反函数的概念、图象和性质教案
教学目标
1．使学生理解反函数的概念、掌握其图像特征及性质上的联系。
2．通过自主研究和探索培养科学的思维和工作方法。
3．养成科学、严谨的学风。
设计思想
1．通过课件和动画帮助学生理解抽象的数学概念和推理过程；
2．学生利用课件、动画完成独立思考的过程，在此基础上参加师生的讨论；
3．教师组织学生的学习活动，启发、诱导、小结，真正起到导师的作用，又
不包办代替。
教学过程
1．反函数概念
学生活动(1) ：利用资源库中“注水问题”这个
动画为“学件”，解答高考中的注水问题．
要求：只凭函数概念，用两种方法解答这个问题．
方式：个人思考、两至三人讨论，推举代表发言．
问题(1)：向高为 H的水瓶中注水，注满为止，如
果注水量 V与水深 h的函数关系的图像为图所示，那
么水瓶形状是 ( )
教 师小结：
解法1：在V=f (h)中，令 2
Hh ，
由图像知 22
0VHf
，只有(B)符合之．
解法2：令 2
0VV ，考查 2
0V 对应的h，
由图像知 2
0V 对应之h小于 2
H ，故应选B．
函数实质上是自变量到因变量的“对应”，这个对应是有方向的，因此两
个变量有主次之分，这样自然会提出这样一个问题：y=f (x)是 x→y
交换x，y的“地位”，能否形成y→x，即x是否为y的函数？
2．学生活动(2)：利用课件，自主研究问题2：
给定函数y=f (x)，交换x，y，即以y为自变数，x为因变数，考查能否构
成新函数．
活动方式：利用课件“f (x)与－f (x)图像的关系”中的任给 y=f (x)的
解析式能生成图像的功能，学生自主、自由地给出若干个函数y=f (x)，由课件
生成图像，根据图像回答问题(2)．个人独立思考．
要求：(1) 活动中要构造出正面、反面的实例
(2) 思考，图像具有什么特征或函数具有什么特点时，x，y互换才能构成
新函数；
教师小结．
3．学生活动(3) ：阅读与练习
方式：阅读课本，并作笔记
要求：(1) 记住并理解反函数的定义
(2) 能够从映射或单调性两个方面，说明函数y=f (x)在区间T上有反函数
的条件．
练习：(I)判断下列函数在指定的区间上是否有反函数？为什么？
(i)y=|x| (x∈R)
(A) 有 (B) 无
(ii)
(A) 有 (B) 无
(iii)
11
112
11
xx
x
xx
xf
(A) 有 (B) 无
(II)判断下列各组中的两个函数是不是互为反函数？为什么？
(i)y=x2 (x≤0)和 xy (x≥0)
(A) 是 (B) 不是
(ii) xy
1 (x≠0)和 xy
1 (x≠0)
(A) 是 (B) 不是
(iii) y=3x+1 (x∈R)和 13
1 xy (x∈R)
(A) 是 (B) 不是
4．学生活动(4) ：研究y=f (x)和 y=f－1(x)图像间的关系
方式：按给定的函数解析式，用列表描点法画出函数 y=f (x)的图像，再
把表格中的 x，y互换，用描点法画出 y=f－1(x)的图像，每一对函数 y=f (x)和
y=f－1(x)的图像画在同一坐标系中．
上述工作利用课件“列表描点作图”完成．
函数y=f (x)解析式：
(1) y=2x+2 (x∈R) (2) y=x2 (x≥0)
(3) 1
1
xy ( 1x ) (4) y=x
3 (x∈R)
要求：(1) 上述工作首先利用课件在电脑中完成，然后任选一对函数，把
图像画在笔记本上．
(2) 观察上述四对函数的图像，总结 y=f (x)和 y=f－1(x)图像的关系，并归
纳为定理：
y=f (x)和 y=f－1(x)的图像关于直线 y=x对称．
5．学生活动(5) ：利用课件印证、熟悉上述定理，利用课件探求证明该定
理的思路．
方式：个人利用资源库中，“y=f (x)关于 y=x对称的图像”学习这个定理，
体会为何由y=f (x)的图像生成y=f－1(x)的图像．小组讨论定理的证明思路，推
举代表发言，教师组织课堂讨论．
教师小结：
定理的证明思路：
(1) 点 P (a，b)在 y=f (x)的图像上 点 Q (b，a)在 y=f－
1(x)的图像上
(2) 证明点 P (a，b)与点 Q (b，a)关于直线 y=x 对称，为此需证 KPQ=－
1，PQ中点 M在直线 y=x上．
(3) 由于 P是y=f (x)图像上的动点，因此
2
1
y=f (x)和 y=f－1(x)的图像
关于y=x对称
6．学生活动(6)： 按上述思路写出定理证明过程，教师指定一个学生做板
演．
7．求已知函数的反函数
教师讲解思路、要点、方法和规范要求．
学生练习
从资源库中调用试题组成试卷．
反函数定义
/2
