三角函数公式复习课教案 1
教学目的
(1)通过对三角公式左右两边的角、函数名称、式子结构三方面的观察、
对比，使学生掌握揭示公式的本质特征的方法，从而深刻理解公式，灵
活运用公式．
(2)通过课堂研讨、独立练习、课后编题等多种方式，培养学生的探索
精神，发展学生的创造性思维的能力．
教学过程
一、引入
师：前面我们学习了和、差、倍、半、积等一系列三角公式．请大家解
一道习题：
(板书．)
[选此类例题的标准，应是学生普遍会解，方法多样，但各有优劣，
且需要选用不同的公式．]
(教师巡视，发现几种解法，选三位同学板演．)
生甲：
生乙：
生丙：
(教师将三位同学的解法用红粉笔分别标上法①、法②、法③．)
师：三位同学结果一致，都正确，很好！那么哪种解法更简捷呢？
[刚刚学过几组公式，应允许同学有各种思路，凡解对者均应鼓励，
然后再提出更高要求．]
生：第三种解法最简便．
师：(问学生丙)能不能把你的想法讲讲？
师：好就好在这“上来就看出”！确切地说，他一眼看出了正切半
角公式的逆用．
[先入为主，初学者总是正看公式认得它，逆用就不习惯了，更不
善于变形后的逆用．有意识培养这种多角度辨认公式的能力，十分必
要．]
师：现在我们学习过的公式不少，可谓解题的工具齐备，关键在于
恰当选择．我们不能满足于把题解对，而应力求解得快、方法好．就像
木工的凿、斧、锯、刨样样齐全，但干活时不能拿起一件就用，而应按需
选择．木工熟知每件工具的性能，这是选用工具的依据．同样，我们解
三角问题，也要准确把握每个公式的功能．今天这节三角公式复习课就
是要通过大家共同观察、对比、分析、研讨，总结出各组三角公式的特征
及功能．
(板书课题．)
二、教师引导，剖析公式
师：三角公式的特点及作用体现在哪些方面呢？让我们先看看刚才
用过的正切半角公式．这组公式有哪几个？
(学生回答，教师板书，以熟带不熟．)
[变形公式(*)经常用到，导出半角公式后即应给出．]
师：公式左右两边是形式完全不同的三角函数式，说明公式起了转
化三角函数式的作用．从左到右，很多东西变了．大家观察，有哪些东
西变了？
生：角和三角函数．
(意思对，欠准确，暂不追究，待后纠正．)
师：好！还有呢？(启发)式子结构呢？
生：也变了．
师：三角公式的特点与功能主要就体现在这“三变”上，用数学语
言准确地讲就是通过三角公式可以完成角、函数名称、式子结构(慢述)
这三方面的转化．如能清晰、准确地把握每个三角公式在这三方面转化
的具体特征，就是理解了公式的实质，用起来自然得心应手，下面我们
继续看正切半角公式．
师：(指黑板上公式)左、右两边的角有何不同？
[学生往往只见形式，道不出实质，这正是不能灵活运用知识的根
源，教师对此要深入剖析．]
师：不错．但若将半角公式改写为：
左、右两边的角又有何不同呢？
(学生嘁嘁嚓嚓，教师暂不作结论，而是亮出小黑板，请同学口答
下列逆向填空小型题组，教师板书结论．)
师：(指小黑板)这些其实都是半角公式的变式．要善于从变化的形
式中抓住不变的实质！公式两边角的差别从本质上讲是体现在等式左右
两边角的关系上．到底什么才是半角公式里“角”的本质特征？
生：左边角是右边角的一半．
师：意思对．准确地讲，左式中的角是右式中角的一半．这才是实
质性的特征．半角公式正是由此而命名的(公式的命名一般根据从左向
右正用公式的作用而定)．当然也可以换个说法，右式中的角是左式中
角的二倍．
函数名称的特点显而易见，请问是什么呢？
生：左边是正切，右边均为正、余弦．
师：关于式子结构可以这样讲，左边是三角函数的“整式”(或说
“单项式”)，右边则是三角函数的“分式”或“无理式”．
(略顿，给学生领会上述语言的时间．)
[这样一解剖，就把正切半角公式从各个角度看透了，看活了．]
师：三项特征也恰恰决定了它的三项功能：
第一，从左向右，正用公式，可使半角化单角(扩大角的倍数)；
从右向左，逆用公式，可使倍角化单角(缩小角的倍数)．其余两个
功能请同学自己分析．
生甲：第二，从左向右，“切”化为“弦”；从右向左，“弦”化
为“切”．
生乙：第三，从左向右，三角函数的“整式”化“分式”；从右向
左，三角函数的“分式”化“整式”．
等，这些从高一入学就开始渗透)，要使角统一化，需“倍”变
“单”；要使式子简单化，应将“分式”化“整式”，均与逆用正切半
角公式的功能一致，选用它则是顺理成章的了！依此解题便会摆脱盲目
性，迅速步入捷径．
[该环节是本节的重点，设计的主导思想是：数学公式的特点之一
是关系的确定性，但确定性又往往引起理解的僵化，与之相应的“一背
二套”模式化的公式教学法，屡禁不止，其结果是学生头脑中往往只留
下公式的外壳，既忽视来龙去脉，又不理解实质，灵活运用则无从谈起，
更为有害的是训练了学生僵化的思维方式．现代教学则注重理解结果的
