平面向量数量积的坐标表示教案 1
教学目标
1．正确理解掌握两个向量数量积的坐标表示方法，能通过两个向
量的坐标求出这两个向量的数量积．
2．掌握两个向量垂直的坐标条件，能运用这一条件去判断两个向
量垂直．
3．能运用两个向量的数量积的坐标表示去解决处理有关长度、角度、
垂直等问题．
教学重点难点
重点：两个向量数量积的坐标表示，向量的长度公式，两个向量
垂直的充要条件．
难点：对向量的长度公式，两个向量垂直的充要条件的灵活运用．
教学过程设计
(一)学生复习思考，教师指导．
1．A点坐标(x1，y1)，B点坐标(x2，y2)．
＝________ ＝________
2．A点坐标(x1，y1)，B点坐标(x2，y2)
＝________
3．向量的数量积满足那些运算律？
(二)教师讲述新课．
前面我们已经学过了两个向量的数量积，如果已知两个向量的坐标，
如何用这些坐标来表示两个向量的数量积，这是一个很有价值的问题．
设两个非零向量为 ＝(x1，y1)， ＝(x2，y2)． 为 x轴上的
单位向量， 为y轴上的单位向量，则 ＝x1 ＋y1 ， ＝x2
＋y2
这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．
引入向量的数量积的坐标表示，我们得到下面一些重要结论：
(1)向量模的坐标表示：
(2)平面上两点间的距离公式：
向量 的起点和终点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
＝
(3)两向量的夹角公式
设 ＝(x1，y1)， ＝(x2，y2)， ＝θ．
4．两向量垂直的充要条件的坐标表示
＝(x1，y1)， ＝(x2，y2)．
即两向量垂直的充要条件是它们对应坐标乘积的和为零．
(三)学生练习，教师指导．
练习1：课本练习1．
已知a(－3，4)， (5，2)．
练习2：课本练习2．
已知 ＝(2，3)， ＝(－2，4)， ＝(－1，－2)．
· ＝2×(－2)＋3×4＝8，( ＋ )·( － )＝－7．
·( ＋ )＝0，(a＋b)2＝(0，7)·(0，7)＝49．
练习3：已知A(1，2)，B(2，3)，C(－2，5)．
求证：△ABC是直角三角形．
证：∵ ＝(1，1)， ＝(－3，3)， ＝(－4，2)．
经检验， · ＝1×(－3)＋1×3＝0．
∴ ⊥ ，△ABC是直角三角形．
(四)师生共同研究例题．
例1：已知向量 ＝(3，4)， ＝(2，－1)．
(1)求 与 的夹角θ，
(2)若 ＋x 与 － 垂直，求实数x的值．
解：(1) ＝(3，4)， ＝(2，－1)．
(2) ＋x 与 － 垂直，
( ＋x )·( － )＝0， ＋x ＝(3，4)＋x(2，－1)＝(2x
＋3，4－x)
－ ＝(3，4)－(2，－1)＝(1，5)．
例2：求证：三角形的三条高线交于一点．
证：设△ABC的 BC、AC边上的高交于P点，现分别以BC、PA所在直
线为x轴、y轴，建立直角坐标系，设有关各点的坐标为
B(x1，0)，C(x2，0)，A(0，y1)，P(0，y)．
∵ ⊥ ， ＝(－x1，y)， ＝(－x2，y1)．
(－x1)×(－x2)＋y×y1＝0．
即 x1x2＋yy1＝0．
又 ＝(－x2，y)， ＝(－x1，y1)．
· ＝(－x1)×(－x2)＋y×y1＝x1x2＋yy1＝0．
∴ ⊥ ，CP是 AB边上的高．
故三角形的三条高线交于一点．
(五)作业．习题5．7 1，2，3，4，5．
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