0 0 类别 : 教案

函数的性质 　 教学目标 1．正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及 函数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性． 2．从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特 征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法． 3．培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合 等数学思想方法解决问题的能力． 重点难点 这部分内容的重点是对函数单调性和奇偶性定义的深入理解． 函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论．函数y=f(x)在给定区间上的 单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质， 但不一定是函数在定义域上的整体性质．函数的单调性是对某个区间而言的， 所以要受到区间的限制． 对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和 f(-x)=-f(x)这两 个等式上，要明确对定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实 质是：函数的定义域关于原点对称．这是函数具备奇偶性的必要条件．稍加推 广，可得函数f(x)的图象关于直线x=a对称的充要条件是对定义域内的任意 x，都有f(x+a)=f(a-x)成立．函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反 映． 这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用．根据已知条件，调动 相关知识，选择恰当的方法解决问题，是对学生能力的较高要求． 教学过程 复习函数的性质，可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性 和奇偶性的定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合 函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化． 一、对函数单调性和奇偶性定义的理解 例 1　 判断下列函数的奇偶性： 分析　 函数按奇偶性分为：奇函数非偶函数，偶函数非奇函数，既奇又 偶函数，非奇非偶函数． 所以f(x)的定义域为[-1，0)∪(0，1]．且x＋3＞0． 因此，f(x)是奇函数． 是非奇非偶函数． 所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数． 评述　 判断函数奇偶性的步骤是：先看定义域是否关于原点对称， 轴、原点的对称性是否成立． 例 2　 下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象 一定通过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函 数一定是f(x)=0(x∈R)，其中正确命题的个数是　　 [　　　 ] A．1　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．2 C．3　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．4 分析　 偶函数的图象关于y轴对称，但不一定相交，因此③正确，①错 误． 奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点，因此②不正确． 若y=f(x)既是奇函数，又是偶函数，由定义可得f(x)=0，但不一定x∈R， 如例1中的(3)，故④错误，选A． 评述　 既奇又偶函数的充要条件是定义域关于原点对称且函数值恒为零． 例 3　 证明f(x)=-x3+1在(-∞，+∞)上是减函数． 分析　 用定义证明函数单调性的步骤是：(1)在给定区间上任取x1＜x2； (2)确定f(x1)-f(x2)的符号；为了确定符号，有时需进行分类讨论；(3)依定 义作出结论．此题中 证明　 任取x1＜x2，则 ＞0．因此f(x)在(-∞，＋∞)上是减函数． 评述　 f(x1)-f(x2)可通过因式分解、配方、通分，有理化等方法转化可判 断f(x1)- f(x2)符号的形式，需要不断调整自己的思路，寻求一种最佳方案． 例 4　 已知y=f(x)是奇函数，它在(0，+∞)上是增函数，且f(x)＜0， 只要通过已知条件判断f(x1)，f(x2)和 f(x2)-f(x1)的正负即可． 证明　 任取x1，x2∈(-∞，0)，且x1＜x2，则-x1＞-x2＞0． 因为y=f(x)在(0，+∞)上是增函数，且f(x)＜0，所以f(-x1)＜f(-x2)＜ 0． 又y=f(x)是奇函数，于是f(-x2)=-f(x2)，f(-x1)=-f(x1)，所以-f(x2) ＜-f(x1)＜0即 f(x2)＞f(x1)＞0． 评述　 要明确证明的目标，认真分析已知条件与定义之间的关系，从而 将(-∞，0)内的x1，x2，转为(0，+∞)内的-x1，-x2，使证明顺利进行． 二、复合函数的性质 复合函数y=f[g(x)]是由函数 u=g(x)和 y=f(u)构成的，因变量 y通过中间 变量u与自变量 x建立起函数关系，函数 u=g(x)的值域是y=f(u)定义域的子集． 