曲线和方程教案 4
教学目标
1．使学生了解曲线的点集与方程的解集之间的关系，从而掌握
“曲线的方程”与“方程的曲线”这两个概念．
2．使学生掌握证明已知曲线C的方程是f(x，y)=0的方法和步骤．
3．通过曲线和方程概念的知识形成过程，培养学生合情推理能力、
数学交流能力、探索能力，确立“数形结合”的思想方法，并进一步提
高逻辑思维能力．
教学重点与难点
对“曲线的方程”、“方程的曲线”定义中两个关系的理解．
教学过程
师：解析几何重要内容之一是利用代数方法来研究几何中曲线的问
题．即通过建立坐标系，利用平面内点和有序实数对之间一一对应关系，
建立曲线的方程，并通过对方程的讨论来研究曲线的几何性质．为此，
在第二章“圆锥曲线”的第一节，先建立曲线和方程的关系．这里，先
看上堂课后留的两个思考题．(板书)
例 1 (1)画出两坐标轴所成的角在第一、三象限的平分线l，并写
出其方程．
）的图象Ｃ．
(选择二位学生自制的计算机软盘或投影片，请二位学生各自操作，
展示在投影仪上．取较好的解答定格，如图2－1．)
师：这二位同学解答很好．请大家对照直线l及方程，对照抛物线
的一部分C及方程，谈谈符合某种条件的点的集合L和C分别与其方程
是怎样地联系起来的？(鼓励学生观察、联想，进行数学交流．学生讨论
后选其两个回答，再口述一遍．)
生甲：如果M(x0，y0)是 l上的任意一点，它到两个坐标轴的距离一
定相等，因此x0=y0，那么它的坐标(x0，y0)是方程x－y=0的解；反过
来，如果(x0，y0)是方程x－y=0的解，即x=x0，y=y0，那么以这个解为
坐标的点到两坐标轴的距离相等，它一定在这条平分线l上．为此把直
线l与方程x－y=0密切地联系了起来．
生乙：如果点M(x0，y0)是 C上的点，那么(x0，y0)一定是y=2x2的
解；反过来，.如果(x0，y0)是方程y=2x2的解，那么以它为坐标的点一
定在C上．
师：学生甲的回答清楚地说明了直线l完整地表示方程x－y=0，而
方程x－y=0完整地表示了直线l．但学生乙的回答是否完满，请同学们
思考，发表见解，并用最短的语言写在投影片上．(老师巡视后选一张
投影展示定格．)
学生乙的回答忽略了－1≤x≤2，从而点集C与方程y=2x2的解的集
合 G无法建立一一对应关系．
师：请这位同学进一步阐明自己的见解．
－1≤x≤2．为此正确的理解是：如果点M(x0，y0)是 C上的点，那
么(x0，y0)一定是y=2x2(－1≤x≤2)的解；反过来，如果(x0，y0)是方程
y=2x2(－1≤x≤2)的解，那么以它为坐标的点一定在C上．
师：这样的见解才确切地反映了点集C与方程y=2x2(－1≤x≤2)的
解集 G是一一对应的．从而，抛物线的一部分C完整地表示了方程
y=2x2(－1≤x≤2)，而方程y=2x2(－1≤x≤2)完整地表示了C．现在我
们来考虑以下这个问题：点集C还是抛物线的一部分，方程却是
y=2x2，不加任何制约条件．那么，此时的点集C与方程的解集是一个什
么样的关系呢？(鼓励学生勇于探索，为合理推理铺垫．学生讨论后口
答．)
生丙：曲线C上的任一点 P的坐标(x0，y0)一定是y=2x2的解；但若
(x0，y0)是 y=2x2的解，以它为坐标的点不一定在C上，有一部分在
y=2x2(x＜－1或x＞2)的图象上．
师：回答得很好．我们再来考虑一个问题：点集C是抛物线
y=2x2，而方程还是y=2x2(－1≤x≤2)．它们的关系又是怎样呢？(进一
步引导学生积极参与并多向思维．学生口答．)
生丁：曲线C上点的坐标不一定是y=2x2(－1≤x≤2)的解；而以
y=2x2(－1≤x≤2)的解为坐标的点却一定在C上．
师：以上两个问题反映了点集C与方程的解集不是一一对应的两种
截然不同的不完整的关系．那么怎样才能使点集C与方程的解是一一对
应的呢？为了研究方便，从曲线是点按照某种条件运动所成的轨迹的意
义来说，我们也把直线看成曲线．在平面直角坐标系中，点和有序实数
对(x，y)联系起来，而二元方程f(x，y)=0的任一个解恰是一个有序实
数对．现在我们一起归纳一下要具备的条件(学生讨论、口答)．
师：同学们讨论得很好．曲线C和二元方程f(x，y)=0应具备以下
两个条件：
1．若P(x0，y0)∈C，则 f(x0，y0)=0成立；
2．若 f(x0，y0)=0，则P(x0，y0)∈C．
本节课的“曲线的方程”与“方程的曲线(图形)”的定义是这样
(老师操作计算机或投影片定格)：
