向量的加法与减法教案
●教学目标
(一)知识目标
1.向量加法定义；
2.向量加法的平行四边形法则和三角形法则；
3.向量加法的运算律.
(二)能力目标
1.掌握向量加法概念，结合物理学实际理解向量加法的意义；
2.能熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能作出已知两向量的和
向量；
3.理解向量加法满足交换律和结合律，表述两个运算律的几何意义；
4.掌握有特殊位置关系的两个向量的和，比如共线向量、共起点向量、共终点向量等.
●教学重点
向量加法的平行四边形法则与三角形法则.
●教学难点
对向量加法定义的理解.
●教学方法
启发引导式
启发学生在理解向量加法定义时要结合图形语言，在叙述向量加法的平行四边形法则
与三角形法则实质相同时应提前复习相等向量的概念特点，即任意两个相等的非零向量，
都可用同一条有向线段来表示.
●教具准备
投影仪、幻灯片
第一张：任意两向量的不同情形(记作§5.2.1 A)
第二张：本节例题(记作§5.2.1 B)
●教学过程
Ⅰ.复习回顾
师：上一节，我们一起学习了向量的有关概念，明确了向量的表示方法，了解了零向
量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并接触了这些概念的辨析判断.
另外，向量和我们熟悉的数一样可以进行加减运算，这一节，我们先学习向量的加法.
Ⅱ.讲授新课
师：我们先给出向量加法的定义
1.向量加法的定义
已知ａ，ｂ，在平面内任取一点 A，作 AB＝ａ， BC＝
ｂ，则向量 AC 叫做ａ与ｂ的和，记作ａ＋ｂ.
即ａ＋ｂ＝ AB＋BC＝ AC .
求两个向量和的运算叫向量的加法.
2.向量加法的三角形法则
师：在定义中所给出的求向量和的方法就是向量加法的三角形法则，运用这一法则时
要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量
的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量.
3.向量加法的平行四边形法则
如图，由于平行四边形对边平行且相等，则可把向量ｂ的起
点由 B 移到 A，即 AD =BC =ｂ，则： AC ＝ AB＋ BC＝
AB＋ AD
即：在平面内过同一点 A 作 AB＝ａ， AD＝ｂ，则以
AB、AD 为邻边构造平行四边形 ABCD，则以 A为起点的对角线向量
AC 即ａ与ｂ的和，这种方法即为向量加法的平行四边形法则.
说明：上述两种方法实质相同，但应用各有特色，三角形法则适合于首尾相接的两向
量求和，而平行四边形法则适合于同起点的两向量求和，但两共线向量求和时，则三角形
法则较为合适.
4.向量加法所满足的运算律
交换律：ａ＋ｂ＝ｂ＋ａ
结合律：(ａ＋ｂ)＋с＝ａ＋（ｂ＋с）
说明：运算律验证引导学生完成.
师：下面我们通过例题来进一步熟悉向量加法的三角形法则与平行四边形法则.
(给出投影片§5.2.1 B)
［例1］如图，已知向量ａ，ｂ，求作向量ａ＋ｂ.
分析：此题可以应用三角形法则也可应用平行四边形法则
求解，但应注意两种法则的适用前提不同，若用三角形法则，
则应平移为两向量首尾相接；若用平行四边形法则，则应平移
为两向量同起点情形.
作法一：设ａ＝ AB，ｂ＝CD，过点 B作 BE＝CD＝ｂ，则根据向量加法的三
角形法则可得 AE＝ AB＋BE＝ａ＋ｂ
作法二：过 A 作 AE＝CD＝ｂ，然后根据向量加法的平行四边形法则，以
AB、AC作出的平行四边形的对角线 AF ＝ａ＋ｂ.
评述：在求作两已知向量的和向量时，对于向量加法的三角形法则和平行四边形法则，
学生可根据具体情况灵活运用.
［例2］一艘船从A点出发以２ 3 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水
的流速为2 km/h，求船实际航行速度的大小与方向(用与流速间的夹角表示).
分析：速度是一个既有大小又有方向的量，所以可以用向量表示，速度的合成也就是
向量的加法.
解：如图，设 AD表示船向垂直于对岸行驶的速度， AB表示
水流的速度，以 AD、AB作邻边作??ABCD，则 AC 就是船实际航行的
速度.
在 Rt△ABC中，｜ AB｜＝２，｜BC｜＝２ 3，
∴｜ AC ｜＝ 4)32(2 2222 BCAB
∵tanCAB＝ 60,32
32 CAB
答：船实际航行速度的大小为4 km/h，方向与流速间的夹角为 60°.
评述：此题说明在物理学中有关速度合成等问题可以运用向量的知识来解决.
Ⅲ.课堂练习
课本Ｐ 99练习1，2，3，4.
Ⅳ.课时小结
师：通过本节学习，要求大家在理解向量加法定义的基础上，掌握向量加法的三角形
法则与平行四边形法则，并了解向量加法在物理学中的应用.
Ⅴ.课后作业
(一)课本Ｐ 102习题5.2 1，2，3
(二)1.预习课本 P100～Ｐ 102.
2.预习提纲：
(1)向量减法的定义；
(2)向量减法的三角形法则；
(3)向量减法与加法的联系.
●板书设计
§5.2.1 向量的加法与减法(一)
1.向量加法定义 3.向量加法的平行四边形法则 5.学生板演练习
2.向量加法的三角形法则 4.向量加法的运算律
●备课资料
1.对三角形法则的理解
我们知道，向量加法的三角形法则是：
若ａ= AB，ｂ＝BC，
则ａ＋ｂ＝ AB＋BC＝ AC (如图（1）所示)①
向量减法的三角形法则是：
若ａ＝OA，ｂ＝OB，
则ａ－ｂ＝OA－OB＝BA (如图（2）所示)②
上述两个法则的图示内容是显然可见的，同学们一般都较为注意，而对于两个法则的
式子即(1)、(2)两式的内容，一些同学却不太注意，实际上，吃透这两个法则的式子内容也
是非常重要的.
向量加法的三角形法则的式子内容是：两个向量(均指用两个字母表示的向量)相加，
则表示第一个向量终点的字母与表示第二个向量起点的字母必须相同(否则无法相加)，这
样两个向量的和向量是以第一个向量的起点的字母为起点，以第二个向量的终点的字母为
终点.
●教学后记
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