论完成)，m取值不同，直线2x+my－3=0有何异同，
可取 n个
0)，(其求法可由 m取两不同值所得直线交点．直线与线段相交，
首先考虑直线与线段所在直线相交，再限制让交点落在线段上．)
解 (i)联立方程组
(从本题讲解让学生理解，求两直线交点在更多情况下的作用．)
师生进行课堂小结：
1．本节课研究两条直线交点的方法，抓住解析几何研究问题特点，
从直线一般方程入手从特殊到一般，用代数方程组解的探讨，研究两直
线位置关系．
(投影)若 A1，B1，A2，B2，均不为零时对于直线l1：
A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0系数关系与位置关系如下表：
2．注意分类讨论方法的学习．
作业布置
教材 第40页 练习第 2题，第 3题；第45页 习题三第7题．
补充题：
1．两条直线2x+my－3=0与 x+3y－5=0交于第二象限，则 m的取值
范围是多
2．m取何值时直线2x+y－m=0与线段 x+2y－1=0相交，且交点分
线段比为1∶2？(解法提示，本题形似例 3，但 m变化确定的是平行直
线系．)
设计说明
本节课从知识内容本身并不难掌握，但从解析几何特点来说需要培
养学生如何利用直线代数方程来讨论其拥有特点，得到直线交点，从交
点个数对应于直线在平面内的相对位置关系．并且在设计教学过程中，
始终围绕两直线一般方程的系数(A1，B1，C1，A2，B2，C2)的变化来揭示
两直线方程联立解的情况，从而判定两直线位置特点，其实质是直线方
程Ax+By+C=0中，A，B，C就表示了直线的本质属性．在设计总体思路
来看，注重研究方法的探讨，为学生学习第二章圆锥曲线时，对于一般
意义的曲线的方程，方程的曲线以及曲线交点的研究打基础．
优化数学课堂结构，更重要的是把握好学生的已有知识结构，设置
教学情境，抓住学生的“思维过程”，在讨论、探究的课堂氛围里建构
学生新的知识结构．本节知识如果直接进行理论推导，课堂就会显得死
板，学生主体作用很难发挥，并且学生很难从中领会到解析法的特点，
学生记住一点规律，也能解决一些问题，那就只是发挥了数学教育的技
术教育功能，而忽视了数学的文化教育功能．要真正把握住数学教学过
程，是学生在教师指导下通过自己的思维活动学习数学，并不断增进学
生数学素养的过程．因此，对于课题引入，让学生从熟悉的解二元一次
方程组的解入手，给出3个方程组让学生解答，学生在解答过
为本节课设置了一个良好的问题情境．然后教师引导学生从方程结
构特点作一般性理论概述，用直线图形位置关系作直观描述，进而引出
对一般直线方程组解的情况探讨．设置问题逐步推进，激活学生思维，
调动学生主体积极思维．在建构观指导下，从学生已有认知出发，设置
平面内任两直线方程组
解的情况探讨，为课题引入寻求理论上的证明．学生从熟悉的平面
几何的直观定义中可知两直线3类位置关系，但平面几何里的定义是抽
象描述的，要准确描述这3类情况，自然地唤醒学生用解析法描述，用
方程组解来描述，用直线方程系数特点来描述．从特殊到一般，教学生
观察，教学生发现，在合情推理过程中教会学生思考，培养科学的思维
方式．
在对重点、难点的突破过程中，在分类情形下注重讨论问题的严谨
性．在A1，
特点，让其直接与直线位置关系相联系，既便于学生更快地从直线
方程特点判定直线间的位置关系，还让学生感受到蕴含于数学本身的深
层的协调美．
数学的美．
印象为二阶行列式的定义，以及在线性代数中用行列式的值探讨线
性方程组解的情况
的值进行研究．在教学过程中，强调了交点个数判定位置关系与用
斜率、截距判定两直线位置关系的一致性，从代数的角度巩固了前几节
知识．
在例题选配过程中，添设例 3，让学生不要把探讨直线交点的知识
单一化，要会灵活地运用到解决各种问题中去，目的是使学生学会对两
直线相交进一步限制处理，并且善于利用解析研究问题的优势，几何法、
代数法可以互相辅助，便于观察、发现，便于寻求解题思路．在分析直
线2x+my－3=0的过程中，m变化直线变化．动中有
动直线2x+y－m=0的探讨，渗透了平行直线系，在有条件情况下，
可以利用现代化教学手段(计算机辅助)来展示其变化过程，会让学生觉
得更直观，理解更深刻．
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