实数与向量的积教案 1
教学目标
1．理解实数与向量的积的定义及运算律，能准确熟练地进行实数
与向量积的运算．
2．理解掌握向量共线的充要条件，能正确应用这一条件去判断向
量是否共线．
教学重点和难点
重点：实数与向量的积的定义，运算律．向量共线的充要条件．
难点：向量共线充要条件的正确理解和灵活应用．
教学过程设计
(一)思考问题：
设 是一个非零向量，完成下列计算：
① + + =________ ②(－ )+(－ )+(－ )=________
+ + =3 ．其结果 3 仍是一个向量，这个向量的方向与 相同，
长度是向量 的长度的 3倍，即|3 |=3| |．
(－ )+(－ )+(－ )=－3 ．其结果－3 仍是一个向量，这个向量
的方向与 相反，长度是 的长度的 3倍，即|－3 |=3| |．
3 与－3 都是一个实数与一个向量的积，下面我们就一般情况研
究．
(二)导入新课．
(1)实数与向量的积．
实数λ与向量 的积是一个向量，记作λ ：它的方向和长度规
定如下：
①|λ |=|λ|| |． ②当λ＞0时，λ 的方向与 的方向相同；当
λ＜0时，
λ 的方向与 的方向相反；当λ=0时，λ = ．
根据实数与向量的积的定义，有如下的运算律．
设λ、μ为实数，(1)λ(μ )=(λμ) ．
(2)(λ+μ) =λ +μ ．
(3)λ( + )=λ +λ ．
这些运算律的成立，同学们可通过具体例子去进行验证．下面给出
的证明供有余力的同学参考．证明的关键是证明等式两边的向量模相等，
方向相同．
(1)λ(μ )=(λμ) ．
证明：如λ=0，μ=0， = ，中至少有一个成立，等式成立．
如λ≠0，μ≠0， ≠ ，因|λ(μ )|=|λ||μ |=|λ||μ|| |，|
(λμ) |=|λμ|| |=
|λ||μ|| |，证出|λ(μ )|=|(λμ) |．
又若λ、μ同号，等式左、右两边向量的方向都与 同向；若λ、μ
异号，则等式左、右两边向量的方向都与 反向．证出等式两边的向量
同向．
(2)(λ+μ) =λ +μ ．
证明：如λ=0，μ=0， = 中至少有一个成立，等式成立．
如λ≠0，μ≠0， ≠ 时，可分如下两种情况：
①如λ、μ同号，则λ 与μ 同向，则|(λ+μ) |=|λ+μ|| |=(|
λ|+|μ|)| |．
|λ +μ |=|λ |+|μ |=|λ|| |+|μ|| |=(|λ|+|μ|)| |．
证出|(λ+μ) |=|λ +μ |．
由λ、μ同号，等式两边的向量与 同向或反向．
∴等式成立．
②如λ、μ异号，当|λ|＞|μ|时，等式两边向量的方向都与λ 同
向；当|λ|＜
|μ|时，等式两边向量都与μ 的方向相同．
又|(λ+μ) |=|λ+μ|| |=||λ|－|μ||·| |．
|λ +μ |=||λ |－|μ ||=||λ|－|μ||·| |．
(3)λ( + )=λ +λ ．
证明：当 = ， = 中至少有一个成立，或λ=0，λ=1时等式
成立．
当 ≠ ， ≠ ，且λ≠0，λ≠1时，分如下两种情况：
由作法知： ∥ ，有∠OAB=∠OA1B1．|A1B1|=λ|AB|．
因之O、B、B1在同一直线上，| |=|λ· |．
与 的方向相同．∴等式成立．
②当λ＜0时，由图可类似证明等式成立．
例 1．计算：(1)(－3)×4
(2)3( + )－2( － )－
(3)(2 +3 － )－(3 －2 + )
(学生练习：板演)．
(1)原式=(－3×4) =－12 ，
(2)原式=3 +3 －2 +2 － =5 ，
(3)原式=2 +3 － －3 +2 － =－ +5 －2 ．
(2)向量共线的充要条件．
对于向量 、 ，( ≠ )．如果有一个实数λ，使 =λ ，由实数
与向量积的定义， 与 共线．
反过来，已知向量 与 共线， ≠ ，且向量 的长度是向量
的长度的μ倍，即|b|∶|a|=μ，那么当 与 同向时，有 =μ ，当
与 反向时，有 =－μ ．这就是说如果 与 共线，且 ≠ ，那么
有且只有一个实数λ，使 =λ ．
于是我们得到向量共线的判定定理：
定理：向量 与非零向量 共线的充要条件是有且只有一个实数
λ，使得 =λ ．
在使用这一定理时，应注意：
①定理中要求 ≠ ．
②向量的平行与直线平行是有区别的，直线平行不包括重合的情况．
③应用这一定理有时可较简捷地证明三点共线和两直线平行的问题．
例 3．判断 、 向量是否共线．
=2 －2 =2( － )=2(m－1)
当m－1≠0、m≠1时．
即 与 共线．
当m=1时， = ， =2 －2 =
我们规定 与任一向量平行． 与 共线．
例 4．证明梯形的中位线定理．
已知：梯形ABCD中，E、F为两腰的中点，EF为梯形的中位线．
证明：在梯形ABCD中，E、F为两腰AD、BC的中点．
(三)课堂练习．
3．课本练习 4．
(四)小 结．向量共线的判定定理．
(五)作 业．习题 5．3 1，2，3，4，5．
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