复合函数的性质由构成它的函数性质所决定，具备如下规律： (1)单调性规律 如果函数 u=g(x)在区间［m，n］上是单调函数，且函数y=f(u)在区间 [g(m)，g(n)] (或[g(n)，g(m)])上也是单调函数，那么 若 u=g(x)，y=f(u)增减性相同，则复合函数y=f[g(x)]为增函数；若 u=g(x)，y= f(u)增减性不同，则 y=f[g(x)]为减函数． (2)奇偶性规律 若函数 g(x)，f(x)，f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的，则 u=g(x)，y=f(u)都是奇函数时，y=f[g(x)]是奇函数；u=g(x)，y=f(u)都是偶函 数，或者一奇一偶时，y= f[g(x)]是偶函数． 函数和一个幂函数复合而成的． 求复合函数单调区间的步骤是： (1)求函数的定义域； (2)用换元法把复合函数分解成常见函数； (3)求各常见函数的单调区间； (4)把中间变量的变化区间转化成自变量的变化区间； (5)按复合函数单调性的规律，求出复合函数的单调区间． 解　 由-x2＋2x＋3＞0得定义域为(-1，3)．所给函数可以分解为 是增函数，在[1，3)上是减函数． 评述　 函数的单调区间都应是定义域的子区间． 区间的增减性． 解　 f(x)的定义域为(0，+∞)． 在(0，+∞)上是减函数． 评述　 自变量 x的取值范围与中间变量u的取值范围容易发生混淆，计 算时应特别仔细． 例 7　 若y=loga(2-ax)在［0，1］上是x的减函数，则 a的取值范围是　 [　　　 ]． A．(0，1) B．(1，2) C．(0，2) D．[2，+∞) 分析　 本题存在多种解法，但不管哪种方法，都必须保证：①使loga(2- ax)有意义，即 a＞0且 a≠1，2-ax＞0．②使loga(2-ax)在[0，1]上是x的减 函数．由于所给函数可分解为y=logau，u=2-ax，其中 u=2-ax在 a＞0时为减函 数，所以必须 a＞1；③[0，1]必须是y=loga(2-ax)定义域的子集． 解法一　 因为f(x)在［0，1］上是x的减函数，所以f(0)＞f(1)，即 loga2＞loga(2-a)． 解法二　 由对数概念显然有a＞0且a≠1，因此 u=2-ax在［0，1］上是 减函数，y= logau应为增函数，得a＞1，排除 A，C，再令 故排除 D，选B． 评述　 本题为 95年全国高考试题，综合了多个知识点，无论是用直接法， 还是用排除法都需要概念清楚，推理正确． 分析　 函数的最值问题与其单调性密切相关．因此，可先确定函数的增 减性． 评述　 换元法是研究复合函数性质的有效方法，用换无法将复合函数分 解成常见函数，再利用其单调性搞清楚复合函数在定义域内增减的变化规律， 即可解决求复合函数最值的问题． 三、函数单调性与奇偶性的综合运用 例 9　 已知f(x)=x5＋ax3＋bx-8，且f(-2)=10，那么 f(2)等于　　　　 [　　　 ]． A．-26 B．-18 C．-10 D．10 分析　 构造函数 F(x)=f(x)＋8，因为 F(-x)+F(x)=0，所以 F(x)为奇函数． 若 F(-2)=10＋8=18，则F(2)=-18=f(2)＋8，所以f(2)=-26．故选A． 评述　 将已知条件进行合理的转化，建立起已知与未知的关系，需要对 函数的性质有深刻的认识，转化思想起着十分重要的作用． 例 10　 定义在R上的任意函数都可以表示成一个奇函数 g(x)和一个偶函 数 h(x)之和，如果 f(x)=lg(10x+1)，x∈R，那么　　　　　　　　　　　　　 [　　　 ]． A．g(x)=x，h(x)=lg(10x+10-x＋2) 分析　 已知条件实质上是一个正确的命题，只要验证选项中 g(x)是否为 奇函数，h(x)是否为偶函数，其和是否等于f(x)． 解　 f(x)=g(x)＋h(x)=lg(10x＋1)，　　　　　　　　　　　　　　　　 ① f(-x)=g(-x)＋h(-x)=lg(10-x＋1)．　　　　　　　　　　　　　　　　 ② 因为 g(x)是奇函数，h(x)是偶函数，所以 g(-x)=-g(x)，h(-x)=h(x)，代 入②得 f(-x)=-g(x)+h(x)=lg(10-x+1)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ③ 将①，③看作以 g(x)，h(x)为元的方程组，解得 故选C． 评述　 此题运用方程思想可使验证过程简化． 例 11　 (1)如果奇函数y=f(x)(x≠0)，在x∈(0，+∞)时，f(x)=x-1，那 么使 f(x-1)＜0的 x的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [　　　 ]． A．x＜0 B．1＜x＜2 C．x＜0或 1＜x＜2 D．x＜2且 x≠0 分析　 先确定f(x)在 x∈(-∞，0)∪(0，+∞)的解析式，或者由已知画 出函数的图象． 解法一　 由奇函数y=f(x)(x≠0)在 x∈(0，+∞)时，f(x)=x-1得 所以在区间(1，+∞)内当且仅当0＜x-1＜1即 1＜x＜2时，f(x-1)＜0． 设 x＜0，则-x＞0，所以f(-x)=-x-1，即 f(x)=x＋1． 因而当x＜1时，f(x-1)=x．所以在区间(-∞，1)内当且仅当x＜0时f(x- 1)＜0．故选C． 解法二　 由已知y=f(x)的图象如图1所示，由图象易得 故选C． f(2)＜3．求a，b，c的值．并讨论当x＜0时，f(x)的单调性．(写出证明 过程) 分析　 从待定系数法入手，再回到函数单调性的定义中去． 