对数函数教案
教学内容与教学目标
本节课的教学内容是复习对数概念、复习指数函数的概念，在此基础上学习
对数函数的概念、图像和性质．
本节课的教学目标是理解对数函数与指数函数互为反函数，掌握对数函数
的概念、图像和性质．
设计思想
利用对数函数与指数函数互为反函数的特点，引导学生自己研讨，得出对
数函数的图像与性质，培养学生的知识迁移能力．
教学过程
一、课题引入
1．复习对数概念：
将23 = 8，2－2 = 4
1 ，
4
3
1
= 81 换成对数式；
将 3log 9 = 2， 21
log
8 = －3， 2log 16
1 = －4 换成指数式．
2．复习指数函数的概念、图像和性质：
什么叫指数函数？它的定义域、值域分别是什么？
画出y = 2x、y =
x
2
1 的图像，并以这两个函数为例，说说指数函数的性
质．
3．函数y = 2x有没有反函数？若有，它的反函数是什么？
二、练习与讲评
y = 3log (2x)的反函数，在同一坐标系中作出这两个函数的图像，并指出它
们的性质．
y = 3log (2x)与它的反函数y = 2
1 · 3x的性质对照如下：
函数 y = 3log (2x) y = 2
1 ·3x
定义域 (0，＋∞) (－∞，＋∞)
值域 (－∞，＋∞) (0，＋∞)
单调性 增函数 增函数
奇偶性 非奇非偶函数 非奇非偶函数
图像 关于直线y = x对称
将y = 3log x图像上各点
横坐标缩为原来的 2
1 (纵
坐标不变)，得到 y =
3log (2x)
的图像
将 y =3 x图像上各
点
纵坐标缩为原来的
2
1
(横坐标不变)，得
到
y = 2
1 3x·的图像
三、习 题
1．P89，习题2.8第 1题．
2．在同一坐标系中作出下列函数的图像，并指出它们的性质：
y = 3log x， y = 31
log x， y =lg x．
四、小结或总结
通过例1，总结两个对数函数的图像特征和性质：
图像特征 函数性质
(1)这些图像都在y轴的右边． (1)定义域是(0，＋∞)．
(2)图像都经过(1，0)点． (2)1的对数是零．
(3) y = 2log x 的图像在(1，0)点右
边的纵坐标都大于零，在(1，0)点
左边的纵坐标都小于零；
y = 21
log x的图像在(1，0)点右边
的纵坐标都小于零，在(1，0)点左
边的纵坐标都大于零；
(3)在 y = alog x中，
当a＞1时，
x＞1，则 alog x＞0，
0＜x＜1，则 alog x＜0；
当0＜a＜1时，
x＞1，则 alog x＜0，
0＜x＜1，则 alog x＞0
(4)自左向右看，y = 2log x 的图像
逐渐上升；y = 21
log x的图像逐渐下
降．
(4)当 a＞1时，y = alog x 是增函数；
当
0＜a＜1时，y = alog x是减函数．
还可通过下表，总结指数函数与对数函数的关系：
名称 指数函数 对数函数
一般形式 y = a x (a＞0，a≠1) y = alog x (a＞0，a≠1)
定义域 (－∞，＋∞) (0，＋∞)
值域 (0，＋∞) (－∞，＋∞)
通过的特殊
点
(0，1) (1，0)
分类 a＞1 0＜a＜1 a＞1 0 ＜ a
＜1
图像
单调性 增函数 减函数 增函数 减函数
y值分布 x＜0时，
0 ＜ y ＜
1；
x = 0时，
y = 1；
x＞0时，
y＞1．
x＜0时，
y＞1；
x = 0时，
y = 1；
x＞0时，
y＜1．
x＞1时，
y＞0；
x = 1时，
y = 0；
0＜x＜1时，
y＜0．
x＞1时，
y＜0；
x = 1时，
y = 0；
0＜x＜1时，
y＞0．
两函数间
的关系
y = a x与 y = alog x (a＞0，a≠1)互为反函数，它们
的定义域和值域互换，法则互逆，增减性一致，图像关
于直线y = x对称
1
0
y
1
0
y
x x10
y
10
y
x
五、引申与提高
1．研究y = alog x的图像随a的变化而变化的情况．
先画出 y = 2log x，y = 3log x，y =lg x，y = 21
log x，y = 31
log x，y =
10
1log x的图像，可总结如下规律：
当a＞1时，a值越大，y = alog x的图像越靠近x轴；
当0＜a＜1时，a值越大，y = alog x的图像越远离x轴．
2．函数y = alog x与 y = a1
log x (a＞0，a≠1)的图像关于x轴对称．
由于，
a
1log x =
alog x
1
=－ alog x，因此对于 a1
log x 图像上的任意一点
(x，y)，它关于x轴的对称点(x，－y)坐标适合y = alog x，即点(x，－y)在 y
= alog x的图像上；反之，对于 y = alog x图像上的任意一点，它关于 x轴的对
称点也在y = a1
log x的图像上．
一般地，函数y = f (x)与函数y = －f (x)的图像关于x轴对称．
3．画出函数y = 2log (－x)的图像，可知它与y = 2log x的图像关于y轴对
称．
六、思 考 题
1、0＜a＜b＜c，f (x) = xlg ，且f (a) ＞f (c) ＞ f (b)，则 (
)
（A）a＜1，c＞1，b≤1 （B）a＜1，c＞1，b≥1
（C） a c＜1 （D）a c＞1
2．当 1＜x＜2时，函数 y = alog x 的图像在 y = (x－1)2的图像的上方，则 a
的取值范围
是 ．
解 答
1．由y = xlg 的图像必有a＜1，c＞1 (假设a≥1，那么由于函数y = xlg 在
，1 上是增函数，由a＜b＜c可得 f (a)＜f (b)＜f (c)，这与已知矛盾，
同样也可否定c≤1 )，但 b与 1的大小比较不确定，故可排除(A)、(B)．
另一方面，由a＜1，可知f (a) = －lg a = lg a
1 ；由c＞1可知f (c) =
lg c；再由
f (a) ＞f (c)，得 a
1 ＞c，即a c＜1．
故答(C)．
2．分析 y = (x－1)2与 alog x的图像，初步可知a＞1．
进一步考虑，y = (x－1)2图像过(2，1)点，y = alog x的图像过(2，1)点
时，a = 2．因为当 a＞1时，a值越大，y = alog x的图像越靠近 x轴，因此 a
的取值范围应是 21， ．
/1
