平面向量的坐标运算教案 1
教学目标
1．理解平面向量的坐标表示方法，包括起点是坐标原点的向量坐
标表示法，起点不是坐标原点的向量坐标表示法、相等向量的坐标表示
法．
2．掌握已知平面向量的和、差、实数与向量的积的坐标表示法．
教学重点和难点
重点：平面向量的坐标表示法，特别是起点不是坐标原点的向量坐
标表示法．平面向量的和、差、实数与向量的积的坐标运算．
难点：起点不是坐标原点的向量的坐标表示．
教学过程设计
(一) 复习平面向量的基本定理：
如果 、 是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内任
一向量 ，有且只有一对实数λ1、λ2，使 ＝λ1 、λ2 ．这里 、
表示这一平面内的一组基底．平面向量的基本定理说明：同一平面内
任一向量都可沿两个不共线的基底进行分解．
(二)导入新课
1．平面向量的坐标表示
在直角坐标平面内，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量
、 作为基底，由平面向量基本定理，对平面内任一向量 ，有且只
有一对实数x，y，使 ＝
x ＋y ．我们把(x，y)叫向量 的(直角)坐标．其中x叫 在x
轴上的坐标．y叫 在y轴上的坐标． ＝(x，y)叫向量的坐标表示．
(1)目前我们已掌握了向量的三种表示方法：
表示法是向量的代数表示法，它有利于向量的运算．
(2)根据向量可以平移的观点，平面内与向量 相等的向量的坐标
也为(x，y)．
(3)显然： ＝(1，0)， ＝(0，1)， ＝(0，0)．
(4)在坐标平面内设 ＝x ＋y ，向量 的坐标为(x，y)，这
就是点A的坐标，反过来点A的坐标(x，y)就是向量 的坐标．因此，
在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对有序实数对唯一表
示．
(5)设 A点的坐标为(x1，y1)，B点坐标为(x2，y2)
2．平面向量的坐标运算
(Ⅰ)向量的加法：已知向量 ＝(x1，y1)， ＝(x2，y2)．两向量
的和：
＋ ＝(x1 ＋y1 )＋(x2 ＋y2 )
＝(x1＋x2) ＋(y1＋y2) ．
(Ⅱ)向量的减法：已知向量 ＝(x1，y1)， ＝(x2，y2)．两向量
的差：
－ ＝(x1 ＋y1 )－(x2 ＋y2 )
＝(x1－x2) ＋(y1－y2) ．
(Ⅲ)实数与向量的积：已知向量 ＝(x，y)和实数λ．
λ ＝λ(x ＋y )＝λx ，λy ．
(1)两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．
实数与向量积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．
(2)根据向量差的坐标运算，我们可以得到起点不是原点的向量的
坐标表示．
设A点(x1，y1)，B点(x2，y2)．
求向量 的坐标．
作向量 、 ．
＝ － ．即 ＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)．
由此得到：一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终
点坐标减去始点坐标．
(三)学生课堂练习 (黑板板演，加课堂练习)
1．课本练习3．已知A、B两点的坐标，求 、 的坐标．
(1) ＝(3，4)， ＝(－3，－4)．(2) ＝(9，－1)，
＝(－9，1)．
(3) ＝(0，2)， ＝(0，－2)． (4) ＝(5，0)， ＝
(－5，0)．
2．课本练习1
(1) + ＝(3，6)， － =(－7，2)．(2) + =(1，11)，
－ =(7，－5)
(3) + ＝(0，0)， － ＝(4，6)． (4) + =(3，4)，
－ ＝(3，－4)．
3．课本练习2 －2 +4 ＝(－6，－8)，4 +3 ＝(12，5)．
4．课本练习4 ＝(1，－1)， ＝(1，－1)， ＝ ．
∴ AB∥CD．
(四)教师讲解例题，巩固提高
例 1 已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为(－2，1)，(－
1，3)，(3，4)，求顶点D的坐标．
分析：平行四边形ABCD中， ＝ ．由此来确定D点的坐标．
解：设D点坐标为(x，y)．
＝(1，2)， ＝(3－x，4－y)．
由 ＝ ． (1,2)＝(3－x，4－y)．
∴D点坐标为(2，2)．
例 2 已知A(1，－2)，B(2，1)，C(3，2)，D(－2，3)，以 、
为一组基底来表示 ＋ ＋ ．
分析：向量 ＋ ＋ 的坐标可求出， 、 的坐标可求出．
设 ＋ ＋ ＝λ1 +λ2 ．可求出λ1、λ2．
解： ＝(－3，5)， ＝(－4，2)， ＝(－5，1)．
＋ ＋ ＝(－3，5)＋(－4，2)＋(－5，1)＝(－12，8)．
＝(1，3)， ＝(2，4)．
＋ ＋ ＝λ1 ＋λ2 ，
(－12，8)＝λ1(1，3)＋λ2(2，4)＝(λ1＋2λ2，3λ1＋4λ2)．
∴ ＋ ＋ ＝32 －22 ．
(五)小结：教师总结重点内容
1．向量的坐标表示 ＝(x，y)．
2．起点不是原点的向量的坐标求法，A(xA，yA)，B(xB，yB)，
＝(xB－xA，yB－yA)．
一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点
坐标．
3．向量的坐标运算 ＝(x1，y1)， ＝(x2，y2)．
＋ ＝(x1＋x2，y1＋y2)， － (x1－x2，y1－y2)．
λ· ＝(λx1，λy1)．
(六)作业 习题 5．4 1、2、3、4、5．
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