弧度制教案
一、素质教育目标
(一)知识教学点
1．弧度制的定义．
2．用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式．
3．角度制与弧度制的换算．
4．角的集合与实数集R之间建立的一一对应关系．
(二)能力训练点
1．理解并掌握弧度制定义，领会弧度制定义的合理性．
2．熟练地进行角度制与弧度制的换算．
3．掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式解题．
(三)德育渗透点
使学生通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的
方法，二者是辩证统一的，而不是孤立、割裂的关系．
二、教学重点、难点、疑点及解决办法
1．教学重点：理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制的互化
换算；弧度制的运用．
2．教学难点：理解弧度制定义，弧度制的运用．
3．教学疑点：一个角的弧度由该角的大小来确定，与求比值时所取的半径
大小无关．
三、课时安排
本课题安排1课时．
四、教与学过程
(一)复习角度制
师：我们在初中几何中研究过角的度量，当时是用度做单位来度量角，1°
的角是如何定义的？
师：这位同学答得完全正确，我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度
制，在数学和其它许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度——弧度
制，它是如何定义的呢？
(二)弧度制定义
师：我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．如图
提问：若弧是一个半圆，则其圆心角的弧度数是多少？若弧是一个整圆呢？
师：如果圆心角表示一个负角，且它所对的弧长l=3πγ，那这个圆心角
的弧度数是多少？
的弧度数是-3π．
师：下面我们给出弧度制的定义．一般地，我们规定：正角的弧度数为正
数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，任一已知角α的
γ为圆的半径．这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．
提问：为什么可以用弧长与其半径的比值来度量角的大小呢？即这个比值
是否与所取的圆的半径大小无关呢？
(教师启发学生画出如图2-8的示意图，复习初中已学过的弧长公式．)
分别为l和l′，点M和M′到点O的距离(即圆半径)分别为r(r＞0)
半径的比值，由∠α的大小来确定，与所取的半径大小无关，仅与角的大
小有关．
的长等于圆弧所对圆心角的弧度数的绝对值与半径的积．这个圆弧长公
式，用弧度制表示比用角度制表示简便得多．
长，R是圆的半径．
(三)角度制与弧度制的换算
师：我们已经知道若弧是一个整圆，它的圆心角是周角，其弧度数是
2π，而在角度制里它是360°，因此
360°=2π弧度
→180°=π弧度
提问：1°等于多少弧度？1弧度等于多少度？
生：由180°=π弧度，等式两边同除以180可得到：
师：进一步我们还可通过计算得到
下面我们可利用这个公式进行角度制与弧度制的换算．
例2 把22°30′化成弧度．
师：同学们在进行角度制与弧度制互化时要抓住180°=π弧度这个关键．
下面请大家写出一些特殊角的弧度数．
师：度数与弧度数的换算，还可利用《中学数学用表》中的《度、分、秒化弧度
表》、《弧度化度、分、秒表》来进行，用法详见表中说明．
(四)角的集合与实数集R的一一对应关系．
师：用弧度制来度量角，实际上是在角的集合与实数集R之间建立这样的
一一对应关系：(如图2—10所示)
每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每
一个实数也都有唯一的一个角(角的弧度数等于这个实数)与它对应．
于是，就可以把三角函数看成是以实数为自变量的函数，它的自变量的意
义可以有多种解释，从而使三角函数的应用更加广泛．在高等数学与科学研究
中所以普遍采用弧度制，这是原因之一．
(五)角度制与弧度制的比较
师：引进弧度制后，我们应将它与角度制进行对比，同学们应明确：(1)弧
度制是以“弧度”为单位度量角的制度，角度制是以“度”为单位度量角的制
度；(2)1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角(或该弧)的大
度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与半径大小无关的定值．
此外，在角的表示上二者也有区别，(1)用弧度为单位表示角的大小时，
“弧度”两字可以省略不写，这时弧度数在形式上虽是一个不名数，但我们应
当把它理解为名数，如 sin2是指sin(2弧度)．但如果用度(°)为单位表示角
时，度(°)就不能省去；(2)用弧度为单位表示角时，常常把弧度数写成多少
π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数，如45°=
(六)练习
1．把下列各角化成2kπ+α(0≤α＜2π，k∈Z)的形式
2．计算
(2)∵1.5弧度≈57.3°×1.5=85.95°=85°57′，
∴tg1.5≈tg85°57′=14.12．
3．已知扇形周长为10cm，面积为6cm2，求扇形中心角的弧度数．
解：设扇形中心角的弧度数为α(0＜α＜2π)，弧长为l，半径为r，
∴r2-5r+6=0 ∴r1=2，r2=3．
(七)总结
本节课我们学习了弧度制的定义，弧度制与角度制的互化换算以及弧度制
的简单运用，其中理解弧度制的定义及定义合理性是关键．
五、作业
P．130-132中 5—18．
六、板书设计
七、参考资料
《高中数学精讲精练》(一)
《走向成功——析练考》高一数学
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