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的
集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)=0的解建立了如下的关系：
1．曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
2．以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，那么，这个方程叫做
曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线(图形)．
师：我们已经给曲线的方程、方程的曲线下了定义．这堂课[例1]的
第(1)小题，方程x－y=0是 l的方程，而l是方程x－y=0的曲线；第
(2)小题，方程y=2x2(－1≤x≤2)是曲线C的方程，而C是方程
y=2x2(－1≤x≤2)的曲线．同学们再举 3个例子，每个例子画一条曲线，
写一个方程．第1个例子满足定义中的两个条件；第2个例子满足定义
中第1个条件，不满足第2个条件；第3个例子不满足定义中第1个条
件，满足第2个条件．(鼓励学生进行思维训练，强化概念记忆．选一
位同学构造的例题板书．)
生：(板书)
师：(与学生一起评议)例 1符合定义中的两个条件，y＝|x|是曲线
C的方程，C
如果确定方程，那么曲线上遗漏了坐标是方程解的第三象限的点．
如果确定曲线，那
心，2为半径而圆在x轴下方的部分)．如果确定曲线，那么方程
x2+y2=4增添了制约条件y≥0(以上叙述在师生多次数学交流中进行)．
师：同学们对上面后两个例子，就定曲线变方程和定方程变曲线分
别构造两个例子，使其符合“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义，
写在投影片上．(选正确与有错误的解答各一份．先展示有错的，进行
纠正；后展示正确的定格．)
师：通过上面例题的研究，同学们掌握了“曲线的方程”、“方程
的曲线”的定义，要牢记定义中的1、2两者缺一不可，当且仅当两者都
满足时，才能称为“曲线的方程”和“方程的曲线”．下面研究“证明
已知曲线C的方程是f(x，y)=0”的方法和步骤，请看例2(老师操作计
算机或投影展示)．
例 2 证明以坐标原点为圆心，半径等于5的圆的方程是
x2+y2=25，并判断点
师：请同学们研究，证明应从何着手？
(大家讨论后回答)
生：应从以下两方面着手：1．圆上任一点M(x0，y0)满足
x02+y02=25；2．以方程x2+y2=25的解(x0，y0)为坐标的点在圆上．
师：同学回答得很好，请大家阅读理解课本第 50页例1，学会证明
已知曲线C的方程是f(x，y)=0的方法和步骤．(进一步培养学生的阅
读、思考、逻辑思维能力．)
师：现在我们再一起看一下本例题的证明过程．(老师操作计算机
或投影片展示)
证明：1．设 M(x0，y0)是圆上任意一点．因为点M到坐标原点的
距离等于5，
2．设(x0，y0)是方程x2+y2=25的解，那么x02+y02=25．两边开方取
算术根，得
由 1、2可知，x2+y2=25是以坐标原点为圆心，半径等于5的圆的方
程．
师：现在请一位同学归纳一下证明已知曲线的方程的方法和步骤．
生：用“曲线的方程”和“方程的曲线”的定义来证明已知曲线C
的方程是f(x，y)=0．证明中分两个步骤：第一步，设 M(x0，y0)是曲线
C上任一点，证明(x0，y0)是 f(x，y)=0的解；第二步，设(x0，y0)是
f(x，y)=0的解，证明点M(x0，y0)在曲线C上．
师：这位同学的回答正确归纳了证明的两个步骤，要记住最后应加
以总结，使证明更完美．现在我们再来看两个例题，同学们把解答写在
投影片上．(老师操作计算机或投影片，先展示例3，解答后再展示例
4．)
例 3 求曲线y=x2关于直线y=x的对称图形的方程．(选两个同学
的投影片)
2．解：由
可知y=x2关于直线y=x的对称图形的方程为y2=x．
师：第一个同学的解答是错误的，遗漏了对称图形中x轴下方图象
的方程．而第二位同学通过画出曲线y=x2关于直线y=x的图象，写出
了其方程．看来证明某已知曲线的方程是f(x，y)=0是必不可少的，证
明课下研究．
例 4 求曲线y=x3－x关于点(1，2)的对称曲线的方程．(选一个同
学的投影片)
