一 教材分
析
1) 教材所处的地位和作
用
2) 教学目
标
继续
平面
向量
实
数
与
向
量
的
积
向
量
的
数
量
积
解斜三角
形
平面几
何
加
法
与
减
法运算
求
线
段
长求
角
证垂
直
应
用 应用能力
延
深
巩固提
高
证明余弦定理
返回
1 ）知识目标：
①掌握平面向量的数量积及其几何意义。
②了解用平面向量的数量积可以处理的有
关长度、角度和垂直的问题。
③掌握向量垂直的条件。
2 ）能力目标：
掌握数形结合以及转化的数学思想，培养
学生探索的能力和创新的精神。
3 ）德育目标：
培养学生用联系、变化的眼光看问题和事
物在一定条件下相互转化的辨证唯物主义观点
，优化个性品质。 返回
二 教材处
理
小
车
做
功
数
量
积
的
概
念引入
重要性
质及应
用
运算率
探索
发现 应用
三
教
学
方
法
创设情景
强化概念
自主探索
发展认知
巩固提高
探索发现
总结反思
求异探新
激趣、直
观
主导、主
体
自主、整
体
技能的应
用
反馈、深化应用
主体、创
造
巩固、提
高
过
程
教
学
整体
性
自主
性创造
性
四、教学过程
F
sθ
w = F s cosθ
a
b
θO A
B
当 θ=00 a b同向
当 θ=1800 a b反向
当 θ=900 a b垂直 记 :a
b
夹角定义：两个非零向量 a,b,做 OA=a,OB=b,
则
AOB=θ(00≤θ≤1800)叫做向量 a与 b的夹角
.
说出下列两个向量 a 和 b 的夹角的大小是多少？
b
a
( 1 )
40O╮
( 2)
a
b
a
b
( 3)
┐
a
b
( 5 )
a
b
60O
(6)
60O
b
a
(4)
数量积的定义
：
a·b = a b cosθ
规定：零向量与任一向量的数量积为
０。
练习 : 判断下列命题的真假
1) 若 a=0, 则对任意向量
b, 有 a·b=0.
( )
2) 若 a≠0, 则对任意非零
向量 b, 有 a·b≠0.
( )
3) 若 a≠0, a·b=0, 则
b=0. ( )
4) 若 a·b=0, 则 a,b 中至
少有一个为 0.
( )
5) 若 a b, 则 a·b=0.
( )
例 1: a =5, b =4 ,a
与 b 的夹角 θ=1200, 求
a·b
ab
O A
B
θ
a
b
O A
B
θ
a
b θ
A
B
B1 B1
O(B1)
投影 : b cosθ 叫做向量 b 在
a 方向上的投影 .
a
b
O A
B
θ
a
b
O A
B
θ
a
b
θ
A
B
B1 B1
O(B1)
练习 1: 指出向量 b 在向量 a 上的投影
是什么
O B Ab a(B1)
OB Ab a(B1)
练习 2: 已知 a =8, b =5,a 与 b 的夹角
θ=600
1) 求 b 在 a 的方向上的投影 ?
2) 求 a 在 b 的方向上的投影 ?
3) 求 a·b
a·b 的几何意义 :
数量积 a·b 等于 a 的
长度 a 与 b 在 a 的
方向上的投影 b
cosθ 的乘积 .
数量积的重要性
质 :
⑤ a·b ≤ a b
②a b = a·b=0
①e·a=a·e= a cosθ
③ 当 a与 b同向时 ,a·b= a b ;
当 a与 b反向时 ,a·b=- a b
特别地 ,a·a= a 2或 a = a·a
④cos θ = a·b a b
数量积的运算率
:(1)a·b=b·a
(2)(λa) ·b=λ(a·b)=a· (λb)
(3)(a+b) ·c=a·c+b·c
O
A
B
a
b
θ1
Cc
θ
θ2
A1 B1
证明
(3):
判断 :
7) 对任意向量 a,b,c, 有 (a·b)
·c=a· (b·c)
( )
6) 若 a≠0,a·b=a·c, 则 b=c
( )演示
继续
a
b
c
返回
例 2:
求证 : (1) (a+b)2=a2+2ab+b2
(2) (a-b)2=a2-2ab+b2
例 3: 已知 a =6, b =4,a 与 b 的夹
角为 600, 求 (a+2b)(a-3b)
例 4: 已知 a =3, b =4,( 且 a 与 b 不
共线 ), 当且仅当 k 为何值时 , 向量
a+kb 与 a-kb 互相垂直 ?
1)a,b 为非零向量 , 则 a+b = a-b 是 a b
的 ( ) 条件
A) 充分非必要 B) 必要非充分
C) 充要 D) 既不充分 , 也不必
要
B
3)OP 1+OP2+OP3=0, OP 1 = OP2 = OP3 =1,
则向量 OP 1,OP2,OP3两两夹角是 ______.
2) 向量 a,b 的夹角为 600, a =2, b =1,
则 a+b a-b =_______.
反馈练习
AD
4) 如图 ΔABC
中 ,AB=c,BC=a,AC=b, 则下列推导不
正确的是 ( )
A) 若 a·b>0, 则 ΔABC 为钝角三角形 .
B) 若 a ·b=0, 则 ΔABC 为直角三角形 .
C) 若 a ·b=b ·c, 则 ΔABC 为等腰三角形 .
D) 若 c · (a+b+c)=0, 则 ΔABC 为正三角
形 .
A
B Ca
c b
5) 用向量的方法
证明三角形的三条高
线交于一点 .
A
CB D
E
F H
归纳总结
数
量
积
概
念
性质
运算率
①
②
③
④
⑤
定义
物理意
义几何意
义
应用
求线段长
求角
垂直
板书设
计
平面向量的数量积及运算率
一概念 二性质 三运算率
１夹角 ① ①
２数量积 ② ②
３投影 ③ ③
４几何意义 ④
⑤
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