来龙去脉，力克生搬硬套，从而培养学生思维的深刻性．此外，抓公式
的实质，不是凭简单的灌输所能奏效的，而要靠引导．使学生学会思维，
钻进去，就像蚂蚁吃苹果，如果它只在外面爬，总觉得光溜溜，没味道．
一旦咬开一个洞钻进去，就越啃越有滋味了．教师的作用是引导学生
“咬开一个洞”，为此采用小型题组导引法，运用变式揭示了不变的本
质，这样既帮助学生抽象出公式的特征，又促其在理解中加深记忆，把
理解、记忆、运用有机融为一体．]
三、分组研讨，举一反三
师：是不是每个公式都可以这样分析呢？大家最好实践一下．下面
自由结合，把以下两组公式加以解剖．
(板书．)
万能公式：
[学生讨论(讨论结果从略)．学生口述，教师记录要点(见附录——
板书设计)．]
[从初中到高中，不少学生习惯于套用公式解题 而要使之切实掌握
剖析公式实质的方法，仅靠教师作一示范远远不够，还需在学生个体探
索及群体争论的相互补充中得以实现，故设此环节．该环节可依课堂具
体情况机动掌握，研讨一组或多组公式均可．此外，教师巡视、指导时，
应及时向学生指出每组公式的特征并非千篇一律，常常各有侧重，分析
时应注意运用辩证观点．如
侧重式子结构，因而功能也主要是降幂(逆用)或化积(正用)．]
师：(见大家余兴未尽，力求收拢思路，承上启下．)
我们对几组重要三角公式的功能进行了理论上的探讨，目的在于深
化思维，将公式理解透、用得活，切不要把这些当做新的条文死记硬背．
四、练习
师：现在大家一起来做三道练习题．
(出示小黑板．)
求证：
[学生证题，老师巡视．对(1)、(2)的有关问题边巡视边指点，选一解
法较好的同学板演(3)．]
师：证(1)、(2)两题，多数同学方法不错，但仍需注意以下两点．在
第(1)题中，同时采取正、逆两用公式；在第(2)题中，从左推右需扩大角
的倍数，“切”化“弦”，“整式”化“分式”，这三项要求均与正用
半角公式的功能相一致，当然选此组公式最佳，而对半角公式不同形式
的选择也不应忽视．
下面请看这位同学第(3)题的证明，并和自己的证法进行对比．
生：(板书)欲证原式，只需证
即可．……
师：好，我们只看这一行就够了．现在不少同学已恍然大悟，这叫
做创造条件运用公式．为此，一要熟知公式结构，二要眼光敏锐，善于
联想．希望大家勤于实践，善于总结走弯路的教训，优秀的解法就会从
你们中间诞生！
[该三道练习题的选取原则是：紧密配合本节研讨的三组公式(其他
公式的巩固还有作业及后两课时的复习)；训练公式的正用、逆用和变用；
兼顾三角恒等式证明的几种基本思路，如从左推右，从右推左及转化为
与之等效的恒等式再证；使学生认识到公式的功能不是机械套用所能体
现的，关键在于理解深，运用活．该三道练习的讲评，需视课堂具体情
况而定，甚至亦可给学生一个在弯路中回味的时间，把讲评化整为零于
个别辅导中一一进行．]
五、小结
师：通过本节课的学习，使我们认识到解题有多法，重要在选择，
而择优需靠对方法的理解．我们分析公式的三项功能，就是对其从三个
不同角度去认识、去理解、去掌握，从而增强解题的针对性与目的性．希
望大家在更多的解题实践中继续体会、总结、探索．
六、布置作业
分析和、积互化两组公式的特征及功能(同桌互问对答)．
从课本的习题中择其一改编成一个新的恒等式(难度高于课本题)，
与同桌交换，证后相互批改．
[作业不限于书面解题，可兼有理解性作业．和、积互化是三角公式
中最易记错用混的公式，作为思考作业很有必要．此外，自编或改编习
题是一种颇能激发学生兴趣的作业．力求表现自我是高中生的心理特点．
常有这样的情况，老师让编一题，学生自编多题，思维活跃者更想“独
出心裁”．此法实为鼓励创造意识、开发智力的有效之举．评改之后，
如再举办专项编题展览，则更能激发学生的学习热情，促进学生的思维
水平、表达能力的较大提高．]
教案说明
思维型复习课是以提高学生思维素质为目的，把复习作为思维深化
与扩展的训练过程，使其成为探索的继续．这样，学生的收获不仅仅是
解题，而是更为重要的数学思想和方法！
复习不等于重复，复习也不等于单纯解题，而应温故知新，温故求
深．本复习课就是以此为宗旨的．
三角函数公式复习课共 3课时，安排梗概如下：
第一课时，通过对一道三角函数化简题的不同解法的对比，引导学
生如何恰当地选择公式，进而启发学生去剖析三组公式的特征及功能，
深化对公式的理解．
第二课时，在对公式深入理解的基础上，由易而难进行灵活、敏捷
思维的训练，通过变式题组计时赛使学生运用公式解题更为纯熟．
第三课时，在熟练掌握公式的基础上，进行综合性、技巧性训练，
力求使学生把三角函数公式与其他数学知识有机结合，拓宽解题思路．
三课时之间既相互衔接，又体现了复习的多角度与多层次．
本教案为第一课时．
/10
