线段的定比分点教案 1
教学目标
1．深刻理解线段的定比分点中定比λ的含义，λ＞0，λ＜0，λ
＝1的意义，了解λ≠－1的意义．
2．会运用有向线段的定比分点和中点的有关公式，要能对公式作
辩证的理解运用．
教学重点和难点
重点：线段定比分点分线段所成定比λ值的确定，线段定比分点
公式的理解、记忆和灵活运用．
难点：使用线段的定比分点公式时，对定比λ值的确定，根据λ
＞0，λ＜0，判断分点的位置．对线段定比分点公式要熟悉记忆，要注
意线段的起点和终点．
教学过程设计
(一)教师讲述新课
1．设P1、P2是直l上的两点，点P是不同于P1、P2的任意一点，则存
在一个实数λ，使 ＝λ ，我们把λ叫点P分有向线段 所成
的比，点P叫 的定比分点．
如图，当点P在线段 上时，λ＞0．
(1)确定定比λ的方法是：P点是内分点，λ＞0；P点是外分点λ
＜0．|λ|的确定方法是，起点到分点的线段长比上分点到终点的线段
长．
(2)λ＝0，|P1P|＝0，P点与P1点重合．
λ＝1．|P1P|＝|PP2|．P点为 的中点．
P点与P2点重合，适合 ＝λ 的实数λ不存在．
当P点为外分点时，|P1P|≠|PP2|．则λ≠－1．
2．现在来求有向线段 定比分点P的坐标公式．
设有向线段 的起点P1(x1，y1)，终点P2(x2，y2)，分点为
P(x，y)，定比为λ(λ≠－1)．
即 =λ ．
＝(x－x1，y－y1)． ＝(x2－x，y2－y)
∵ =λ
(x－x1，y－y1)=λ(x2－x，y2－y)．
这是有向线段 的定比分点公式．
(1)定比分点公式的特征：分母为1＋λ，这里λ≠－1，分子上，
起点在前，终点在后．
(2)当λ＝1时，P点为 的中点．这时
这是中点坐标公式．
(3)线段定比分点的公式有两种形式，前面介绍的是定比分点的坐
标式．我们还可推出定比分点的向量式．
在平面内任取一点O，设 ＝ ， ＝ ， =λ ．
∵ ＝ － ＝ － ， ＝ － ＝ － ．
则 － ＝λ( － )， － ＝λ －λ ．
这公式即线段定比分点的向量式．在解决一些几何问题时，有时是
很方便的．
(4)定比分点中的起点、分点、终点是相对的，要灵活去理解．
如P点是 的内分点，P1是起点．P2是终点，P是分点．也可理
解为P1是 的外分点，P是起点，P2是终点，P1是 的外分点．这种
理解对灵活应用公式解决问题很有帮助．
(二)学生练习、板演、教师辅导讲评．
练习 1 课本练习3
(1) |P1P2|＝5cm，| |＝1cm，P在 P1P2上，λ＞0．
(2) |P1P2|＝5cm，|P2P|＝10cm，P在 P1P2的延长线上，λ＜0，
(3) |P1P2|＝5cm，|PP1|＝1cm，P在 P2P1的延长线上λ＜0，
练习 2 课本练习1
练习 3 课本练习2
(1)P(2，3)关于原点O对称的点为P'(x'，y')．
(2)设 R(2，－3)关于原点O对称的点为R'(x'，y')
y的值．
练习 5 已知P1(x，5)，P2(－2，y)在 所在直线上取一点
P(1，1)，使| |＝
2| |，求P1、P2点的坐标．
∴ P1点的坐标(7，5)，P2点的坐标(－2，－1)．
∴ P1点的坐标(－5，5)，P2点的坐标(－2，3)．由于起点、终点、
分点应相对理解，这个问题我们可从另一个角度去理解．
如图，| |＝2| |，则P2点为 的中点，应用中点公式
练习 6 已知△ABC中，A(5，－7)，B(－1，1)，C(1，－4)，求：
∠A平分线AD的长度．
分析：求∠A平分线|AD|，因A点已知，只要求出D的坐标即可．
把D点看作B、C两点的内分点，
解：∵AD是∠BAC的平分线，| |＝10，| |＝5．
设D点坐标为(x，y)
(三)教师总结
1．应用线段定比分点公式的关键，是对定比λ的正确理解和确定．
必须明确定比λ的符号的确定和绝对值的确定．同时还应明确，定比
λ数值的变化引起分点P的位置变化．
2．定比分点公式的特征．及对起点、终点、分点的辩证理解．
(四)作业：习题3．5 1、2、3、4、5．
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