解　 因为f(x)是奇函数，所以f(-x)=-f(x)． -bx+c=-(bx＋c)，即c=0． 因为f(1)=2，所以a＋1=2b．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ① 因为a，b，c∈Z，所以a=0或 1．分别代入①解得 因此a=b=1，c=0． 证明任取-1≤x1＜x2＜0，则 因为-1≤x1＜x2＜0，所以0＜x1x2＜1，x1x2-1＜0． 因此f(x1)-f(x2)＞0，即 f(x1)＞f(x2)．所以f(x)在[-1，0)上是减函数． 若x1＜x2≤-1，则 x1x2＞1，x1x2-1＞0．于是f(x1)-f(x2)＜0，即 f(x1) ＜f(x2)．所以f(x)在(-∞，-1］上是增函数． 评述　 函数的性质与函数的概念、最值及不等式等知识联系在一起成为高 考的重点内容，要在灵活运用知识方面下功夫． 例 12　 甲、乙两地相距Skm，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过 c km／h，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成： 可变部分与速度 v(km／h)的平方成正比，比例系数为 b；固定部分为a元． (1)把全程运输成本 y(元)表示为速度 v(km／h)的函数，并指出这个函数的 定义域； (2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶． 分析　 (1)难度不大，抓住关系式：全程运输成本=单位时间运输成本× 全程运输时间，而全程运输时间=(全程距离)÷(平均速度)就可以解决． 故所求函数及其定义域为 但由于题设条件限制汽车行驶速度不超过 ckm／h，所以(2)的解决需要 论函数的增减性来解决． 由于 v1v2＞0，v2-v1＞0，并且 又 S＞0，所以 即 则当 v=c时，y取最小值． 评述　 此题是1997年全国高考试题．由于限制汽车行驶速度不得超过 c，因而求最值的方法也就不完全是常用的方法，再加上字母的抽象性，使难度 有所增大． 能力训练 1．如果奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数且最小值为 5，那么 f(x)在区 间[-7，-3]上是　　 [ 　　　]． A．增函数且最小值为-5； B．增函数且最大值为-5； C．减函数且最小值为-5； D．减函数且最大值为-5． 2．已知函数y=f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)=0 的所有实根之和是 [　　　 ]． A．4 B．2 C．1 D．0 则 f(x) [　　　 ]． A．是奇函数 B．是偶函数 C．可能是奇函数也可能是偶函数 D．不是奇函数也不是偶函数 4．f(x)是定义在(-2，2)上的奇函数，且是单调减函数，当f(2-a)＋ f(2a-3)＜0时，a的范围是 [　　　 ]． A．0＜a＜4 5．已知函数f(x)和 g(x)都是奇函数，且 F(x)=af(x)＋bg(x)+2，若在 (0，+∞)上 F(x)有最大值 8，则在(-∞，0)上 F(x)有 [　　　 ]． A．最小值-8 B．最小值-4 C．最小值-6 D．最大值-8 6．如果 f(x)在(0，2)上是增函数，且关于x的函数y=f(x+2)是偶函数， 那么下列结论正确的是　 [　　　 ]． 7．如果函数f(x)是定义在R上的奇函数且满足 f(x+5)=f(x)，f(-3)=1， 那么 f(8)=____ 8．若函数f(x)=logax在区间[2，4]上的最大值比最小值大2，则 a的值为 ____ 9．若f(x)是奇函数，且在(0，+∞)上是增函数，又f(-2)=0，则 xf(x)＜0 的解集是____ 那么当x＞0时，f(x)的解析式为____ 的单调减区间是_____． 12．某杂志若以每本 2元的价格可以发行10万本，若每本价格提高0.2元， 发行量就减少5000本，要使总销售收入不低于22.4万元，则杂志的最高定价 为_____． 13．已知y=f(x)是定义在(-∞，＋∞)上的奇函数，且在［0，＋∞)上为 增函数． (1)求证：函数y=f(x)在(-∞，0]上也是增函数； (1)求函数f(x)的表达式； (2)如果 f(x)为偶函数，求a的值； (3)当 f(x)为偶函数时，根据单调性定义讨论f(x)的单调性． 　 答案提示 　 1．B 2．D 3．A 4．C 5．B 6．B 7．-1 9．(-2，0)∪(0，2) 11．(4，+∞)，(-∞，0] 12．3.2元 13．(1)任取x1，x2∈(-∞，0］，且x1＜x2，则-x1＞-x2，且-x1，- x2∈［0，+∞)，因为f(x)在［0，+∞)上单调递增，所以f(-x1)＞f(-x2)，由 f(x)是奇函数得-f(x1)＞-f(x2)即 f(x1)＜f(x2)所以y=f(x)在(-∞，0]上是增 函数 整理得(2x-2-x)(1-a)=0．因为2x-2－x=0不恒成立(只有x=0时成立)所以 a=1 (3)证明略 设计说明 函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考察的重点内容．在复习中 要肯于在对定义的深入理解上下功夫． 在教学过程中，例题的分析部分，多采用学生主体参与的形式，根据学生 的学习状况设计问题，不断纠正出现的错误，并将问题逐渐引伸．例题的评述 部分，采用由学生小结，教师补充归纳的形式，对学生精采的回答、漂亮的解法 及时给予热情的鼓励，营造和谐的课堂气氛，使复习顺利进行，函数性质的定 义、图象及一些结论性的内容，如能准备好幻灯片，则可节省时间，提高课堂效 率．