解 设 y=x3－x关于点(1，2)的对称曲线上任一点M(x，y)，则 M
关于点(1，2)的对称点M'(2－x，4－y)，因为M'在曲线y=x3－x上，所
以
4－y=(2－x)3－(2－x)
即为所求的对称曲线的方程．
师：这位同学把所求曲线上的点转移到已知曲线上去，方法很好，
也是今后求曲线的方程的基本方法．但是，我们这一堂课还要提出的问
题是如何证明曲线y=x3－x关于点(1，2)的对称曲线的方程为4－y=(2
－x)3－(2－x)呢？证明也留作课下研究．
“曲线和方程”这一节，我们准备用两节课．这一堂课，着重研究
了“曲线的方程”、“方程的曲线”这两个概念，以及必须具备的两个
条件，这是我们用代数的方法研究几何问题的基础．下一堂课，我们将
着重研究证明曲线C的方程及重要性．为此，我们留以下作业：
书面作业：课本第 51页练习，解答写在书本上；
研究作业：(板书)
1．证明曲线y=x2关于 y=x的对称图形的方程是y2=x．
2．证明曲线y=x3－x关于点(1，2)的对称曲线的方程是4－y=(2
－x)3－(2－x)．
研究作业的解答请同学们储存在软盘内或写在投影片上．
设计说明
1．“曲线和方程”这一节，按教参要求是两课时．鉴于本节在解
析几何中的重要地位，教案设计是第一堂课着重引出“曲线的方程”和
“方程的曲线”的概念；第二堂课着重研究证明某曲线C的方程是
f(x，y)=0．
由于在2．2节“求曲线的方程”中，指出了求曲线的方程的 5个
步骤，而课本中特别指明：“除个别情况外，化简过程都是同解变形过
程，步骤(5)可以省略不写”．同学们高兴的是步骤(5)可以省略不写，
而忽略了“同解变形过程”及“如有特殊情况，可适当予以说明”．在
提倡素质教育的今天，对学生应用能力的要求日益加强．就目前高中数
学对学生的要求，已经到了某已知曲线经过多次平移，再求关于某已知
点(带字母参数的)的对称曲线的方程，并加以证明．这样，高中数学中
的 8种基本对称关系：关于 x轴、关于 y轴、关于直线y=x、关于直线y=－
x、关于直线x=a(a≠0)、关于直线y=b(b≠0)以及关于原点、关于除原点
外的任一个定点(t，r)的对称曲线的方程的求法及证明已放到了教学日
程上．那么这些问题放哪儿解决？由于这些问题在前一阶段的教学中已
有了不同程度的渗透，所以在这一节中系统解决较好．为此，设计了例
3和例4，为下一堂课铺垫，也为学生在学习“坐标变换”后解决某已
知曲线经过多次平移，再求关于某已知点(或某已知直线)的对称曲线的
方程，并加以证明打下良好的基础．关于除此之外的第 9种对称关系，
即除上述提到前8种对称关系外的任一直线 Ax+by+C=0的对称曲线的方
程则可在以后的学习中适时介绍．
2．在锐意创新的时代，着重培养学生掌握数学的基本思想和提高
学生的数学能力是本教案的出发点．
在高中数学教学中，作为数学思想应向学生渗透、掌握、强化的有：
函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想及运动变
换思想．不是所有的课都能把这些思想自然地溶纳进去，但由于“曲线
与方程”这一节在教材中的特殊地位，它把高中数学中的解析几何和代
数这两个单科紧紧连在一起，为此能把以上数学思想溶纳大半，这不能
不引起我们的高度重视．几何，原始的展现是形．解析几何，主要体现
用数学研究形．为此，这一节教材中的“数形结合”应是涉及到数学思
想中最多的一个．尽管侧重于用“数”研究“形”，同时对学生用
“形”来研究“数”，解决某些代数问题起到了有益的启迪．由于曲线
C中有很多的代数中函数的图象，曲线C是点按某种条件运动而成的，
所以在这一节的教学中应对函数与方程思想、运动变换思想加以足够的
重视．在本教案中例1的直线l和抛物线的一部分C在计算机显示中均
以点运动所成的轨迹出现．并与代数中一次函数和二次函数的图象和方
程相联系，触类旁通．
提高学生的数学能力是高中教学的任务之一，而逻辑思维能力是所
有数学能力的核心．为了实现这一目标，本教案力图让学生主体参与、
主题参与．让学生动手、动脑，通过观察、联想、猜测、归纳等合情推理，
鼓励学生多向思维、积极活动、勇于探索．在学生的活动中，老师谨慎驾
驭，肯定学生的正确，指出学生的错误．引导学生，揭示内涵，从正反
两方面认识“曲线的方程”和“方程的曲线”定义的两个条件，不断地
培养和训练学生的逻辑思维能力．
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